Laplace Operator < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 03.11.2014 | | Autor: | c0d3x |
| Aufgabe | Die Eigenwertgleichung für den Laplace-Operator mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen lautet im Zweidimensionalen
[mm] \\
[/mm]
[mm]
\begin{matrix}
\Delta u := u_{xx} + u_{yy} = \lambda u \\
u(x, 0) = u(x, b) = u=(0, y) = u(a,y) = 0, \ x \in [0,a], y \in [0, b]
\end{matrix}\\
[/mm]
Bestimme mit dem Separationsansatz Funktionen u(x, y) der Form X(x)Y(y) die dieses Problem lösen. Welche werte für [mm] $\lambda$ [/mm] ergeben nicht nur Lösungen $u(x,y) [mm] \equiv [/mm] 0$ |
Also ich hab bisher folgendes :
[mm]
\[\]
Gegeben ist die Eigenwertgleichung des Laplace-Operators :
\[ u : = u_{x x} + u_{y y} = \lambda u \]
\[ u_{x x} + u_{y y} - \lambda u = 0 \]
Bestimme nichttriviale L{ö}sungen mit Separationsansatz :
\[ u = X (x) Y (y) \]
\[ u_x = X (x) \cdot 0 + X' (x) \cdot Y (y) = X' (x) \cdot Y (y) \]
\[ u_{x x} = X' (x) \cdot 0 \noplus + X'' (x) \cdot Y (y) = X'' (x) \cdot Y
(y) \]
\[ u_y = Y (y) \cdot 0 + Y' (y) \cdot X (x) = Y' (y) \cdot X (x) \]
\[ u_{y y} = Y' (y) \cdot 0 \noplus + Y'' (y) \cdot X (x) = Y'' (y) \cdot X
(x) \]
Einsetzen in gegebene Differentialgleichung :
\[ X'' (x) Y (y) + Y'' (y) X (x) = \lambda X (x) Y (y) \]
\[ \ \]
\[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \]
[/mm]
hier bin bleib ich jetzt hängen und zweifel an meinem Ansatzt also [mm]\[ u = X (x) Y (y) \][/mm] ... falls der ok ist würde ich mich über einen tip, wie ich jetzt weitermachen kann, freuen ... :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Eigenwertgleichung für den Laplace-Operator mit
> homogenen Dirichlet-Randbedingungen lautet im
> Zweidimensionalen
> [mm]\\[/mm]
> [mm]
\begin{matrix}
\Delta u := u_{xx} + u_{yy} = \lambda u \\
u(x, 0) = u(x, b) = u=(0, y) = u(a,y) = 0, \ x \in [0,a], y \in [0, b]
\end{matrix}\\
[/mm]
>
> Bestimme mit dem Separationsansatz Funktionen u(x, y) der
> Form X(x)Y(y) die dieses Problem lösen. Welche werte für
> [mm]\lambda[/mm] ergeben nicht nur Lösungen [mm]u(x,y) \equiv 0[/mm]
> Also
> ich hab bisher folgendes :
> [mm]
\[\]
Gegeben ist die Eigenwertgleichung des Laplace-Operators :
\[ u : = u_{x x} + u_{y y} = \lambda u \]
\[ u_{x x} + u_{y y} - \lambda u = 0 \]
Bestimme nichttriviale L{ö}sungen mit Separationsansatz :
\[ u = X (x) Y (y) \]
\[ u_x = X (x) \cdot 0 + X' (x) \cdot Y (y) = X' (x) \cdot Y (y) \]
\[ u_{x x} = X' (x) \cdot 0 \noplus + X'' (x) \cdot Y (y) = X'' (x) \cdot Y
(y) \]
\[ u_y = Y (y) \cdot 0 + Y' (y) \cdot X (x) = Y' (y) \cdot X (x) \]
\[ u_{y y} = Y' (y) \cdot 0 \noplus + Y'' (y) \cdot X (x) = Y'' (y) \cdot X
(x) \]
Einsetzen in gegebene Differentialgleichung :
\[ X'' (x) Y (y) + Y'' (y) X (x) = \lambda X (x) Y (y) \]
\[ \ \]
\[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \]
[/mm]
Ja, das gilt für alle x [mm] \in [/mm] [0,a] und alle y [mm] \in [/mm] [0,b].
Überlege Dir, dass [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] auf [0,a] und [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] auf [0,b]
konstant ist
FRED>
> hier bin bleib ich jetzt hängen und zweifel an meinem
> Ansatzt also [mm]\[ u = X (x) Y (y) \][/mm] ... falls der ok ist
> würde ich mich über einen tip, wie ich jetzt weitermachen
> kann, freuen ... :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 03.11.2014 | | Autor: | c0d3x |
Bei
[mm] \begin{matrix}
x \in [0,a], y \in [0, b] \\
\end{matrix}
[/mm]
sind die Funktionswerte doch konst. 0, richtig ?
die schliesse ich doch mit der Division durch $u$ aus und komme so auf [mm]\[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \][/mm] ... ich möchte ja von $0$ verschiedene Lösungen für [mm] $\lambda$
[/mm]
Verstehe leider deinen Hinweis nicht ganz, ich hab versucht mir das klar zu machen und wie ich das benutzen könnte aber kannst du mir vllt. noch einen hinweis geben ... :) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 03.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du zeigst $ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)}=c$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,a)$ und $ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda-c [/mm] $ [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,b)$ für ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] und löst die beiden ODEs bzw. die zugehörigen RWA.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 03.11.2014 | | Autor: | c0d3x |
An sowas hab ich auch schon gedacht
$ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)}=c [/mm] $,
$ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda-c [/mm] $
aber ich weiss nicht wie ich da formal hinkomme ...
wie kommt denn das [mm] $\lambda [/mm] - c$ zustande ...
... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mo 03.11.2014 | | Autor: | andyv |
Wäre $ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] $ nicht konstant, so gäbe es [mm] $c_1, c_2 \in \IR$ [/mm] mit $ [mm] c_1 \equiv \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv c_2$ [/mm] und [mm] $c_1 \neq c_2$, [/mm] was absurd ist.
Aus $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] + [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv \lambda \] [/mm] $ und $ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} \equiv [/mm] c $ folgt dann $ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv \lambda-c [/mm] $.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Di 04.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> An sowas hab ich auch schon gedacht
> [mm]\frac{X'' (x)}{X (x)}=c [/mm],
> [mm]\frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda-c[/mm]
> aber ich weiss nicht wie
> ich da formal hinkomme ...
> wie kommt denn das [mm]\lambda - c[/mm] zustande ...
>
> ... :(
Wir haben $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] + [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda \] [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] [0,a] und alle y [mm] \in [/mm] [0,b].
Nun sei [mm] y_0 \in [/mm] [0,b] zunächst fest. Dann haben wir
$ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] =- [mm] \frac{Y'' (y_0)}{Y (y_0)} [/mm] + [mm] \lambda \] [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]
[mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] ist also konstant, etwa =c.
Wir haben also
$ [mm] \[ [/mm] c =- [mm] \frac{Y'' (y_0)}{Y (y_0)} [/mm] + [mm] \lambda \] [/mm] $ für alle [mm] y_0 \in [/mm] [0,b]
Damit ist [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] konstant = [mm] \lambda-c
[/mm]
FRED
>
|
|
|
|
