Laplace-Transformation gesucht < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 So 13.04.2008 | | Autor: | xaero20 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Lineare Diff. Gleichung (k,w,x0>0, gegeben)
x'(t)+ k*x(t)= e^(-w*t), x(0)=x0
Lösen Sie die DGL für k ungleich w mithilfe des Ansatzes homogene + spezielle Lösung, mithilfe der Laplace- Transformation |
Hallo erstmal, wär super wenn ihr mir mit meinem Problemchen helfen könntet=)
habe zerst die Nullstelle ausgerechnet, die ist -k, für die homogene Lösung ergibt sich also
yh: C1*e^(-k*t)
wenn ich die Bedingung x(0)=0 einsetze, ergbit das für C1=x0, also
yh: x0*e^(-k*t)
für die spezielle Lösung hab ich den Ansatz
ys: e^(-w*t)*A0, y's: -e^(-w*t)*A0*w
nach einsetzen in die Gleichung und Koeffizientenvergleich kommt für
A0 = 1/(-w+k) raus
die Lösung heisst also:
x0*e^(-k*t)+e^(-w*t)*1/(-w+k)
ich hoffe das stimmt bis hierhin. Mein Problem ist jetzt die Laplace- Transformation.
der Ansatz schaut bei mir so aus:
(sF(s)-f0)+ k*F(s) = 1/(s+w)
F(s)= (1+f0*s+f0*w)/((k+s)*(s+w))
durch Partialbruchzerlegung auf
F(s) = 1/((k+s)*(s+w)) + x0/(k+s)
wenn ich dann für den ersten Teil folgende Formel nimm:
1/(s-a)(s-b)= (e^(at)-e^(bt))/(a-b), und für den 2. Teil
1/(s-a)= e^(a*t) gilt für meinen Fall
(e^(-w*t)+e(-kt)/(-k+w) + xo*e^(-w*t)
was mit der obigen Lösung irgendwie überhaupt nicht übereinstimmt:( also entweder ich hab mich total verrechnet, oder die falschen Formeln verwendet, aber es wär super wenn wer von euch den Fehler finden würde;)
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo xaero20,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Lineare Diff. Gleichung (k,w,x0>0,
> gegeben)
> x'(t)+ k*x(t)= e^(-w*t), x(0)=x0
> Lösen Sie die DGL für k ungleich w mithilfe des Ansatzes
> homogene + spezielle Lösung, mithilfe der Laplace-
> Transformation
> Hallo erstmal, wär super wenn ihr mir mit meinem
> Problemchen helfen könntet=)
> habe zerst die Nullstelle ausgerechnet, die ist -k, für
> die homogene Lösung ergibt sich also
> yh: C1*e^(-k*t)
> wenn ich die Bedingung x(0)=0 einsetze, ergbit das für
> C1=x0, also
> yh: x0*e^(-k*t)
> für die spezielle Lösung hab ich den Ansatz
> ys: e^(-w*t)*A0, y's: -e^(-w*t)*A0*w
> nach einsetzen in die Gleichung und Koeffizientenvergleich
> kommt für
> A0 = 1/(-w+k) raus
> die Lösung heisst also:
> x0*e^(-k*t)+e^(-w*t)*1/(-w+k)
> ich hoffe das stimmt bis hierhin. Mein Problem ist jetzt
> die Laplace- Transformation.
> der Ansatz schaut bei mir so aus:
> (sF(s)-f0)+ k*F(s) = 1/(s+w)
> F(s)= (1+f0*s+f0*w)/((k+s)*(s+w))
> durch Partialbruchzerlegung auf
> F(s) = 1/((k+s)*(s+w)) + x0/(k+s)
> wenn ich dann für den ersten Teil folgende Formel nimm:
> 1/(s-a)(s-b)= (e^(at)-e^(bt))/(a-b), und für den 2. Teil
> 1/(s-a)= e^(a*t) gilt für meinen Fall
> (e^(-w*t)+e(-kt)/(-k+w) + xo*e^(-w*t)
Da sind ein paar Fehler zusammengekommen:
[mm]x\left(t\right)=x_{0}*e^{-\red{k}* t}+\bruch{1}{k-w}*\left(e^{-w*t}\red{-}e^{-k*t}\right)[/mm]
> was mit der obigen Lösung irgendwie überhaupt nicht
> übereinstimmt:( also entweder ich hab mich total
> verrechnet, oder die falschen Formeln verwendet, aber es
> wär super wenn wer von euch den Fehler finden würde;)
>
> Danke
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 13.04.2008 | | Autor: | xaero20 |
hi MathePower, danke für deine schnelle Antwort=)
habs nochmal nachgerechnet-da bin ich ganz schön durcheinandergekommen...
Aber eine Frage hätt ich da noch: die Lösung der Laplace-Transformation stimmt ja nicht komplett mit der "normalen" Lösung überein, das -e^(-k*t) im zweiten Term fehlt ja völlig:( stimmt das trotzdem so oder hab ich da noch was übersehen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 So 13.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber eine Frage hätt ich da noch: die Lösung der
> Laplace-Transformation stimmt ja nicht komplett mit der
> "normalen" Lösung überein, das -e^(-k*t) im zweiten Term
> fehlt ja völlig:( stimmt das trotzdem so oder hab ich da
> noch was übersehen?
Du hast die Anfangsbedingung zu früh eingesetzt. Die gesamte Lösung [mm] $x=x_h+x_s$ [/mm] muss die Anfangsbedingung erfüllen. Wenn du das einsetzt, kommt auch das Richtige raus.
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 23:51 So 13.04.2008 | | Autor: | xaero20 |
Hi, das ergibt einen Sinn=)
Vielen vielen Dank
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