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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Laurententwicklung
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Laurententwicklung: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Do 07.06.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
Entwickeln Sie die Funktionen mit den Funktionswerten
a) [mm] e^{\bruch{1}{z-1}} [/mm] für |z|>1
b) [mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] für 0<|a|<|z|<|b|
jeweils in ihre Laurentreihen.

Hallo liebe Mathefreunde ^^
ich habe mal wieder ein Problemchen mit dieser Aufgabe. Generell bin ich noch nicht ganz so bewandert mit den Laurentreihen, ich weiß aber dass sie eine Gestalt der Art [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n} [/mm] besitzen. (wobei [mm] z_{0} [/mm] der Entwicklungspunkt ist.
Hauptsächlich geht es mir um die Aufgabe (a) (die (b) dürfte doch mit Partialbruchzerlegung zu lösen sein?!): Der Entwicklungspunkt ist doch 0 !? Ich habe mit der Taylorreihe begonnen, weiß jedoch nicht wie ich mich von dem (z-1) losreißen soll um irgendwie etwas der Art [mm] z^n [/mm] zu erzeugen:

[mm] exp(\bruch{1}{z-1})=\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!(z-1)^{n}} [/mm]

Hier komm ich jedoch nicht weiter oder bin ich vll auf dem Holzweg?

Vielen Dank für eure Hilfe ! :-)

LG Blacki

        
Bezug
Laurententwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Do 07.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Blackwolf1990,


> Entwickeln Sie die Funktionen mit den Funktionswerten
>  a) [mm]e^{\bruch{1}{z-1}}[/mm] für |z|>1
>  b) [mm]\bruch{1}{(z-a)(z-b)}[/mm] für 0<|a|<|z|<|b|
>  jeweils in ihre Laurentreihen.
>  Hallo liebe Mathefreunde ^^
>  ich habe mal wieder ein Problemchen mit dieser Aufgabe.
> Generell bin ich noch nicht ganz so bewandert mit den
> Laurentreihen, ich weiß aber dass sie eine Gestalt der Art
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n}[/mm] besitzen.
> (wobei [mm]z_{0}[/mm] der Entwicklungspunkt ist.
>  Hauptsächlich geht es mir um die Aufgabe (a) (die (b)
> dürfte doch mit Partialbruchzerlegung zu lösen sein?!):
> Der Entwicklungspunkt ist doch 0 !? Ich habe mit der
> Taylorreihe begonnen, weiß jedoch nicht wie ich mich von
> dem (z-1) losreißen soll um irgendwie etwas der Art [mm]z^n[/mm] zu
> erzeugen:
>  
> [mm]exp(\bruch{1}{z-1})=\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!(z-1)^{n}}[/mm]
>


Das ist der erste Schritt.

Da die Laurentreihe für [mm]\vmat{z}>1[/mm] konvergieren soll,
ist

[mm]z-1=z*\left(1-\bruch{1}{z}\right)[/mm]

zu schreiben, was dann zu

[mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!z^{n}(1-\bruch{1}{z})^{n}}[/mm]

führt.

Der Bruch  [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z})^{n}}[/mm] ist dann
geometrische Reihe zu entwickeln, wobei  es meines Erachtens
genügt den Bruch [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z})}[/mm] in eine ebensolche
geometrische Reihe zu entwickeln.


> Hier komm ich jedoch nicht weiter oder bin ich vll auf dem
> Holzweg?
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe ! :-)
>  
> LG Blacki


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Laurententwicklung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:23 Fr 08.06.2012
Autor: Blackwolf1990

Okay vielen Dank für deine ausführliche Rückmeldung, jetzt weiß ich wie ich da rangehen kann und werde das mal probieren ! :)
Ich melde mich nochmal, falls es Komplikationen gibt ! ;-)

LG Blacki

Bezug
                
Bezug
Laurententwicklung: So etwa
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 So 10.06.2012
Autor: Blackwolf1990

Okay also ich steh jetzt doch wieder vor einem großen Fragezeichen.. ^^
Also wenn ich die geometrische Reihe anwende dann steht da:

[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!z^{n}} (\sum_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k})^{n} [/mm]

oder? Aber das scheint mir in einer recht ungünstigen Form zu sein, das kann ich doch nicht so stehen lassen als Laurentreihe oder?

bei der (b) komme ich mit Partialbruchzerlegung auf

[mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(b-a)(z-a)}-\bruch{1}{(a-b)(z-b)} [/mm]

Auch hier fehlt mir mal wieder die richtige Richtung.. man müsste bestimmt mit geometrischer Reihe arbeiten, oder? aber wenn ja wie?

Vielen dank für die Hilfe! LG Blacki

Bezug
                        
Bezug
Laurententwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 So 10.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Blackwolf1990,

> Okay also ich steh jetzt doch wieder vor einem großen
> Fragezeichen.. ^^
>  Also wenn ich die geometrische Reihe anwende dann steht
> da:
>  
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!z^{n}} (\sum_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k})^{n}[/mm]
>  
> oder? Aber das scheint mir in einer recht ungünstigen Form
> zu sein, das kann ich doch nicht so stehen lassen als
> Laurentreihe oder?
>  


Sofern Du eine andere Idee hast,
kannst Du es mit dieser probieren.


> bei der (b) komme ich mit Partialbruchzerlegung auf
>
> [mm]\bruch{1}{(z-a)(z-b)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(b-a)(z-a)}-\bruch{1}{(a-b)(z-b)}[/mm]
>

Hier muss es dochlauten:

[mm]\bruch{1}{(z-a)(z-b)} = \bruch{\blue{-}1}{(b-a)(z-a)}+\bruch{1}{b-a)(z-b)}[/mm]


> Auch hier fehlt mir mal wieder die richtige Richtung.. man
> müsste bestimmt mit geometrischer Reihe arbeiten, oder?
> aber wenn ja wie?
>  


Zunächst musst Du dafür sorgen, daß die geometrische Reihe
des Ausdruckes

[mm]\bruch{-1}{(b-a)(z-a)}[/mm]

für [mm]\vmat{z}>\vmat{a}[/mm]

konvergiert.

Die geometrische Reihe des Ausdruckes

[mm]\bruch{1}{(b-a)(z-b)}[/mm]

muss  für [mm]\vmat{z}<\vmat{b}[/mm] konmvergieren.

Beide Ausdrücke sind entsprechend umzuformen.


> Vielen dank für die Hilfe! LG Blacki


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Laurententwicklung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:23 Di 19.06.2012
Autor: Blackwolf1990

OKAY vielen Dank für deine Hilfe ! :-) Stimmt, in der Partialbruchzerlegung hatte ich mich etwas vertan !

Viele Grüße !
Blacki


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