Laurentreihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 22.09.2007 | | Autor: | LL0rd |
| Aufgabe | Man soll folgendes Integral lösen:
[mm] \integral_{|z|=3}{ \bruch{e^{\bruch{1}{z}} }{(z-1)^2 -1 } dz} [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe habe ich aus einer alten Prüfung rausgefischt. Es geht da um das Lösen von Integralen mittels des Residuensatzes. Wenn ich die Aufgabe jetzt mal einfach anfange zu rechnen, dann suche ich die Singularitäten heraus. Ich sehe hier zwei einfache Polstellen bei 2 und 0. Und hier fängt das eigentliche Problem auch schon an. Im Zähler des Bruches habe ich ja ein [mm] \bruch{1}{z} [/mm] stehen. Also kann ich mit der Null nicht auf die 0815-Art rechnen.
Bei der 2 ist das ganze ja kein Problem:
[mm] Res(f;2)=\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
In der Musterlösung wird Res(f;0) mittels der Laurentreine bestimmt. Das Ergebnis ist:
[mm] Res(f;0)=-\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Aber wie kommt man denn darauf? Ich verstehe nicht ganz, wie ich das Ganze mit der Reihe lösen kann. Klar, ich nehme mir die Reihe vor, setze dort dann das 1/z ein, aber was mache ich denn damit weiter? Kann mir jemand da etwas helfen? Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 22.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man soll folgendes Integral lösen:
>
> [mm]\integral_{|z|=3}{ \bruch{e^{\bruch{1}{z}} }{(z-1)^2 -1 } dz}[/mm]
>
> Hallo,
>
> diese Aufgabe habe ich aus einer alten Prüfung
> rausgefischt. Es geht da um das Lösen von Integralen
> mittels des Residuensatzes. Wenn ich die Aufgabe jetzt mal
> einfach anfange zu rechnen, dann suche ich die
> Singularitäten heraus. Ich sehe hier zwei einfache
> Polstellen bei 2 und 0. Und hier fängt das eigentliche
> Problem auch schon an. Im Zähler des Bruches habe ich ja
> ein [mm]\bruch{1}{z}[/mm] stehen. Also kann ich mit der Null nicht
> auf die 0815-Art rechnen.
Richtig, denn [mm]\exp(1/z)[/mm] hat eine wesentliche Singularität im Punkt z=0.
> Bei der 2 ist das ganze ja kein Problem:
> [mm]Res(f;2)=\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> In der Musterlösung wird Res(f;0) mittels der Laurentreine
> bestimmt. Das Ergebnis ist:
>
> [mm]Res(f;0)=-\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Das ist meiner Meinung nach falsch.
> Aber wie kommt man denn darauf? Ich verstehe nicht ganz,
> wie ich das Ganze mit der Reihe lösen kann. Klar, ich nehme
> mir die Reihe vor, setze dort dann das 1/z ein, aber was
> mache ich denn damit weiter? Kann mir jemand da etwas
> helfen? Danke!
Als erstes schreibst du den Nenner um, dann benutzt due die Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion und die geometrische Reihe:
[mm]\bruch{\mathrm{e}^{1/z}}{z(z-2)} = \bruch{1}{2z^2} \bruch{1}{1-\bruch{1}{2z}}\mathrm{e}^{1/z}= \bruch{1}{2}\bruch{1}{z^2} \left(\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{(2z)^i}\right) \left(\summe_{j=0}^\infty \bruch{1}{j!} \bruch{1}{z^j}\right)[/mm]
Jetzt siehst du, dass der erste Term der Laurentreihe [mm]z^{-2}[/mm] ist, denn beide unendlichen Summen fangen mit einem konstanten Glied an. Also ist das Residuum im Punkt z=0 Null.
Es geht aber viel einfacher: Substituiere u=1/z:
[mm]\integral_{|z|=3}{ \bruch{e^{\bruch{1}{z}} }{(z-1)^2 -1 } dz} = -\integral_{|u|=1/3} {\bruch{e^{u} }{1-2u} du}[/mm]
Das zweite Integral lässt sich etwas einfacher ausrechnen. 
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
