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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von
[mm] $\frac{z^2-1}{z^2+1}$
[/mm]
für $|z-1|>2$. |
Hallo an alle,
hat jemand eine Idee, wie ich die obige Aufgabe löse?
Danke und Gruss
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Hallo,
ich würde mit einer Partialbruchzerlegung beginnen und dann jeden Summanden so umformen, dass ich Teile von ihm als Grenzwert einer geometrischen Reihe interpretieren kann.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
> ich würde mit einer Partialbruchzerlegung beginnen und
> dann jeden Summanden so umformen, dass ich Teile von ihm
> als Grenzwert einer geometrischen Reihe interpretieren
> kann.
> Gruß korbinian
Hallo,
danke, das klappt soweit.
Doch habe ich noch zwei Fragen:
1. Um welchen Punkt muss ich der Aufgabenstellung nach die Laurentreihe entwickeln? D.h. wie soll [mm] $a\in\IC$ [/mm] in der Laurentreihe gewählt werden?
[mm] $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n$
[/mm]
gewählt werden?
2. Wenn
[mm] $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n$
[/mm]
die Laurentreihe von [mm] $\frac{1}{z^2+1}$ [/mm] ist, wie erhalte ich dann die Laurentreihe von [mm] $\frac{z^2-1}{z^2+1}$?
[/mm]
Bitte helft mir nocheinmal kurz.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Sa 16.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > ich würde mit einer Partialbruchzerlegung beginnen und
> > dann jeden Summanden so umformen, dass ich Teile von ihm
> > als Grenzwert einer geometrischen Reihe interpretieren
> > kann.
> > Gruß korbinian
>
> Hallo,
>
> danke, das klappt soweit.
>
> Doch habe ich noch zwei Fragen:
>
> 1. Um welchen Punkt muss ich der Aufgabenstellung nach die
> Laurentreihe entwickeln? D.h. wie soll [mm]a\in\IC[/mm] in der
> Laurentreihe gewählt werden?
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n[/mm]
> gewählt werden?
Na $a = 1$, weil du ja den Konvergenzbereich durch eine Ungleichung mit $|z - 1|$ angeben willst, und eine solche Reihe auf Gebieten konvergiert, die durch Ungleichungen mit $|z - a|$ angegeben werden. Also muss $a = 1$ sein.
> 2. Wenn
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n[/mm]
> die Laurentreihe von [mm]\frac{1}{z^2+1}[/mm] ist, wie erhalte ich
> dann die Laurentreihe von [mm]\frac{z^2-1}{z^2+1}[/mm]?
Schreibe erstmal [mm] $z^2 [/mm] - 1 = (z - [mm] a)^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] (z - a) + [mm] \mu$ [/mm] mit passenden Konstanten [mm] $\lambda, \mu \in \IC$. [/mm] Dann ist die Laurentreihe durch [mm] $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^{n+2} [/mm] + [mm] \lambda \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^{n+1} [/mm] + [mm] \mu \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n [/mm] = [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n-2}(z-a)^n [/mm] + [mm] \lambda \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n-1}(z-a)^n [/mm] + [mm] \mu \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n [/mm] = [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_{n-2} [/mm] + [mm] \lambda a_{n-1} [/mm] + [mm] \mu a_n) (z-a)^n$ [/mm] gegeben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Felix,
danke! Das probiere ich gleich mal aus. Auf einen solchen Ansatz wäre ich selber zwar vermutlich nicht gekommen, aber er hört sich interessant an. Also, ich muss rechnen. Danke bis dann.
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Danke Felix,
es hat endlich geklappt. Ich habe noch eine klitzekleine Frage zu den Möbiustransformationen. Könntest Du mir dabei noch behilflich sein?
https://matheraum.de/read?t=548046
Ich wäre Dir wirklich sehr dankbar.
Gruß Denny
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