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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Man berechne die Laurent-Reihen für
1) [mm] \bruch{3}{(z+1)(z-2)} [/mm] in {1<|z|<2}
1) [mm] \bruch{1}{z(z-3)^2} [/mm] in {1<|z-1|<2} |
Hallo zusammen.
Wir sollen hier schätze ich mal eine Reihen-Entwicklung machen.
Da ich schon bei ganz normalen Potenzreihen nicht verstanden habe, wie das geht, steh ich hier mal wieder aufm Schlauch.
Beim Stöbern hier im Forum seh ich immer wieder, dass viele Leute mit Partialbruchzerlegung oder Geometrischer Reihe ansetzen.
Im Internet (genauer bei Wikipedia) habe ich gelesen, dass man die Koeffizienten der Reihe aber auch über ein Integral bestimmen kann.
Aber bei allen drei Methoden hab ich keine Ahnung, was ich genau machen soll und wo ich ansetzen muss.
Wir haben in der Vorlesung leider so gut wie nix zu dem Thema gemacht, und jetzt sitz ich hier vor diesen blöden Aufgaben.
Das einzige, was ich quasi errate, ist, dass in Teilaufgabe a) der Entwicklungspunkt 0 sein könnte. Wegen |z|=|z-0|.
Und in Teilaufgabe b) dementsprechend 1. Wegen |z-1|.
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
LG, Nadine
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> Man berechne die Laurent-Reihen für
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> 1) [mm]\bruch{3}{(z+1)(z-2)}[/mm] in {1<|z|<2}
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> 1) [mm]\bruch{1}{z(z-3)^2}[/mm] in {1<|z-1|<2}
> Hallo zusammen.
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> Wir sollen hier schätze ich mal eine Reihen-Entwicklung
> machen.
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> Da ich schon bei ganz normalen Potenzreihen nicht
> verstanden habe, wie das geht, steh ich hier mal wieder
> aufm Schlauch.
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> Beim Stöbern hier im Forum seh ich immer wieder, dass viele
> Leute mit Partialbruchzerlegung oder Geometrischer Reihe
> ansetzen.
Dies ist hier die einfachste Lösung.
>
> Im Internet (genauer bei Wikipedia) habe ich gelesen, dass
> man die Koeffizienten der Reihe aber auch über ein Integral
> bestimmen kann.
Eher nicht: dies ist mehr eine theoretische Möglichkeit. Dann schon eher über wiederholtes Ableiten. Denn besitzt die holomorphe Funktion $f(z)$ an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] eine Polstelle $k-ter$ Ordnung, so ist die Funktion $g(z):= [mm] (z-z_0)^k [/mm] f(z)$ in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] holomorph und kann daher an dieser Stelle in eine Taylorreihe entwickelt werden. Multiplizeren dieser Taylorreihe mit [mm] $\frac{1}{(z-z_0)^k}$ [/mm] ergibt dann die gewünschte Laurentreihe.
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> Aber bei allen drei Methoden hab ich keine Ahnung, was ich
> genau machen soll und wo ich ansetzen muss.
>
> Wir haben in der Vorlesung leider so gut wie nix zu dem
> Thema gemacht, und jetzt sitz ich hier vor diesen blöden
> Aufgaben.
>
> Das einzige, was ich quasi errate, ist, dass in Teilaufgabe
> a) der Entwicklungspunkt 0 sein könnte. Wegen |z|=|z-0|.
Also Du machst zunächst eine Partialbruchzerlegung. D.h. Du machst den Ansatz
[mm]\frac{3}{(z+1)(z-2)}=\frac{a}{z+1}+\frac{b}{z-2}[/mm]
für noch zu bestimmendes $a$ und [mm] $b\in\IR$. [/mm] Gleichnamigmachen der rechten Seite dieser Beziehung und Koeffizientenvergleich der Zählerpolynome $3$ und $a(z-2)+b(z+1)=(a+b)z+(-2a+b)$ ergibt, dass $a+b=0$ und $-2a+b=3$ sein muss. Also ist $a=-1$ und $b=1$.
Dies gibt uns nun folgende Möglichkeit, unter Verwendung der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}$, [/mm] die Laurentreihe mit Konvergenzbereich $1<|z|<2$ zu bestimmen:
[mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\frac{3}{(z+1)(z-2)} &=&\displaystyle-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{z-2}\\
&=&\displaystyle-\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z}\right)}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}\\
&=&\displaystyle-\frac{1}{z}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{z}\right)^n-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2}\right)^n\\
&=& \ldots\\
&=& \displaystyle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} a_n z^n
\end{array}
[/mm]
Wegen [mm] $\left|-\frac{1}{z}\right|<1\Leftrightarrow [/mm] 1<|z|$ und [mm] $\left|\frac{z}{2}\right|<1\Leftrightarrow [/mm] |z|<2$ konvergieren die beiden Reihen im gewünschten Bereich $1<|z|<2$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Do 17.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Somebody!
Danke für deine Hilfe. Jetzt seh ich ein bisschen klarer, was ich in etwa machen muss. Zwei kleine Fragen hab ich allerdings noch:
> [mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\frac{3}{(z+1)(z-2)} &=&\displaystyle-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{z-2}\\
&=&\displaystyle-\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z}\right)}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}\\
&=&\displaystyle-\frac{1}{z}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{z}\right)^n-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2}\right)^n\\
&=& \ldots\\
&=& \displaystyle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} a_n z^n
\end{array}
[/mm]
1) Das Gleichheitszeichen mit den Pünktchen dahinter. Entweder seh ich grad den Wald vor lauter Bäumen nicht... ich krieg das einfach nicht umgeformt, dass da am Ende eine Reihe von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] dasteht... Oder kann ich das auch so stehen lassen? Wenn wir bei uns in der Übung Laurent-Reihen entwicklen, dann steht da irgendwie nie eine Summe mit negativen Indizes. Und trotzdem heißt es immer, dass ist dann eine Laurent-Reihe, das verstehe ich garnicht...
> Wegen [mm]\left|-\frac{1}{z}\right|<1\Leftrightarrow 1<|z|[/mm] und [mm]\left|\frac{z}{2}\right|<1\Leftrightarrow |z|<2[/mm] konvergieren die beiden Reihen im gewünschten Bereich [mm]1<|z|<2[/mm].
2) Irgendwie haperts gerade auch noch an dem Umstellen der Beträge. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann willst du doch die Beträge umformen zu ...<1 um die geometrische Reihe anzuwenden, oder? Wenn ich jetzt 1<|z| umforme, dann komme ich aber [teilen durch |z|>0, was wenn |z|=0?] auf [mm] \bruch{1}{|z|}<1. [/mm] Wo kommt bei dir das Minus her? Genauso im zweiten Betrag: ausgehend von |z|<2 kommt ich mit teilen durch 2 auf [mm] \bruch{|z|}{2}<1, [/mm] aber nicht auf einen Betrag um die 2 im Nenner ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Könntest du mir das noch erklären?
LG, Nadine
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> Hallo Somebody!
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> Danke für deine Hilfe. Jetzt seh ich ein bisschen klarer,
> was ich in etwa machen muss. Zwei kleine Fragen hab ich
> allerdings noch:
>
> > [mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\frac{3}{(z+1)(z-2)} &=&\displaystyle-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{z-2}\\
&=&\displaystyle-\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z}\right)}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}\\
&=&\displaystyle-\frac{1}{z}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{z}\right)^n-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2}\right)^n\\
&=& \ldots\\
&=& \displaystyle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} a_n z^n
\end{array}
[/mm]
>
> 1) Das Gleichheitszeichen mit den Pünktchen dahinter.
> Entweder seh ich grad den Wald vor lauter Bäumen nicht...
> ich krieg das einfach nicht umgeformt, dass da am Ende eine
> Reihe von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty[/mm] dasteht...
Beim ersten Summanden hast Du doch folgende äquivalente Umformung
[mm]-\frac{1}{z}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{z}\right)^n=-\frac{1}{z}\sum\limits_{n=-\infty}^0(-z)^n=\sum\limits_{n=-\infty}^0(-1)^{n+1}z^{n-1}=\sum\limits_{n=-\infty}^{-1}(-1)^nz^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
denn schliesslich ist $\frac{1}{z}=z^{-1}$.
> Oder kann ich das auch so stehen lassen?
Nein, ich denke es ist schon erwünscht, dass Du genau hinschreibst, welches nun die $a_n$ sind, die die Laurentreihe $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n$ für die gegebene Funktion mit dem gewünschten Konvergenzbereich ($1<|z|<2$) bilden. Zum Beispiel können wir aufgrund der obenstehenden Umformung der erste Reihe (und weil von der zweiten Reihe keine negativen Potenzen von $z$ zu erwarten sind) bereits sagen, dass für $n\leq -1$, gilt: $a_n=(-1)^n$. Nun musst Du noch die Werte von $a_n$ für $n\geq 0$ aus der zweiten Reihe bestimmen. Ich glaube, diese Koeffizienten werden gleich $-\frac{1}{2^{n+1}$ sein: aber überlege dies bitte selbst.
> Wenn wir bei uns in der Übung
> Laurent-Reihen entwicklen, dann steht da irgendwie nie eine
> Summe mit negativen Indizes. Und trotzdem heißt es immer,
> dass ist dann eine Laurent-Reihe, das verstehe ich
> garnicht...
Wenn Du nur nicht-negative Indizes hast, dann handelt es sich im Grunde um eine Potenzreihe. Die allgemeine Form einer ![[]](/images/popup.gif) Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] ist in der Tat [mm] $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$. [/mm] Was ihr in den Übungen gemacht habt, könnte ich höchstens spekulieren...
> > Wegen [mm]\left|-\frac{1}{z}\right|<1\Leftrightarrow 1<|z|[/mm] und
> [mm]\left|\frac{z}{2}\right|<1\Leftrightarrow |z|<2[/mm]
> konvergieren die beiden Reihen im gewünschten Bereich
> [mm]1<|z|<2[/mm].
>
> 2) Irgendwie haperts gerade auch noch an dem Umstellen der
> Beträge. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann willst
> du doch die Beträge umformen zu ...<1 um die geometrische
> Reihe anzuwenden, oder? Wenn ich jetzt 1<|z| umforme, dann
> komme ich aber [teilen durch |z|>0, was wenn |z|=0?] auf
> [mm]\bruch{1}{|z|}<1.[/mm] Wo kommt bei dir das Minus her?
Bei der geometrischen Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty \red{z}^n$ [/mm] liegt absolute Konvergenz genau dann vor, wenn [mm] $|\red{z}|<1$ [/mm] gilt. - Einverstanden? - Gut: nun haben wir aber die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^\infty \red{\left(-\frac{1}{z}\right)}^n$. [/mm] Das heisst wir haben [mm] $-\frac{1}{z}$ [/mm] anstelle von $z$: macht nichts, denn auch [mm] $-\frac{1}{z}$ [/mm] ist einfach eine komplexe Zahl, die für absolute Konvergenz dieser Reihe die Bedingung erfüllen muss, dass ihr Betrag $<1$ ist. Kurz: hier muss - immer für absolute Konvergenz - gelten:
[mm]\begin{array}{llclll}
&\left|\red{-\frac{1}{z}}\right| &<& 1 &\qquad&\\
\Leftrightarrow & \left|\frac{1}{z}\right| &<& 1 &&\big| \cdot |z|\\
\Leftrightarrow & 1 &<& |z|
\end{array}[/mm]
> Genauso
> im zweiten Betrag: ausgehend von |z|<2 kommt ich mit teilen
> durch 2 auf [mm]\bruch{|z|}{2}<1,[/mm] aber nicht auf einen Betrag
> um die 2 im Nenner
Ditto bei der zweiten Reihe, die hat die Form [mm] $\sum\limits_{n=0}^\infty \red{\left(\frac{z}{2}\right)}^n$, [/mm] also muss - wieder für absolute Konvergenz - gelten,
[mm]\begin{array}{llclll}
&\left|\red{\frac{z}{2}}\right| &<& 1 &\qquad &\big| \cdot 2\\
\Leftrightarrow & |z| &<& 2
\end{array}[/mm]
Damit beide Reihen konvergieren, muss also $1<|z|$ und $|z|<2$, d.h. $1<|z|<2$ gelten. Dies ist ja typisch für Laurentreihen: dass sie im Innern eines Kreisringes absolut konvergieren. (Im Unterschied dazu konvergieren Potenzreihen im Innern eines Kreises absolut.)
> Könntest du mir das noch erklären?
Ich habe es zumindest versucht.
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