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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Laurent-und Potenzreihenentw.
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Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 So 29.03.2009
Autor: jaruleking

Aufgabe
Bestimme die Laurententwicklung von [mm] f(z)=e^{\bruch{1}{1-z}} [/mm] auf (z: |z|>1)!

So, habe dann mal so angefangen:

[mm] e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(\bruch{1}{1-z})^k [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(1-z)^{-k} [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-k \\ i}*(-z)^i [/mm]

so, weiter komme ich jetzt leider irgendwie nicht mehr und ich weiß auch wieder nicht, wie ich die Potenzreihenentwicklung machen könnte??

Danke für hilfe.

Grüße


        
Bezug
Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:22 Mi 01.04.2009
Autor: felixf

Hallo

> Bestimme die Laurententwicklung von [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{1-z}}[/mm]
> auf (z: |z|>1)!
>  So, habe dann mal so angefangen:
>  
> [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(\bruch{1}{1-z})^k[/mm]
>  [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*(1-z)^{-k}[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}*(\bruch{1}{k!})*\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-k \\ i}*(-z)^i[/mm]
>  
> so, weiter komme ich jetzt leider irgendwie nicht mehr und
> ich weiß auch wieder nicht, wie ich die
> Potenzreihenentwicklung machen könnte??

Das ist doch schon eine Potenzreihe (wenn du die Summen richtig umstellst und nach den Exponenten von $z$ sortierst). Allerdings bringt die dir nix, da sie auf [mm] $\{ z : |z| < 1 \}$ [/mm] konvergiert.

Damit du etwas auf [mm] $\{ z : |z| > 1 \}$ [/mm] konvergentes herausbekommst brauchst du eine echte Laurentreihe.

Fangen wir doch mal mit der Funktion [mm] $\frac{1}{1 - z}$ [/mm] an. Wie kannst du sie als Laurentreihe entwickeln, die auf [mm] $\{ z : |z| > 1 \}$ [/mm] konvergiert? Beachte, dass $|1/z| < 1$ ist; du willst also eine Potenzreihe in $1/z$ haben. Nun ist [mm] $\frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] \frac{1/z}{1/z - 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty (1/z)^j [/mm] = [mm] -\sum_{j=1}^\infty z^{-j}$ [/mm] nach der geometrischen Reihe, und diese Reihe konvergiert fuer $|1/z| < 1$, also fuer $|z| > 1$.

Jetzt versuch das ganze mal mit [mm] $\left(\frac{1}{1 - z}\right)^k$, [/mm] und dann setz das in [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k$ [/mm] ein.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mi 01.04.2009
Autor: jaruleking

Hi, danke für die Anwort.

ist der zweite teil nicht genauso, also analog??

> [mm] \frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] \frac{1/z}{1/z - 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty (1/z)^j [/mm] = [mm] -\sum_{j=1}^\infty z^{-j} [/mm]

denn das ganze dann mit  $ [mm] \left(\frac{1}{1 - z}\right)^k [/mm] $ mache, dass man dann auf [mm] (-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k [/mm] kommt???

also insgesamt dann:  $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k [/mm] $

ist das so richtig??

grüße

Bezug
                        
Bezug
Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mi 01.04.2009
Autor: felixf

Hallo

> Hi, danke für die Anwort.
>  
> ist der zweite teil nicht genauso, also analog??

Nunja, fast.

> > [mm]\frac{1}{1 - z}[/mm] = [mm]\frac{1/z}{1/z - 1}[/mm] = [mm]-\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z}[/mm]
> = [mm]-\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty (1/z)^j[/mm] =
> [mm]-\sum_{j=1}^\infty z^{-j}[/mm]
>  
> denn das ganze dann mit  [mm]\left(\frac{1}{1 - z}\right)^k[/mm]
> mache, dass man dann auf [mm](-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k[/mm]
> kommt???

Kannst du natuerlich so machen, aber: viel Spass beim ausmultiplizieren! (Bzw. lass es lieber...)

Versuch doch mal gleich eine Potenzreihe von [mm] $\left(\frac{1}{1 - x}\right)^k$ [/mm] zu finden (fuer $k = 1$ ist's die geometrische Reihe); Tipp: geometrische Reihe ableiten!

> also insgesamt dann:  [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (-\sum_{j=1}^\infty z^{-j})^k[/mm]
>  
> ist das so richtig??

Du muesstest das hoch $k$ noch loswerden.

LG Felix


Bezug
                                
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Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Sa 25.04.2009
Autor: jaruleking

Hi, ist zwar schon länger aber irgendwie habe ich immer noch nicht das Ergebnis dieser Aufgabe.

so, ich leite die Geo. Reihe mal ab, dann habe ich [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z})'=\summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-z)^2} [/mm]


Dass hilft mir aber irgendwie immer noch nicht, um was gescheites für $ [mm] \left(\frac{1}{1 - x}\right)^k [/mm] $ zu bekommen...


Was ist eigentlich, wenn ich sage sei h=1-z und das setze ich dann in [mm] e^{\bruch{1}{1-z}} [/mm] ein? d.h. [mm] e^{\bruch{1}{h}}=1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{h} [/mm] +   [mm] \bruch{1}{2!h^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!h^3} [/mm] + ...

naja, dass hat ja jetzt auch nicht wirklich was geändert...

Bezug
                                        
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Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:29 Di 28.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Hi, ist zwar schon länger aber irgendwie habe ich immer
> noch nicht das Ergebnis dieser Aufgabe.
>  
> so, ich leite die Geo. Reihe mal ab, dann habe ich
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-z})'=\summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]

Schoen. Und was passiert, wenn du nochmal ableitest? Und nochmal? Versuch doch mal ganz allgemein eine Formel fuer die $k$-te Ableitung von der geometrischen Reihe zu finden. Damit kannst du dann das hier beantworten:

> Dass hilft mir aber irgendwie immer noch nicht, um was
> gescheites für [mm]\left(\frac{1}{1 - x}\right)^k[/mm] zu
> bekommen...
>  
>
> Was ist eigentlich, wenn ich sage sei h=1-z und das setze
> ich dann in [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}[/mm] ein? d.h. [mm]e^{\bruch{1}{h}}=1[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{h}[/mm] +   [mm]\bruch{1}{2!h^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3!h^3}[/mm] +
> ...
>  
> naja, dass hat ja jetzt auch nicht wirklich was geändert...

Du sagst es.

LG Felix


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Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:10 Mi 29.04.2009
Autor: jaruleking

Hi felixf nochmal,

ok jetzt habe ich die k-te Ableitung der geo. Reihe, und zwar:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n(n-1)*...*(n-k+1)*x^{n-k}=\bruch{k!}{(1-x)^{k+1}} [/mm]

jetzt habe ich im internet gefunden, dass man das ganze auch so schreiben kann, wenn man auf beiden seite durch k! teilt:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}*x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm]


ich sehe jetzt leider immer noch nicht, wie ich das auf  $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k [/mm] $ und die Laurententwicklung anwenden kann :-(....

Bezug
                                                        
Bezug
Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Do 30.04.2009
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,


> Hi felixf nochmal,
>  
> ok jetzt habe ich die k-te Ableitung der geo. Reihe, und
> zwar:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n(n-1)*...*(n-k+1)*x^{n-k}=\bruch{k!}{(1-x)^{k+1}}[/mm]
>  
> jetzt habe ich im internet gefunden, dass man das ganze
> auch so schreiben kann, wenn man auf beiden seite durch k!
> teilt:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}*x^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm]
>  
>
> ich sehe jetzt leider immer noch nicht, wie ich das auf  
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k[/mm]
> und die Laurententwicklung anwenden kann :-(....


Nun, setze die gewonnenen Erkenntnis in die Summe ein.

Dies ist aber die Reihe für [mm]\vmat{z} < 1[/mm].

Gefragt ist aber die Reihe für [mm]\vmat{z} > 1[/mm]

Damit Du das auch in eine geometrische Reihe entwickeln kannst,
gehe wie folgt vor:

[mm]\bruch{1}{1-z}=-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}*\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{i}[/mm]


Gruß
MathePower

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Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Sa 02.05.2009
Autor: jaruleking

Hi nochmal,

also dieser tipp wurde mir ja schon gegeben:

> $ [mm] \bruch{1}{1-z}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{i} [/mm] $

nur ist doch [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} \not= (\bruch{1}{1-z})^k [/mm] , deswegen kann ich es doch nicht einfach in die Reihe einsetzen, oder doch??

$ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ \bruch{1}{(1-z)^{k+1}} [/mm]

komm gerade echt nicht weiter.

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Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Sa 02.05.2009
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,


> Hi nochmal,
>  
> also dieser tipp wurde mir ja schon gegeben:
>  
> >
> [mm]\bruch{1}{1-z}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=-\bruch{1}{z}\cdot{}\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{i}[/mm]
>  
> nur ist doch [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}} \not= (\bruch{1}{1-z})^k[/mm]
> , deswegen kann ich es doch nicht einfach in die Reihe
> einsetzen, oder doch??


Ein bischen umformen muß Du schon:

[mm]\left(\bruch{1}{1-z}\right)^k=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{z^{k}}*\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^{k}}[/mm]


Und die Reihe für den letzten Ausdruck ist Dir bekannt.


>  
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{1-z}\right)^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}[/mm] [mm]\bruch{1}{(1-z)^{k+1}}[/mm]
>  
> komm gerade echt nicht weiter.


Gruß
MathePower

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Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Sa 02.05.2009
Autor: jaruleking

Hi,

sorry, dass ich nochmal fragen muss, aber $ [mm] \left(\bruch{1}{1-z}\right)^k=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{z^{k}}\cdot{}\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^{k}} [/mm] $ hat doch nichts mit der Erkenntis bzw. mit der k-ten Ableitung der Geo. Reihe zu tun??? $ [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] $ $ [mm] \bruch{1}{(1-z)^{k+1}} [/mm] $ ??

Bezug
                                                                                        
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Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Sa 09.05.2009
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,

> Hi,
>  
> sorry, dass ich nochmal fragen muss, aber
> [mm]\left(\bruch{1}{1-z}\right)^k=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{z^{k}}\cdot{}\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^{k}}[/mm]
> hat doch nichts mit der Erkenntis bzw. mit der k-ten
> Ableitung der Geo. Reihe zu tun??? [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^{k+1}}[/mm] ??


Die haben erstmal nichts miteinander zu tun.

Du kannst hier

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}x^n = \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm]

für [mm]x=\bruch{1}{z}[/mm] einsetzen.


Gruß
MathePower

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Laurent-und Potenzreihenentw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mo 11.05.2009
Autor: jaruleking

Hi, also nochmal zu dieser Aufgabe:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm]  für $ [mm] x=\bruch{1}{z} [/mm] $ folgt:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{z})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}} [/mm] , dies konvergiert jetzt für z>1. somit folgt:

[mm] e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\cdot{}(\bruch{1}{1-z})^k =\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}} [/mm]

So, ist das jetzt schon die Laurententwicklung von der Fkt.?? Aber in Beitrag Nr. 3 sagt ja Felix, mann muss das hoch k auch loswerden, habe es aber irgendwie immer noch drin....

Bezug
                                                                                                        
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Laurent-und Potenzreihenentw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Mo 11.05.2009
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,

> Hi, also nochmal zu dieser Aufgabe:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}x^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm]  für [mm]x=\bruch{1}{z}[/mm] folgt:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{z})^n[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}}[/mm] , dies konvergiert
> jetzt für z>1. somit folgt:
>  
> [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\cdot{}(\bruch{1}{1-z})^k =\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k+1}}[/mm]



Das stimmt nicht ganz:

[mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\cdot{}(\bruch{1}{1-z})^k =\summe_{k=0}^{\infty}\cdot{}(\bruch{1}{k!})\red{\bruch{1}{z^{k}}}\bruch{\red{\left(-1\right)^{k}}}{(1-\bruch{1}{z} )^{\red{k}}}[/mm]


Und für [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z} )^{k}}[/mm] setzt Du die Reihe  [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}\cdot{}(\bruch{1}{z})^n[/mm] ein.


>  
> So, ist das jetzt schon die Laurententwicklung von der
> Fkt.?? Aber in Beitrag Nr. 3 sagt ja Felix, mann muss das
> hoch k auch loswerden, habe es aber irgendwie immer noch
> drin....


Gruß
MathePower

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