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| Aufgabe | | Die Laurentreihe für die Funktion sin(1/z)+ cos(2/z) um den Entwicklungspunkt z0=0 ist zu ermitteln. Dazu soll angegeben werden, wo die Reihe konvergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich kenne bereits die Form einer Laurentreihe und die Aufteilung in Hauptteil und Nebenteil.
f(z) = [mm] \summe_{i=-\infty}^{\infty} [/mm] an [mm] z^n [/mm]
Ich verstehe nicht wie ich vorangehen soll.
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Hallo ppimaldaumen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Laurentreihe für die Funktion sin(1/z)+ cos(2/z) um
> den Entwicklungspunkt z0=0 ist zu ermitteln. Dazu soll
> angegeben werden, wo die Reihe konvergiert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Über ein freundliches Hallo freuen wir uns auch.
>
> Ich kenne bereits die Form einer Laurentreihe und die
> Aufteilung in Hauptteil und Nebenteil.
>
> f(z) = [mm]\summe_{i=-\infty}^{\infty}[/mm] an [mm]z^n[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wie ich vorangehen soll.
>
Sicherlich sind Dir auch die Taylorreihen
für Sinus und Cosinus bekannt.
Setze in diese Taylorreihen die entsprechenden Argumente ein.
Gruss
MathePower
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Hey danke erst einmal für die Antwort :)
Ja, die kenne ich auch .. also soll ich sin(z) einfach durch sin(1/z) ergänzen ??
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Hallo ppimaldaumen,
> Hey danke erst einmal für die Antwort :)
> Ja, die kenne ich auch .. also soll ich sin(z) einfach
> durch sin(1/z) ergänzen ??
Das Argument z ist durch das Argument [mm]\bruch{1}{z}[/mm] zu ersetzen.
Gruss
MathePower
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ich meinte natürlich ersetzen ..
habe ich gemacht und nun habe ich zwei Summen was nun ?
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Hallo ppimaldaumen,
> ich meinte natürlich ersetzen ..
> habe ich gemacht und nun habe ich zwei Summen was nun ?
Die zwei Summen zu einer zusammenfassen
und den Konvergenzradius bestimmen.
Gruss
MathePower
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Hallo ppimaldaumen,
> was sagt der r aus ?
Da es sich um eine Konvergenzbetrachtung handelt,
sagt r aus, daß die Reihe für [mm]\vmat{z-z_{0}} < r[/mm] konvergiert.
Gruss
MathePower
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Hallo ppimaldaumen,
> Damit wäre ich fertig ?
Ja.
Gruss
MathePower
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die zusammengefasste Summe sieht bei mir so aus :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] (-1)^k [/mm] * z^2k-2) / (2k!) ) + ( [mm] (-1)^k [/mm] * z^2k )/ ( 2k+1)! )
wo benutze ich überhaupt den Entwicklungspunkt ??
lg
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Hallo ppimaldaumen,
> die zusammengefasste Summe sieht bei mir so aus :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] ( [mm](-1)^k[/mm] * z^2k-2) / (2k!) ) + (
> [mm](-1)^k[/mm] * z^2k )/ ( 2k+1)! )
>
Das ist nicht die Laurentreihe. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> wo benutze ich überhaupt den Entwicklungspunkt ??
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich würde mir die Potenzreihenentwicklungen
[mm] \sin(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*z^n [/mm] und [mm] \cos(2z)=\summe_{n=0}^{\infty}b_n*z^n [/mm]
verschaffen. Das sollte ich hinbekommen. Alsdann würde ich definieren
[mm] $f(z):=\sin(z)+\cos(2z)=\summe_{n=0}^{\infty}c_n*z^n [/mm] $,
wobei [mm] c_n=a_n+b_n.
[/mm]
Nun sollte ich mich dran machen, die [mm] c_n [/mm] zu berechnen. Wenn ich das gemacht hätte, so hätte ich mit
(*) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{c_n}{z^n}
[/mm]
die gesuchte Laurententwicklung vor der Nase.
Zur Konvergenzfrage: ich würde zunächst die folgende Menge K bestimmen:
[mm] $K:=\{z \in \IC: \summe_{n=0}^{\infty}c_n*z^n ist \quad konvergent \}.
[/mm]
Dann würde ich mir überlegen, dass für z [mm] \in \IC [/mm] gilt:
die Reihe in (*) konvergiert [mm] \gdw [/mm] $z [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}.$
[/mm]
All das hab ich nicht gemacht, denn Du sollst das tun !
FRED
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Hilft mir auf alle Fälle weiter.
Wenn ich aber meine Funktion mit dem ENtwicklungspunkt z0=0 in die Taylorreihe einsetze habe ich das Problem, durch 0 teilen zu müssen wegen sin(1/z) :S ; oder habe ich da was falsch gemacht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hilft mir auf alle Fälle weiter.
> Wenn ich aber meine Funktion mit dem ENtwicklungspunkt
> z0=0 in die Taylorreihe einsetze habe ich das Problem,
> durch 0 teilen zu müssen wegen sin(1/z) :S ; oder habe ich
> da was falsch gemacht ?
Du machst jetzt folgendes:
schau in Deinen Unterlagen nach, was man unter einer
Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm] z_0
[/mm]
versteht.
FRED
>
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