Laurentreihe (Nebenteil) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Di 05.02.2008 | | Autor: | Greeny |
| Aufgabe | Eine komplexe Fkt f sei gegeben durch [mm] f(z)=\bruch{1+i}{z^{2}-z-iz+i}
[/mm]
Entwickeln Sie f in [mm] \IC [/mm] \ [mm] \overline{E} [/mm] = [mm] \{z \in \IC: |z|>1\} [/mm] in eine Laurentreihe um 0. |
Hallo zusammen.
Ich hätte da mal eine Frage:
Ich habe in obiger Aufgabe eine Partialbruchzerlegung gemacht:
[mm] f(z)=\bruch{i}{z-1}+\bruch{-i}{z-i}
[/mm]
und habe den ersten Summanden mithilfe der geometrischen Reihe in
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}i\*z^{-n}
[/mm]
umgewandelt, also den Hauptteil der Laurentreihe. Nun schaff ich es allerdings nicht, den zweiten Summanden in den Nebenteil umzuwandeln. Kann es sein, dass der Nebenteil auch einfach verschwindet? Dann könnte ich beide Summanden zusammen zu
[mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}(i+i^{n-1})\*z^{-n} [/mm] umformen.
Das erscheint mir allerdings irgendwie fehlerhaft.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann. Vielen Dank schon einmal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine komplexe Fkt f sei gegeben durch
> [mm]f(z)=\bruch{1+i}{z^{2}-z-iz+i}[/mm]
> Entwickeln Sie f in [mm]\IC[/mm] \ [mm]\overline{E}[/mm] = [mm]\{z \in \IC: |z|>1\}[/mm]
> in eine Laurentreihe um 0.
> Hallo zusammen.
>
> Ich hätte da mal eine Frage:
> Ich habe in obiger Aufgabe eine Partialbruchzerlegung
> gemacht:
> [mm]f(z)=\bruch{i}{z-1}+\bruch{-i}{z-i}[/mm]
> und habe den ersten Summanden mithilfe der geometrischen
> Reihe in
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}i\*z^{-n}[/mm]
> umgewandelt, also den Hauptteil der Laurentreihe. Nun
> schaff ich es allerdings nicht, den zweiten Summanden in
> den Nebenteil umzuwandeln. Kann es sein, dass der Nebenteil
> auch einfach verschwindet? Dann könnte ich beide Summanden
> zusammen zu
> [mm]f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}(i+i^{n-1})\*z^{-n}[/mm] umformen.
Das ist im Prinzip richtig; ich komme allerdings auf die Summe
$ [mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}(i-i^{n})*z^{-n}$
[/mm]
Es ist ganz plausibel, dass die Reihe keinen Nebenteil hat: die Entwicklung soll ja für $|z|>1$ gelten, und dort könnten die Terme des Nebenteils wegen der positiven Potenzen von z beliebig groß werden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:01 Di 05.02.2008 | | Autor: | Greeny |
Vielen Dank für die rasche Antwort!
(Ich hoffe, das kostet keinen Nachtzuschlag  )
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