Laplace_Operator < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Sa 05.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Symmetrie des Laplace-Operators
f,g [mm] \in C^2_c (\IR^n) [/mm]
[mm] \int_{\IR^n} [/mm] ( [mm] \Delta [/mm] f) g [mm] d^n [/mm] x= - [mm] \int_{\IR^n} [/mm] < [mm] \nabla [/mm] f, [mm] \nabla [/mm] g > [mm] d^n [/mm] x = [mm] \int_{\IR^n} [/mm] f [mm] \Delta [/mm] g [mm] d^n [/mm] x. |
Hallo
Hallo die partielle ableitungsformel lautet
$ [mm] \int_{\IR^n} [/mm] $ f(x) div v (x) dx = - $ [mm] \int_{\IR^n} [/mm] $ v(x).div f(x) dx
wobei [mm] \Delta [/mm] f = [mm] \nabla [/mm] . [mm] \nabla [/mm] f = div(grad f)
Aber wie komme ich auf die zweit Gleichheiten ?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Sa 05.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Symmetrie des Laplace-Operators
> f,g [mm]\in C^2_c (\IR^n)[/mm]
> [mm]\int_{\IR^n}[/mm] ( [mm]\Delta[/mm] f) g [mm]d^n[/mm] x= - [mm]\int_{\IR^n}[/mm] < [mm]\nabla[/mm]
> f, [mm]\nabla[/mm] g > [mm]d^n[/mm] x = [mm]\int_{\IR^n}[/mm] f [mm]\Delta[/mm] g [mm]d^n[/mm] x.
> Hallo
> Hallo die partielle ableitungsformel lautet
> [mm]\int_{\IR^n} f(x) div v (x) dx = - \int_{\IR^n} v(x).div f(x) dx [/mm]
Das stimmt so nicht ganz. Wenn f kein Vektorfeld ist, sondern eine Funktion, dann ergibt der Ausdruck div f keinen Sinn. Es ist besser [mm] $\nabla f=\mathop {\mathrm{grad}} [/mm] f$ zu schreiben. (Wenn du in den Beweis schaust, siehst du, dass da die Komponenten [mm] $\partial_i [/mm] f$ des Gradienten von f stehen.)
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 05.01.2013 | | Autor: | sissile |
> Wenn du in den Beweis schaust, siehst du, dass da die Komponenten $ [mm] \partial_i [/mm] f $ des Gradienten von f stehen.
Genau und die werden doch bei div aufsummiert?
Konkret steht im SKriptum der Satz:
f $ [mm] \in C^1 (\IR^n) [/mm] $ (stetig differenzierbare Funktion ), v $ [mm] \in C^1_c (\IR^n)^n [/mm] $ (stetig differenzierbares Vektorfeld mit kompakten Träger)
$ [mm] \int_{\IR^n} [/mm] $ f [mm] \nabla [/mm] .v dx = - $ [mm] \int_{\IR^n} [/mm] $ [mm] v.\nabla [/mm] fdx
Anscheinend verstehe ich die Symbolik hier noch nicht ganz. Vlt kannst du mir da nochmals weiterhelfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 06.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Wenn du in den Beweis schaust, siehst du, dass da die
> Komponenten [mm]\partial_i f[/mm] des Gradienten von f stehen.
> Genau und die werden doch bei div aufsummiert?
Ja, aber f ist kein Vektorfeld, also wird da nix aufsummiert.
>
> Konkret steht im SKriptum der Satz:
> [mm]f \in C^1 (\IR^n)[/mm] (stetig differenzierbare Funktion ), [mm]v \in C^1_c (\IR^n)^n[/mm] (stetig differenzierbares Vektorfeld mit kompakten Träger)
> [mm]\int_{\IR^n} f \nabla .v dx = - \int_{\IR^n} v.\nabla fdx [/mm]
>
> Anscheinend verstehe ich die Symbolik hier noch nicht ganz.
Der Punkt ist als Skalarprodukt zulesen: $ [mm] \nabla [/mm] * v [mm] =\mathop{\mathrm{div}} [/mm] v$, denn
[mm] \nabla * v = \summe_i \partial_i v_i =\mathop{\mathrm{div}} v [/mm] .
Und [mm] $v*\nabla [/mm] f = [mm] v*\mathop{\mathrm{grad}} [/mm] f$, denn
[mm] v*\nabla f = \summe_i v_i\partial_i f = v*\mathop{\mathrm{grad}} f [/mm] .
Das Symbol [mm] $\nabla$ [/mm] ist sowhl als Vektor als auch als Ableitung zu behandeln, das ist ein bischen verwirrend.
Beispiel: was ist [mm] $\nabla*(fv)$ [/mm] ? Gemeint ist die Divergenz des Vektorfelds $(fv)$. $fv$ bedeutet, dass jede Komponente von v mit f multipliziert wird. Schreibt man das in Komponenten aus und wendet die Produktregel für Ableitungen an, sieht das so aus:
[mm] \nabla*(fv)=\summe_i \partial_i (fv_i) = \summe_i ((\partial_i f) v_i + f(\partial_i v_i)) = (\nabla f)*v + f(\nabla*v)= (\mathop{\mathrm{grad}} f)*v + f \mathop{\mathrm{div}} v [/mm] .
Wie so oft, ist das recht einfach, wenn man sich erst einmal an die Notation gewöhnt hat.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
