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| Aufgabe | Entwickeln Sie die Laurent-Reihe von $f(z) = [mm] \bruch{1}{z^{4}-1}$.
[/mm]
[mm] (z\in\IC) [/mm] |
Hallo!
Zur Berechnung des Residuums für eine Polstelle muss man ja eigentlich das Glied [mm] a_{-1} [/mm] der Laurent-Reihe [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}*(z-z_{0})^{n} [/mm] kennen. Ich wollte deswegen gern die Laurent-Reihe zumindest einmal von der obigen Funktion f(z) bestimmen (um den Punkt i zum Beispiel), auch wenn ich weiß dass man es einfacher lösen kann. Nun wollte ich fragen, wie man da vorgeht? Im Internet habe ich keine konkreten Anleitungen gefunden. Eine einfache Taylor-Entwicklung bringt mich hier ja nicht weiter, weil dann kein [mm] a_{-1} [/mm] - Koeffizient entsteht.
Danke für eure Hilfe, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 30.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die Laurent-Reihe von [mm]f(z) = \bruch{1}{z^{4}-1}[/mm].
Um welchen Punkt ?
f hat isolierte Sing. in 1, -1, i und -i
FRED
>
> [mm](z\in\IC)[/mm]
> Hallo!
>
> Zur Berechnung des Residuums für eine Polstelle muss man ja
> eigentlich das Glied [mm]a_{-1}[/mm] der Laurent-Reihe
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}*(z-z_{0})^{n}[/mm] kennen. Ich
> wollte deswegen gern die Laurent-Reihe zumindest einmal von
> der obigen Funktion f(z) bestimmen, auch wenn ich weiß dass
> man es einfacher lösen kann. Nun wollte ich fragen, wie man
> da vorgeht? Im Internet habe ich keine konkreten
> Anleitungen gefunden. Eine einfache Taylor-Entwicklung
> bringt mich hier ja nicht weiter, weil dann kein [mm]a_{-1}[/mm] -
> Koeffizient entsteht.
>
> Danke für eure Hilfe, Stefan.
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Hallo!
Zum Beispiel um den Punkt i, es geht nur ums Prinzip.
Viele Grüße, Stefan.
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Hallo
Du solltest dir nochmal genau anschauen wie das Residuum definiert ist!
Zu deiner Laurentreihe: Geometrische Reihe hilft in solchen Fällen sehr oft.
Grüße Elvis
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Hallo und danke für deine Antwort!
> Du solltest dir nochmal genau anschauen wie das Residuum
> definiert ist!
Wie ist denn das definiert? Ich habe gefunden: Für eine in einer punktierten Kreisscheibe [mm] $D\{a}$ [/mm] definierte Funktion f ist
[mm] $Res_{z=a}f(z) [/mm] = [mm] \int_{C}f(z)\ [/mm] dz$
wobei $C [mm] \subset D\{a}$ [/mm] ein geschlossener Weg mit n(C,a) = 1 ist. (was das bedeutet, weiß ich nicht, kommt von ![[]](/images/popup.gif) hier. Mein Buch sagte mir jedoch:
Ist f im punktierten Kreis 0 < [mm] |z-z_{0}| [/mm] < r holomorph und f(z) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}*(z-z_{0})^{n} [/mm] die Laurentreihe von f in [mm] z_{0}, [/mm] so ist das Residuum von f in [mm] z_{0} [/mm] definiert als
[mm] Res(f,z_{0}) [/mm] = [mm] a_{-1}.
[/mm]
> Zu deiner Laurentreihe: Geometrische Reihe hilft in solchen
> Fällen sehr oft.
So?: Für |z| < 1
[mm] $\bruch{1}{z^{4}-1} [/mm] = [mm] -\bruch{1-(z^4)^{\infty}}{1-(z^{4})} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\left((-1)*(z^{4})^{k}\right)$
[/mm]
Aber dann habe ich ja um Null entwickelt und nicht um i...
Was muss ich anders machen?
Danke für Eure Hilfe!
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 So 03.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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