Laurent-Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Frank26 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie [mm] f(z)=\bruch{1}{1+2z^2+z^4} [/mm] in allen maximalen Kreisringen um -i in ihre Laurent-Reihe |
Hallo,
ich habe folgendes Problem bei der obigen Aufgabe. Die Singularitäten sind ja bei -i und i, so dass die Kreisringe einmal 0 als innerer und 2 als äußerer Radius und einmal 2 und unendlich haben. Wenn ich die Funktion auf dem Ring K(-i,0,2) entwickeln möchte, habe ich
[mm] f(z)=(z+i)^{-2}\bruch{1}{(z-i)^2}, [/mm] also muss im Prinzip [mm] \bruch{1}{(z-i)^2} [/mm] entwickelt werden. Eigentlich haben wir es immer so gemacht, dass wir es auf die geometrische Reihe zurückgeführt haben, aber das geht ja eigentlich nur bei linearen Termen oder?
Muss ich hier wirkich die Integrale für die Koeffizienten ausrechnen?
Danke Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Do 01.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Frank,
wenn Du die Summenformel für die geom Reihe auf beiden Seiten differenzierst, bekommst Du
$$
[mm] \frac{1}{(1-x)^2}=\left(\frac{1}{(1-x)}\right)'=\sum_{n=0}^\infty (x^n)'=\sum_{n=0}^\infty [/mm] n [mm] x^{n-1},
[/mm]
$$
was Dir dann vielleicht weiterhelfen wird. Volker
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