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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Bestimmen und klassifizieren Sie die isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen. Bestimmen
Sie danach die Laurententwicklungen samt Konvergenzbereich um diese isolierten Singularitäten und überprüfen damit Ihre Klassifizierung.
a) [mm]f:z\mapsto \bruch{ze^{\bruch{1}{z}}}{(z-1)^2}[/mm]
b) [mm]g:z\mapsto \bruch{z-sin(z)}{z^3}[/mm]
c) [mm]h:z\mapsto \bruch{Log(1+z)}{z}[/mm] |
Mein Problem sind die Laurent-Entwicklungen.
Für die isolierten Singularitäten habe ich bei
a) bei 1 und 0 je einen Pol
b) einen Pol bei 0
c) ebenfalls einen Pol bei 0, die anderen Singularitäten auf der reellen Achse für z<-1 sind ja nicht isoliert.
Soweit richtig?
Gruß Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen und klassifizieren Sie die isolierten
> Singularitäten der folgenden Funktionen. Bestimmen
> Sie danach die Laurententwicklungen samt Konvergenzbereich
> um diese isolierten Singularitäten und überprüfen damit
> Ihre Klassifizierung.
>
> a) [mm]f:z\mapsto \bruch{ze^{\bruch{1}{z}}}{(z-1)^2}[/mm]
>
> b) [mm]g:z\mapsto \bruch{z-sin(z)}{z^3}[/mm]
>
> c) [mm]h:z\mapsto \bruch{Log(1+z)}{z}[/mm]
> Mein Problem sind die
> Laurent-Entwicklungen.
>
> Für die isolierten Singularitäten habe ich bei
> a) bei 1 und 0 je einen Pol
> b) einen Pol bei 0
> c) ebenfalls einen Pol bei 0, die anderen Singularitäten
> auf der reellen Achse für z<-1 sind ja nicht isoliert.
>
> Soweit richtig?
Ich muß dich enttäuschen, aber Du hast fast nichts richtig!
Zu a): 1 ist ein Pol, soweit hast Du recht, aber 0 ist eine wesentliche Singularität, denn es ist
[mm] e^{1/z} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}\bruch{1}{z^n}
[/mm]
Zu b): 0 ist eine hebbare Singularität. Schreib mal die Potenzreihe vom Sinus auf und schreibe damit
[mm] \bruch{z-sin(z)}{z^3} [/mm]
hin. Dann siehst Du es.
Zu c) 0 ist eine hebbare Singularität. Schreib mal die Potenzreihe von Log(1+z) auf und schreibe damit
[mm] \bruch{Log(1+z)}{z} [/mm]
hin. Dann siehst Du es.
FRED
>
> Gruß Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
Also ich habe in b) die reihenentwicklung des sinus eingesetzt und nach umformen heraus:
[mm]f(z)=\summe_{n=-2}^\infty a_nz^n[/mm]
mit [mm]a_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade oder } n=-2 \\ \bruch{(-1)^\bruch{n}{2}}{(n+3)!}, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Stimmt das? Dann folgt ja auch die hebbare Singularität daraus das [mm]a_n=0 \mbox{ falls } n<0[/mm]
Wie ich auf die Laurentreihe bei a) kommen soll ist mir immer noch unklar.
Gruß Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe in b) die reihenentwicklung des sinus
> eingesetzt und nach umformen heraus:
>
> [mm]f(z)=\summe_{n=-2}^\infty a_nz^n[/mm]
> mit [mm]a_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade oder } n=-2 \\ \bruch{(-1)^\bruch{n}{2}}{(n+3)!}, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Machs doch nicht so kompliziert !
[mm] \bruch{z-sinz}{z^3} [/mm] = [mm] \bruch{z - (z -z^3/3! + z^5/5! -+ ....)}{z^3} [/mm] = 1/3! [mm] +z^2/5! [/mm] -+ ....
Siehst Du es jetzt ?
>
> Stimmt das? Dann folgt ja auch die hebbare Singularität
> daraus das [mm]a_n=0 \mbox{ falls } n<0[/mm]
>
> Wie ich auf die Laurentreihe bei a) kommen soll ist mir
> immer noch unklar.
Schreib mal [mm] e^z [/mm] als Potenzreihe
FRED
>
> Gruß Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
Hm was soll ich sehen? Das ist doch genau die Reihe die ich angegeben habe, nur ausgeschrieben.
Und bei der a) ist mein Problem eher, den Nennen da mit hineinzubringen, den Zähler kann man schreiben als
[mm]ze^{\bruch{1}{z}}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{-n+1}}{n!}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
cool :) b) und c) liefern mir durch einsetzen der Reihenentwicklungen jeweils Potenzreihen, sind also gelöst... nur a) macht noch Ärger^^
vielen Dank schon mal bis hierher :=))))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
Klar düfte sein, dass 0 keine hebbare Singularität ist.
Angenommen, 0 wäre ein Pol der Ordnung m [mm] \ge [/mm] 1. Dann wäre die Funktion $g(z) : = [mm] z^{m+1}f(z)$ [/mm] in einer Umgebung U von 0 holomorph, dann wäre aber auch [mm] z^{m+1}e^{1/z} [/mm] in U holomorph. Das ist sie aber nicht, wie man an der Reihenentwicklung sofort ablesen kan.
FAZIT: 0 ist eine wesentliche Singularität von f
FRED
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