Laurententwicklung von cot(z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 17.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
| Aufgabe | | Man berechne die Koeffizienten [mm] a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} [/mm] der Laurententwicklung von [mm] g(z)=cotz=\bruch{cosz}{sinz} [/mm] um 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bislang habe ich überlegt, dass ich cos und sin einfach durch die Reihendarstellung ersetze:
[mm] \bruch{\summe_{i=1}^{k}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{i=1}^{k}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!}}
[/mm]
Schreibe ich das aus komme ich zu:
[mm] \bruch{1-\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^4}{4!}\mp...}{z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}\mp...}=\bruch{1}{z}+\bruch{3}{z}+\bruch{5}{z}+...
[/mm]
Jetzt frage ich mich, wo mein Fehler ist, da die Lösung angeblich Folgende [mm] ist:cotz=\bruch{1}{z}-\bruch{1}{3}z-\bruch{1}{45}z^3-\bruch{2}{945}z^5-...
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand sagen was genau ich Falsch mache? Oder den Trick zur Lösung sagen.
Wäre sehr dankbar.
VG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Do 17.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
Hi,
der Link hilft mir insoweit, dass ich jetzt weiß, dass ich die richtige Lösung zwar kenne aber sie nicht berechnen kann, für einen Tipp was das angeht wäre ich sehr dankbar.
Gruß Ralf
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Hallo Doc1083,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man berechne die Koeffizienten
> [mm]a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}[/mm] der Laurententwicklung von
> [mm]g(z)=cotz=\bruch{cosz}{sinz}[/mm] um 0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bislang habe ich überlegt, dass ich cos und sin einfach
> durch die Reihendarstellung ersetze:
>
> [mm]\bruch{\summe_{i=1}^{k}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{i=1}^{k}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!}}[/mm]
>
> Schreibe ich das aus komme ich zu:
>
> [mm]\bruch{1-\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^4}{4!}\mp...}{z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}\mp...}=\bruch{1}{z}+\bruch{3}{z}+\bruch{5}{z}+...[/mm]
>
> Jetzt frage ich mich, wo mein Fehler ist, da die Lösung
> angeblich Folgende
> [mm]ist:cotz=\bruch{1}{z}-\bruch{1}{3}z-\bruch{1}{45}z^3-\bruch{2}{945}z^5-...[/mm]
>
> Kann mir vielleicht jemand sagen was genau ich Falsch
> mache? Oder den Trick zur Lösung sagen.
Der Quotient zweier Reihen wird nicht durch gliedweise Bildung der
Quotienten der Reihenglieder gebildet, sondern vielmehr ist der Quotient
dieser Reihen mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktformel zu ermitteln.
>
> Wäre sehr dankbar.
>
> VG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 17.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
Ok dann versuche ich mal den Hinweis zu verarbeiten und bitte um Korrektur, weil wieder etwas falsches raus kommt, wenngleich es schon etwas besser ausschaut ;)
[mm] \bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}*\left( \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)^{-1}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{-k}*(z^{2k+1})^{-1}*(2k+1)!
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*z^{-(2k+1)}*(2k+1)!=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}(-1)^n*\bruch{z^{2n}}{(2n)!}*(-1)^{n-k}*(2*(n-k)+1)!*z^{-(2(n-k)+1)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}(-1)^n*\bruch{z^{2n}}{(2n)!}*(-1)^{n-k}*(2n-2k+1)!*z^{-2n+2k-1)}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}(-1)^n*(-1)^n*(-1)^{-k}*\bruch{(2n-2k+1)!}{(2n)!}*z^{-2n+2k-1}*z^{2n}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}\bruch{(-1)^{2n}}{(-1)^k}*\bruch{(2n-2k+1)!}{(2n)!}*z^{2k-1}
[/mm]
Ist bis dahin ein Fehler? Bzw. geht da noch mehr? Weil wenn ich das jez berechne kommt sowas raus wie:
[mm] \bruch{1}{z}-\bruch{1}{2}z+\bruch{1}{24}z^3-\bruch{1}{10!}z^5\pm...
[/mm]
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
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Hallo Doc1083,
> Ok dann versuche ich mal den Hinweis zu verarbeiten und
> bitte um Korrektur, weil wieder etwas falsches raus kommt,
> wenngleich es schon etwas besser ausschaut ;)
>
> [mm]\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}*\left( \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)^{-1}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{-k}*(z^{2k+1})^{-1}*(2k+1)![/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*z^{-(2k+1)}*(2k+1)!=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}(-1)^n*\bruch{z^{2n}}{(2n)!}*(-1)^{n-k}*(2*(n-k)+1)!*z^{-(2(n-k)+1)}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}(-1)^n*\bruch{z^{2n}}{(2n)!}*(-1)^{n-k}*(2n-2k+1)!*z^{-2n+2k-1)}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}(-1)^n*(-1)^n*(-1)^{-k}*\bruch{(2n-2k+1)!}{(2n)!}*z^{-2n+2k-1}*z^{2n}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{n=0}^{k}\bruch{(-1)^{2n}}{(-1)^k}*\bruch{(2n-2k+1)!}{(2n)!}*z^{2k-1}[/mm]
>
> Ist bis dahin ein Fehler? Bzw. geht da noch mehr? Weil wenn
> ich das jez berechne kommt sowas raus wie:
>
> [mm]\bruch{1}{z}-\bruch{1}{2}z+\bruch{1}{24}z^3-\bruch{1}{10!}z^5\pm...[/mm]
Ich habe das so gemeint:
[mm]\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\bruch{1}{z}*\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k+1)!}}[/mm]
Berechnet wird nur der Quotient
[mm]\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k)!}}{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^{2k}}{(2k+1)!}}=\summe_{k=0}^{\infty}c_{k}*z^{2k}[/mm]
Zur besseren Handhabung setze [mm]u:=z^{2}[/mm].
Dann ist
[mm]\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{k}}{(2k)!}}{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{k}}{(2k+1)!}}=\summe_{k=0}^{\infty}c_{k}*u^{k}[/mm]
Multipliziere ich jetzt mit dem Nenner, so ergibt sich:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{k}}{(2k)!}=\summe_{k=0}^{\infty}c_{k}*u^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{k}}{(2k+1)!}[/mm]
Umbenennung der Laufindizes auf der rechten Seite ergibt:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{k}}{(2k)!}=\summe_{l=0}^{\infty}c_{l}*u^{l}*\summe_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\bruch{u^{m}}{(2m+1)!}[/mm]
Um das jetzt miteinander vergleichen zu können,
mußt Du die rechte Seite mit Hilfe der Cauchy-Produktformel ausrechnen.
Markiere Fragen als Fragen und nicht als Mitteilungen,
denn dann ist die Wahrscheinlichkeit größer, daß jemand
die Frage liest und beanwortet.
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Fr 18.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Für die Koeefizienten [mm] a_n [/mm] gilt:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{g(z)}{z^{n+1}} dz}$ [/mm] (n [mm] \in \IZ)
[/mm]
( [mm] \gamma [/mm] : Kreislinie um 0)
Setze $f(z) =zg(z)$. Dann ist $f(z) = cos(z)* [mm] \bruch{z}{sin(z)}$, [/mm] somit hat f in 0 eine hebbare Singularität und ist daher in einer Umgebung des Nullpunktes holomorph und
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z^{n+2}} dz}$ [/mm] (n [mm] \in \IZ)
[/mm]
Für n = -1 erhälst Du mit der Cauchyschen Integralformel
[mm] $a_{-1}= \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z} dz}= [/mm] f(0) = 1$
n=0:
[mm] $a_{0}= \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z^2} dz}= [/mm] f'(0)$
Etc ......
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 20.06.2010 | | Autor: | Doc1083 |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort, aber wie komme ich auf die Formel um die [mm] a_n [/mm] auszurechnen?
Vielleicht steh ich nur auf dem Schlauch, aber wenn wir $ f(z) = [mm] cos(z)\cdot{} \bruch{z}{sin(z)} [/mm] $ haben warum ist dann f(0)=1? Weil sin(0)=0 und wir teilen ja durch sin(0).
Die Ableitungen werden ja ziehmlich ekelhaft, wenn ich ehrlich bin, und ich brauche sie ja bis zur 5ten Ableitung. Gibt es noch einen anderen Weg oder hab ich einfach einen Trick übersehen?
Danke für die Hilfe.
Doc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Di 22.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort, aber wie komme ich auf die Formel
> um die [mm]a_n[/mm] auszurechnen?
Hattet Ihr das nicht in der Vorlesung ?
>
> Vielleicht steh ich nur auf dem Schlauch, aber wenn wir
> [mm]f(z) = cos(z)\cdot{} \bruch{z}{sin(z)}[/mm] haben warum ist dann
> f(0)=1? Weil sin(0)=0 und wir teilen ja durch sin(0).
Es ist [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sinz}{z}=1, [/mm] also auch [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z}{sinz}=1.
[/mm]
Somit hat die Fkt. $z [mm] \to \bruch{z}{sinz}$ [/mm] in 0 eine hebbare Singularität
FRED
>
> Die Ableitungen werden ja ziehmlich ekelhaft, wenn ich
> ehrlich bin, und ich brauche sie ja bis zur 5ten Ableitung.
> Gibt es noch einen anderen Weg oder hab ich einfach einen
> Trick übersehen?
>
> Danke für die Hilfe.
>
> Doc
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