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| Aufgabe | Berechnen Sie die Laplacetransformierte der Funktion, versehen mit dem Definitionsbereich [mm] \IR^{+}
[/mm]
[mm] f(t)=\bruch{1}{\wurzel{t}} [/mm] |
Hi,
bin noch nicht so geübt mit Laplacetransformationen.
Ich habe den Ansatz versucht:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{t}} e^{-st}dt}
[/mm]
Leider musste ich festellen, dass das Integral nicht existiert. Habt ihr einen Tipp für mich komme irgendwie nicht weiter.
Danke!
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Hallo christian87,
> Berechnen Sie die Laplacetransformierte der Funktion,
> versehen mit dem Definitionsbereich [mm]\IR^{+}[/mm]
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> [mm]f(t)=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]
> Hi,
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> bin noch nicht so geübt mit Laplacetransformationen.
> Ich habe den Ansatz versucht:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{t}} e^{-st}dt}[/mm]
>
> Leider musste ich festellen, dass das Integral nicht
> existiert. Habt ihr einen Tipp für mich komme irgendwie
> nicht weiter.
>
> Danke!
Die Substitution [mm]t=z^{2}[/mm] führt auf
[mm]2*\integral_{0}^{\infty}{ e^{-sz^{2}} \ dz}[/mm]
Um dieses Integral zu berechnen, verwende folgenden Trick:
[mm]\left(\integral_{0}^{\infty}{ e^{-sz^{2}} \ dz}\right)^{2}=\integral_{0}^{\infty}{ e^{-su^{2}} \ du}*\integral_{0}^{\infty}{ e^{-sv^{2}} \ dv}=\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{ e^{-s\left(u^{2}+v^{2}\right)} \ du \ dv}[/mm]
Nun verwendest Du Polarkoordinaten:
[mm]u=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]v=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Dann wird daraus:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ r*e^{ -sr^{2} } } \ d\varphi \ dr}[/mm]
Und das läßt sich jetzt berechnen.
Gruß
MathePower
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