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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Lateinisches Quadrat / Matrix
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Lateinisches Quadrat / Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Fr 03.12.2004
Autor: sebti

Ich  brauche Hilfe um diese Aufgabe zu lösen.

Die Aufgabe lautet :

Eine (n x n)-Matrix heißt

´´ Lateinisches Quadrat'' , wenn jede Zeile und Spalte jede der Zahlen
1,. . . ., n genau einmal enthält. Zu einer Gruppe (G, o) der Ordnung n, die wir mit ({1, . . . . , n}. o )
identifizieren können, betrachten wir ihre Verknüpfungstabelle, welche sich als Matrix M auffassen
lässt mit :
                    [mm] m_{ij} [/mm] :=  i o j         (i, j = 1, . . . . , n) .

Zeigen Sie, dass die Verknüpfungstabelle einer jeden Gruppe ein Lateinisches Quadrat repräsentiert.

Stellt umgekehrt auch jedes Lateinische Quadrat die Verknüpfungstabelle einer endlichen Gruppe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lateinisches Quadrat / Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Fr 03.12.2004
Autor: Hanno

Hallo!

Zur Lösung deiner Aufgabe musst du zeigen, dass in jeder Zeile und Spalte jedes Element der Gruppe genau ein Mal auftaucht. Dies kannst du leicht zeigen, indem du annimmst, es gäbe Elemente [mm] $x,a,b\in [/mm] G$ mit [mm] $x\circ a=x\circ [/mm] b$ oder [mm] $a\circ x=b\circ [/mm] x$. Dann du nun links bzw. rechtsseitig mit dem Inversen [mm] $x^{-1}\in [/mm] G$ von x verknüpfst und das Assoziativgesetz anwendest, wirst du sicher auf die Lösung kommen!

Versuch's mal!

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
        
Bezug
Lateinisches Quadrat / Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Fr 03.12.2004
Autor: Stefan

Hallo sebti!

Zum ersten Teil hat die Hanno eine sehr schöne Antwort gegeben. Nun zum zweiten Teil:

> Stellt umgekehrt auch jedes Lateinische Quadrat die
> Verknüpfungstabelle einer endlichen Gruppe.

Diesen Teil habe ich schon einmal falsch im Forum beantwortet, fürchte ich, nur leider finde ich die Stelle nicht mehr. [grummel]

Die Aussage stimmt nämlich nicht.

Es handelt sich im Allgemeinen nur um eine endliche []Quasigruppe.

Versuch doch mal ein Gegenbeispiel zu finden...

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
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