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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 07.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie allemöglichen Laurent-Reihen der Funktion
f(z) = [mm] \bruch{z^{3}}{(z+1)*(z-2)} [/mm] mit Potenzen z+1 und deren Konvergenzgebiete. |
Hallo!
Ich komme mit der Aufgabe nicht ganz zu Rande, weil ich nciht genau weiss, wann ich welche art von Laurentreihe bilden muss, und wie diese dann genau aussehen soll.
Bisher habe ich folgendes gemacht:
Polynomdivisinon -> Ergebnis: f(z) = z+1 + [mm] \bruch{3z+2}{z^{2}-z-2}
[/mm]
dann habe ich mir die Polstellen angeschaut,
das sind z=-1 und z=2
daher müsste es 2 verschiedene laurentreihen geben, einmal für 0<(z+1) <3 und einmal für (z+1) > 3
ich hätte nun f(z) mit Partialbruchzerlegung auf folgende Form gebracht:
f(z)= z+1 + [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{z+1} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{8}{3}}{(z+1)-3}
[/mm]
nun weiss ich aber nicht, wie das dann abläuft, wenn
ich einmalinnerhalb einmal ausserhalb das rechnen soll.
ich erinnnere mich noch an irgendwas mit auf geometrische reihe bringen... weiss aber nicht für welche der beiden das gilt.
danke für tips!
gruss
muhmuh
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Hallo muhmuh,
> Bestimmen Sie allemöglichen Laurent-Reihen der Funktion
>
> f(z) = [mm]\bruch{z^{3}}{(z+1)*(z-2)}[/mm] mit Potenzen z+1 und
> deren Konvergenzgebiete.
> Hallo!
>
> Ich komme mit der Aufgabe nicht ganz zu Rande, weil ich
> nciht genau weiss, wann ich welche art von Laurentreihe
> bilden muss, und wie diese dann genau aussehen soll.
>
> Bisher habe ich folgendes gemacht:
>
> Polynomdivisinon -> Ergebnis: f(z) = z+1 +
> [mm]\bruch{3z+2}{z^{2}-z-2}[/mm]
> dann habe ich mir die Polstellen angeschaut,
> das sind z=-1 und z=2
>
> daher müsste es 2 verschiedene laurentreihen geben, einmal
> für 0<(z+1) <3 und einmal für (z+1) > 3
>
> ich hätte nun f(z) mit Partialbruchzerlegung auf folgende
> Form gebracht:
>
> f(z)= z+1 + [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{z+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{8}{3}}{(z+1)-3}[/mm]
Das muß doch so lauten:
[mm]f(z)= z+1 + \bruch{\red{3}}{z+1} + \red{\bruch{1}{z+1}}\bruch{\red{8}}{\left( \ (z+1)-3 \ \right)}[/mm]
>
> nun weiss ich aber nicht, wie das dann abläuft, wenn
> ich einmalinnerhalb einmal ausserhalb das rechnen soll.
Nun, es bleiben doch nur 2 Möglichkeiten:
i) Division durch 3
ii) Division durch z+1
Die eine Division ist für innerhalb,
die andere Division für außerhalb zuständig.
>
> ich erinnnere mich noch an irgendwas mit auf geometrische
> reihe bringen... weiss aber nicht für welche der beiden
> das gilt.
Wenn Du die entsprechenden Divisionen durchgeführt hast,
kannst Du beide Brüche in geometrische Reihen entwickeln.
>
> danke für tips!
>
> gruss
> muhmuh
Gruss
MathePower
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