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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Fr 09.01.2009 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Laurentreihe der Funktion
[mm] f(z)=\bruch{1}{1-z^2}+\bruch{1}{3-z}
[/mm]
a) im Kreisring 1<|z|<3
b) im Kreisring 1<|z-2|<3
c) um den Entwicklungspunkt [mm] z_0=1, [/mm] die im Punkt 1+3i konvergiert. |
Liebes Matheraum-Team,
meine Frage bezieht sich auf die a) (bei b) und c) bin ich noch nicht...)
Also: Mit [mm] \bruch{1}{3-z} [/mm] habe ich folgendes gemacht:
[mm] \bruch{1}{3-z}=\bruch{1}{3(1-\bruch{z}{3})}=\bruch{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}{(\bruch{z}{3})^n} [/mm] (geometrische Reihe)
Das ist doch richtig, oder?
Nun bin ich mir nicht sicher, wie ich mit [mm] \bruch{1}{1-z^2} [/mm] verfahren muss. Muss ich eine Partialbruchzerlegung machen? (Hab ich schon gemacht, das wäre nämlich [mm] \bruch{1}{2(1-z)}+\bruch{1}{2(1+z)}, [/mm] da kam ich jedoch bis jetzt nicht weiter) oder ist [mm] \bruch{1}{1-z^2} [/mm] bereits der Grenzwert einer bekannten Reihe (was ich leider nicht sehe...)
Vielen Dank, cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 09.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Für |z|>1 ist
[mm] \bruch{1}{1-z^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{1/z^2 - 1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{1-1/z^2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{z^2}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{z^{2n}} [/mm] = [mm] -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{z^{2n+2}}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Sa 10.01.2009 | | Autor: | cauchy |
Oh, das sieht ja eigentlich ganz simpel aus... danke, wär ich nicht drauf gekommen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 10.01.2009 | | Autor: | cauchy |
ok, meine Lösung lautet:
[mm] f(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}{z^{2n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\bruch{z^n}{3^{n+1}}}
[/mm]
Hoffe, das ist korrekt.
Ja und nun zu der (b), das kann ja nicht so anders sein!
Meine "Intuition" sagt mir, dass mir, dass die Lösung b sein könnte:
[mm] f(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}{z^{2n}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}{\bruch{3^n}{z^{n-1}}}
[/mm]
bzw. das könnte man jetzt noch zusammenfassen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 11.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, meine Lösung lautet:
>
> [mm]f(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}{z^{2n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\bruch{z^n}{3^{n+1}}}[/mm]
>
> Hoffe, das ist korrekt.
Das ist es
>
> Ja und nun zu der (b), das kann ja nicht so anders sein!
>
> Meine "Intuition" sagt mir, dass mir, dass die Lösung b
> sein könnte:
>
> [mm]f(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}{z^{2n}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}{\bruch{3^n}{z^{n-1}}}[/mm]
>
Das ist falsch ! Der Entwicklungspunkt ist [mm] z_0 [/mm] = 2
FRED
> bzw. das könnte man jetzt noch zusammenfassen....
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:10 So 11.01.2009 | | Autor: | cauchy |
> > Ja und nun zu der (b), das kann ja nicht so anders sein!
> >
> > Meine "Intuition" sagt mir, dass mir, dass die Lösung b
> > sein könnte:
> >
> [mm]f(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}{z^{2n}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}{\bruch{3^n}{z^{n-1}}}[/mm]
> >
>
> Das ist falsch ! Der Entwicklungspunkt ist [mm]z_0[/mm] = 2
>
Ok, da liegt auch mein Fehler. Bei der (a) war [mm] z_0=0 [/mm] der Entwicklungspunkt und nun ist [mm] z_0=2. [/mm] Wie muss ich denn dann meinen Ansatz verändern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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