Laurent Entwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Man entwickle die Laurent-Reihe der [mm] f(z)=\bruch{1}{(z*(z-1)*(z-2))} [/mm] in den folgenden Gebieten:
i) {z : 0 < |z| < 1}; {z : 1 < |z| < 2}; {z : 2 < |z|<2}
ii) {z : 0 < |z − 1| < 1}; {z : 1 < |z − 1|}
iii) {z : 0 < |z − 2| < 1}; {z : 1 < |z − 2|<2}; {z : 2 < |z − 2|}. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] A=\IC [/mm] \ [a,b] mit [mm] 0\not\in [/mm] [a,b]. Zeige die Existenz einer Funktion f [mm] \in [/mm] H(A) mit [mm] e^{f(z)}=\bruch{z-a}{z-b} \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] A, [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0.
[/mm]
Des Weiteren sei r = min{|z| : z [mm] \in [/mm] [a, b]} und R = max{|a|, |b|}. Bestimme die Potenzreihenentwicklung von f, für |z| < r und die Laurent-entwicklung für |z| > R. |
Hi, habe bei den beiden Aufgaben bisschen Probleme. Bei Aufga. 1, versteh ich das mit den Gebieten da nicht so richtig, weiß erstmal nicht, wie ich die unterscheiden soll.
Und bei Aufgabe 2) habe ich gerae überhaupt keine Idee und weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Für hilfe sehr, sehr dankbar.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Fr 20.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Wirklich niemand paar tipps parat??
grüße
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Etwa Beispiel Aufgabe 1 i)
Führe eine Partialbruchzerlegung durch. Die einzelnen Summanden kannst du dann in Potenzreihen in [mm]z[/mm] bzw. [mm]\frac{1}{z}[/mm] entwickeln. Ich zeige es dir einmal bei [mm]\frac{1}{z-2}[/mm]. Ausgangspunkt ist immer die geometrische Reihe:
[mm]\frac{1}{z-2} = \frac{1}{-2 \left( 1 - \frac{z}{2} \right)} = - \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{z}{2} \right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} - \frac{z^k}{2^{k+1}} \ \ \mbox{für} \ \ |z| <2[/mm]
Jetzt umgekehrt:
[mm]\frac{1}{z - 2} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{z}} = \frac{1}{z} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{2}{z} \right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} 2^k z^{-k-1} = \sum_{k<0} 2^{-k-1} z^k \ \ \mbox{für} \ \ |z| > 2[/mm]
Und so machst du das für jeden der drei Summanden der Partialbruchzerlegung. Durch Addition bekommst du dann die entsprechende Laurent-Reihe. Je nachdem, welche Kombinationen du verwendest ([mm]|z|<\ldots[/mm] oder [mm]|z|>\ldots[/mm]), gehören diese zu den genannten Ringgebieten.
Bei ii) ist 1 der Entwicklungsmittelpunkt. Da fängt man so an zu rechnen:
[mm]\frac{1}{z-2} = \frac{1}{-1+(z-1)} = - \frac{1}{1 - (z-1)}[/mm]
Und wieder geht es weiter mit der geometrischen Reihe ...
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Hi, vielen dank erstmal, aber irgendwie habe ich das mit den der L.entwicklung noch nicht so verstanden.
Woran sehe ich den unterschied, dass es hier für |z| <2 und bei deiner zweiten rechnung für |z| > 2 ist??? habe irgendwie noch nicht gemerkt, woran man das sieht und wohin man immer hinarbeiten muss???
$ [mm] \frac{1}{z-2} [/mm] = [mm] \frac{1}{-2 \left( 1 - \frac{z}{2} \right)} [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{z}{2} \right)^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{z^k}{2^{k+1}} [/mm] \ \ [mm] \mbox{für} [/mm] \ \ |z| <2 $
und dann weiß ich bei meinen beispielen auch nicht, z.b. bei dier i) wie das so mit den gebieten gmeint ist??
i) {z : 0 < |z| < 1}; {z : 1 < |z| < 2}; {z : 2 < |z|<2}, woher weiß ich, wie ich hier entwickeln muss??
danke für hilfe,
grüße
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Wie gesagt - geometrische Reihe:
[mm]\frac{1}{1-w} = \sum_{k \geq 0} w^k[/mm]
Und bekanntermaßen ist 1 der Konvergenzradius: [mm]|w|<1[/mm].
Wenn man nun [mm]w[/mm] substituiert, muß man das auch beim Konvergenzbereich tun; zum Beispiel geht es mit [mm]w = \frac{z}{2}[/mm] so:
[mm]\frac{1}{1- \frac{z}{2}} = \sum_{k \geq 0} \left( \frac{z}{2} \right)^k \, , \ \ \left| \frac{z}{2} \right| < 1[/mm]
Die letzte Ungleichung kann man aber so umformen: [mm]|z| < 2[/mm].
Substituiert man dagegen [mm]w = \frac{2}{z}[/mm] folgt analog [mm]|z| > 2[/mm].
Du mußt also in dieser Aufgabe immer auf Ausdrücke der Art [mm]\frac{1}{1 - \ldots}[/mm] hinarbeiten. Bei den Pünktchen müssen je nachdem Ausdrücke der Art [mm]\frac{z}{2}, \, \frac{117}{z-1}, \, 3(z-2)[/mm] usw. stehen, so daß du in der Potenzreihe Potenzen mit [mm]z^k, \, (z-1)^k, \, (z-2)^k[/mm] usw. bekommst.
Übrigens muß es wohl in i) beim letzten Gebiet [mm]2 < |z| < \infty[/mm] heißen, wobei man das "[mm]< \infty[/mm]" nur aus Gründen der Analogiebildung schreibt. Das ist natürlich in Wirklichkeit überflüssig, da der Betrag einer komplexen Zahl immer endlich ist.
Vielleicht einmal die Lösung für i) im Ringgebiet [mm]1 < |z| < 2[/mm]:
[mm]f(z) = \frac{1}{z(z-1)(z-2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z} - \frac{1}{z-1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z-2}[/mm]
1. Mit [mm]\frac{1}{z}[/mm] ist man schon fertig. Das ist definiert für [mm]0 < |z| < \infty[/mm].
2. Jetzt der zweite Summand:
[mm]- \frac{1}{z-1} = - \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - z^{-1}} = - z^{-1} \sum_{k \geq 0} z^{-k} = - \sum_{k<0} z^k \ \ \mbox{für} \ \ |z|>1[/mm]
3. Und beim dritten Summanden haben wir
[mm]\frac{1}{z-2} = - \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} \ \ \mbox{für} \ \ |z|<2[/mm]
Schaut man sich die Gültigkeitsbereiche der drei Summanden an, so überschneiden sie sich in [mm]1 < |z| < 2[/mm]. Daher gilt:
[mm]f(z) = \frac{1}{2} \cdot z^{-1} - \sum_{k<0} z^k - \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} = - \frac{1}{2} \cdot z^{-1} - \sum_{k \leq -2} z^k - \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+2}} \ \ \mbox{für} \ \ 1 < |z| < 2[/mm]
So - und jetzt bist aber wirklich du an der Reihe!
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Hi, vielen dank nochmal, für deine hilfe. auch wenn meine nachricht jetzt bisschen spät kommt.
habe dennoch nochmal paar fragen:
du machst ja die entwicklung im Ringgebiet 1 < |z| < 2, woher weiß ich jetzt, dass du es hier
- [mm] \frac{1}{z-1} [/mm] = - [mm] \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - z^{-1}} [/mm] = - [mm] z^{-1} \sum_{k \geq 0} z^{-k} [/mm] = - [mm] \sum_{k<0} z^k \mbox{für} [/mm] |z|>1 , und nicht [mm] \mbox{für} [/mm] |z|<2
das gleiche dann hier, [mm] \frac{1}{z-2} [/mm] = - [mm] \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} \mbox{für} [/mm] |z|<2 und nicht [mm] \mbox{für} [/mm] |z|>1
mit diesen ringgebieten habe ich irgendwie noch voll verständnisprobleme, weiß nicht, wie man da so richtig mit umgeht.
dann auch hier nochmal ne frage:
> f(z) = [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k<0} z^k [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k \leq -2} z^k [/mm] - [mm] \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+2}} \mbox{für} [/mm] 1 < |z| < 2
den letzten schritt versteh ich noch nicht so, du springst von k<0 auf k<-2 und bei dem anderen änderst du [mm] 2^{k+1} [/mm] zu [mm] 2^{k+2}, [/mm] obwohl k [mm] \ge [/mm] 0 bleibt.
danke für hilfe.
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mo 23.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi, vielen dank nochmal, für deine hilfe. auch wenn meine
> nachricht jetzt bisschen spät kommt.
>
> habe dennoch nochmal paar fragen:
>
> du machst ja die entwicklung im Ringgebiet 1 < |z| < 2,
> woher weiß ich jetzt, dass du es hier
>
> - [mm]\frac{1}{z-1} = - \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - z^{-1}} = - z^{-1} \sum_{k \geq 0} z^{-k} = - \sum_{k<0} z^k [/mm] [mm] \mbox{für }[/mm] [mm] |z|>1[/mm] , und nicht [mm]\mbox{für } |z|<2[/mm]
Konvergenz der Reihe: sie konvergiert für [mm] $|z^{-1}|<1 \gdw [/mm] |z| >1$.
>
> das gleiche dann hier, [mm]\frac{1}{z-2}[/mm] = - [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} \mbox{für}[/mm]
> |z|<2 und nicht [mm]\mbox{für}[/mm] |z|>1
Auch wieder: Konvergenz der geometrischen Reihe. Diese Reihe konvergeirt für [mm] $\left|\frac{z}{2}\right| [/mm] < 1$.
> dann auch hier nochmal ne frage:
>
> > [mm]f(z) = \frac{1}{2} \cdot z^{-1} - \sum_{k<0} z^k - \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}}= - \frac{1}{2} \cdot z^{-1} - \sum_{k \leq -2} z^k - \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+2}} [/mm] [mm] \mbox{für}[/mm] [mm] 1 < |z| < 2 [/mm]
>
> den letzten schritt versteh ich noch nicht so, du springst
> von k<0 auf k<-2
Nicht richtig: von $k<0$ zu [mm] $k\le [/mm] -2 [mm] \gdw [/mm] k<-1$. Hier wird nicht gesprungen, sondern das Glied mit $k=-1$ aus der Summe herausgezogen und mit dem ersten Summanden kombiniert, deswegen das Minuszeichen vor [mm] $\frac{1}{2} \cdot z^{-1}$.
[/mm]
> und bei dem anderen änderst du [mm]2^{k+1}[/mm] zu
> [mm]2^{k+2},[/mm] obwohl k [mm]\ge[/mm] 0 bleibt.
Schau genau hin: da ist nur der Vorfaktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] in die Summe gezogen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo nochmal
> - $ [mm] \frac{1}{z-1} [/mm] = - [mm] \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - z^{-1}} [/mm] = - [mm] z^{-1} \sum_{k \geq 0} z^{-k} [/mm] = - [mm] \sum_{k<0} z^k [/mm] $ $ [mm] \mbox{für } [/mm] $ $ |z|>1 $ , und nicht $ [mm] \mbox{für } [/mm] |z|<2 $
> Konvergenz der Reihe: sie konvergiert für $ [mm] |z^{-1}|<1 \gdw [/mm] |z| >1 $.
>
> das gleiche dann hier, $ [mm] \frac{1}{z-2} [/mm] $ = - $ [mm] \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} \mbox{für} [/mm] $
> |z|<2 und nicht $ [mm] \mbox{für} [/mm] $ |z|>1
> Auch wieder: Konvergenz der geometrischen Reihe. Diese Reihe konvergeirt für $ [mm] \left|\frac{z}{2}\right| [/mm] < 1 $.
Was ich ja nur nicht verstehe, wieso untersucht man nicht ALLE summanden auf den gleichen konvergenzbereich?? Wieso einmal einen Teil auf |z| >1 und den anderen auf [mm] \left|\frac{z}{2}\right| [/mm] < 1 . D.h. Wieso nicht einmal durch alles auf |z| >1 und dann auf [mm] \left|\frac{z}{2}\right| [/mm] < 1??? Weil ich weiß gerade nicht, wie man erkennt, was man auf was untersuchen muss? Weiß nicht, ob ich mich gut ausdrücke, damit ihr mich versteht.
> > $ f(z) = [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k<0} z^k [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}}= [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k \leq -2} z^k [/mm] - [mm] \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+2}} [/mm] $ $ [mm] \mbox{für} [/mm] $ $ 1 < |z| < 2 $
>
> den letzten schritt versteh ich noch nicht so, du springst
> von k<0 auf k<-2
> Nicht richtig: von $ k<0 $ zu $ [mm] k\le [/mm] -2 [mm] \gdw [/mm] k<-1 $. Hier wird nicht gesprungen, sondern das Glied mit $ k=-1 $ aus der Summe herausgezogen und mit dem ersten Summanden kombiniert, deswegen das Minuszeichen vor $ [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] $.
Das habe ich auch noch nicht so verstanden, warum ändern sich hier das Vorzeichen f(z) = [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k<0} z^k [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}}, [/mm] wenn man k=-1 aus der Summe herauszieht???
Danke für Erklärungen.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 24.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal
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> > - [mm]\frac{1}{z-1} = - \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - z^{-1}} = - z^{-1} \sum_{k \geq 0} z^{-k} = - \sum_{k<0} z^k[/mm]
> [mm]\mbox{für }[/mm] [mm]|z|>1[/mm] , und nicht [mm]\mbox{für } |z|<2[/mm]
>
> > Konvergenz der Reihe: sie konvergiert für [mm]|z^{-1}|<1 \gdw |z| >1 [/mm].
>
> >
> > das gleiche dann hier, [mm]\frac{1}{z-2}[/mm] = - [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}} \mbox{für}[/mm]
>
> > |z|<2 und nicht [mm]\mbox{für}[/mm] |z|>1
>
> > Auch wieder: Konvergenz der geometrischen Reihe. Diese
> Reihe konvergeirt für [mm]\left|\frac{z}{2}\right| < 1 [/mm].
>
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> Was ich ja nur nicht verstehe, wieso untersucht man nicht
> ALLE summanden auf den gleichen konvergenzbereich??
Was meinst du mit "auf Konvergenzbereich untersuchen"? Jede der beiden Reihen hat eine eigenen Konvergenzbereich, also konvergiert die Summe der beiden Reihen auf der Schnittmenge.
> > > [mm]f(z) = \frac{1}{2} \cdot z^{-1} - \sum_{k<0} z^k - \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}}= - \frac{1}{2} \cdot z^{-1} - \sum_{k \leq -2} z^k - \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+2}}[/mm]
> [mm]\mbox{für}[/mm] [mm]1 < |z| < 2[/mm]
> >
> > den letzten schritt versteh ich noch nicht so, du springst
> > von k<0 auf k<-2
>
> > Nicht richtig: von [mm]k<0[/mm] zu [mm]k\le -2 \gdw k<-1 [/mm]. Hier wird
> nicht gesprungen, sondern das Glied mit [mm]k=-1[/mm] aus der Summe
> herausgezogen und mit dem ersten Summanden kombiniert,
> deswegen das Minuszeichen vor [mm]\frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm].
>
>
> Das habe ich auch noch nicht so verstanden, warum ändern
> sich hier das Vorzeichen f(z) = [mm]\frac{1}{2} \cdot z^{-1}[/mm] -
> [mm]\sum_{k<0} z^k[/mm] - [mm]\frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}},[/mm]
> wenn man k=-1 aus der Summe herauszieht???
Schreibe dir den ersten Term der Reihe (für k=-1) hin! Wie lautet er?
Viele Grüße
Rainer
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> Was meinst du mit "auf Konvergenzbereich untersuchen"? Jede der beiden Reihen hat eine eigenen Konvergenzbereich, also konvergiert die Summe der beiden Reihen auf der Schnittmenge.
Ja genau damit habe ich ja noch bisschen probleme, woran erkannt man, was man bei welche reihe machen muss??? Wie halt hier im beispiel, bei der ersten für |z|>1 und bei der zweiten für |z|<2 und nicht umgekehrt. Umgekehrt würde es vielleicht gar nicht gehen, aber im allgemeinen, gibts da irgendwie tricks für oder woran sieht man das??
> Schreibe dir den ersten Term der Reihe (für k=-1) hin! Wie lautet er?
k=-1 bedeutet doch in der summe einen dazuzählen oder nicht??
f(z) = $ [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k<0} z^k [/mm] $ - $ [mm] \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}}, [/mm] $
d.h. f(z) = $ [mm] \frac{1}{2} \cdot z^{-1} [/mm] - [mm] \sum_{k=-1} z^{k+1} [/mm] $ - $ [mm] \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0} \frac{z^k}{2^{k+1}}, [/mm] $ ??????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 24.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Was meinst du mit "auf Konvergenzbereich untersuchen"? Jede
> der beiden Reihen hat eine eigenen Konvergenzbereich, also
> konvergiert die Summe der beiden Reihen auf der
> Schnittmenge.
>
> Ja genau damit habe ich ja noch bisschen probleme, woran
> erkannt man, was man bei welche reihe machen muss??? Wie
> halt hier im beispiel, bei der ersten für |z|>1 und bei der
> zweiten für |z|<2 und nicht umgekehrt. Umgekehrt würde es
> vielleicht gar nicht gehen, aber im allgemeinen, gibts da
> irgendwie tricks für oder woran sieht man das??
Wenn du einen Term der Form [mm] $\bruch{1}{az+b}$ [/mm] hast, nimmst meistens die geometrische Reihe. Dafür brauchst du die From [mm] $\bruch{1}{1+q}$, [/mm] was du entweder mit $q=az/b$ oder mit $q=b/(az)$ erreichst (bis auf einen konstanten Vorfaktor, der für die Entwicklung unerheblich ist). Die Reihe konvergiert für $|q|<1$, woraus sich die entsprechenden Bedingungen $|z|<|b/a|$ oder $|z|>|a/b|$ ergeben.
>
>
> > Schreibe dir den ersten Term der Reihe (für k=-1) hin! Wie
> lautet er?
>
> k=-1 bedeutet doch in der summe einen dazuzählen oder
> nicht??
Das verstehe ich nicht. k=-1 ist der erste (größte) Wert des Summationsindex.
Noch einmal: wie lautet der erste Term der Reihe [mm] $\sum_{k<0} z^k [/mm] = [mm] \summe_{k=-1}^{-\infty} z^k$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
achso jetzt habe ich erst verstanden,was du meinst, und warum man zu diesem ergebnis kommt, klar:
$ [mm] \sum_{k<0} z^k [/mm] = [mm] \summe_{k=-1}^{-\infty} z^k [/mm] $ [mm] =-\bruch{2}{2}z^{-1}-\summe_{k=-2}^{-\infty} z^k [/mm] ...
Danke für die Geduld  .
kann mir vielleicht noch jemand mit der Aufgabe 2 helfen, dazu haben wir ja noch gar nichts gemacht????
Danke für Hilfe.
Güße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 26.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> kann mir vielleicht noch jemand mit der Aufgabe 2 helfen,
> dazu haben wir ja noch gar nichts gemacht????
Zerlege die gesuchte Funktion in Real- und Imaginärteil, zeige dass beide wohldefiniert sind, dass die Funktionen differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Dann berechnest du die komplexe Ableitung der Definitionsgleichung und daraus $f'(z)$.
Viele Grüße
Rainer
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