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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Laurentreihen um die angegebenen Singularitäten und geben Sie den Konvergenzbereich jeder Reihe an:
a) [mm] f(z)=\bruch{e^{2z}}{(z-1)^3} [/mm] , [mm] z_0=1 [/mm] |
Tach Leute,
also ich hab keine Ahnung wie ich hier auf Etwas von der Form [mm] f(z)=\summe_n{a_n \cdot (z-1)^n} [/mm] kommen soll.
Vielleicht bringt dieser Ansatz ja was: [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{(2z)^n}{n!(z-1)^3}} [/mm] aber wenn ja, wie gehts weiter?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
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> Bestimmen Sie die Laurentreihen um die angegebenen
> Singularitäten und geben Sie den Konvergenzbereich jeder
> Reihe an:
>
> a) [mm]f(z)=\bruch{e^{2z}}{(z-1)^3}[/mm] , [mm]z_0=1[/mm]
=[mm]\bruch{e^{2(z-1)+2}}{(z-1)^3}=e^2*\bruch{e^{2(z-1)}}{(z-1)^3}[/mm][mm]=\bruch{e^2}{(z-1)^3}*\summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{(2(z-1))^i}{i!}=e^2*\summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{(2(z-1))^{i-3}}{i!}=e^2*\summe_{i=-3}^{ \infty}\bruch{(2(z-1))^i}{(i+3)!}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mr.Teutone |
Danke, ist natürlichne ganz einfache Sache gewesen, muss man aber eben auch drauf kommen. Ich glaube aber es sollte [mm] 2^{n+3} [/mm] im letzten Schritt heißen
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Ja richtig, habe nicht auf die 2 geachtet, also
[mm]\bruch{e^{2(z-1)+2}}{(z-1)^3}=e^2*\bruch{e^{2(z-1)}}{(z-1)^3}[/mm][mm]=\bruch{e^2}{(z-1)^3}*\summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{(2(z-1))^i}{i!}=e^2*\summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{2^i(z-1)^{i-3}}{i!}=e^2*\summe_{i=-3}^{ \infty}\bruch{2^{i+3}(z-1)^i}{(i+3)!}[/mm]
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