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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | | [mm] $f:z\mapsto \frac{1}{z}(z-i)^3$ [/mm] |
Ich suche von f die Laurententwicklung um i und weiß nicht wirklich wie ich an diese kommen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
f ist in einer Umgebung von $i$ holomorph , damit ist die gesuchte Laurent entwicklung eine Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-i)^n
[/mm]
Wie hängen die [mm] a_n [/mm] mit den Ableitungen von f an der Stelle $i$ zusammen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
Achso es läuft auf
[mm] a_n=\frac{f^{(n)}(i)}{n!}
[/mm]
hinaus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
Ups... ist mir jetzt ein bisschen peinlich aber da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen...
es muss heißen
$ [mm] f:z\mapsto \frac{1}{z}(z-i)^{-3} [/mm] $
womit das Argument holomorph hinfällig ist.
Sorry das mir das erst jetzt auffällt, ich war zwischenzeitlich außer Haus und dann mit Graphentheorie beschäftigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Das ist natürlich etwas anderes ! Merke Dir: bei solchen Aufgaben läuft es meist auf die geometrische Reihe hinaus. So auch hier.
Sei $ f(z) = [mm] \frac{1}{z}(z-i)^{-3} [/mm] $
wir betrachten zunächst 1/z:
[mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z-i+i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i(1+\bruch{z-i}{i})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{i^n}(z-i)^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{i^{n+1}}(z-i)^n [/mm] für |z-i|<1
Somit:
$f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{i^{n+1}}(z-i)^{n-3}$ [/mm] für $|z-i|<1$
FRED
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