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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:29 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | a) Bestimme alle möglichen Laurentreihenentwicklungen der Funktion
[mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} - 3z}[/mm]
um den Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=0[/mm].
b) Bestimme die Laurentreihenentwicklung der Funktion
[mm]f(z) := \bruch{1}{(z - 1)^{3}}[/mm]
um [mm]z_{0} = 0[/mm] welche in [mm]K(0,1,\infty) = \{z \in \IC : |z| > 1 \}[/mm] konvergiert. |
Hi,
also erstmal zu Aufgabe a:
Ich weiß wie ich "eine" Laurentreihe entwickeln tu (zumindest glaub ich das), aber was heißt hier "alle" Laurentreihenentwicklungen??
Also ich würde die Aufgabe jetzt so lösen:
[mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} - 3z} = \bruch{1}{z(z - 3)} = \bruch{1}{z} * \bruch{1}{z - 3}[/mm]
[mm] = - \bruch{1}{3z} * \bruch{1}{1 - \bruch{z}{3}}[/mm]
Damit kann ich es dann mit der Geometrischen Reihe entwickeln:
[mm]f(z) = - \bruch{1}{3z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
[mm] = - \bruch{1}{3z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^{k}(z)^{k}[/mm]
[mm] = \summe_{k=0}^{\infty} - (\bruch{1}{3})^{k+1}(z)^{k-1}[/mm]
[mm] = \summe_{k=-1}^{\infty} - (\bruch{1}{3})^{k+2}(z)^{k}[/mm]
bzw. um es richtig in der Form der Laurentreihe zu bringen:
[mm] = \summe_{k=-\infty}^{\infty} a_{k}*(z)^{k}[/mm]
[mm]a_{k}=\begin{cases} {- (\bruch{1}{3})^{k+2}}, & \mbox{für } k \ge -1 \\ 0, & \mbox{für } k < -1 \end{cases}[/mm]
Stimmt das so? Ich mein das ist ja dann nur eine einzige Laurentreihe?
Wie ich Aufgabe b lösen kann, weiß ich leider gar nicht :(
Ich dachte mir vielleicht, dass wenn ich die Stammfunktion von [mm]f(z) := \bruch{1}{(z - 1)^{3}}[/mm] hätte, dass diese dann einfach zu entwickeln ist, und dann einfach die Laurentreihe danach wieder ableiten...? Aber wie geht die Stammfunktion?
Achja, und gleich noch die blödeste Frage wohl überhaupt: 
Was heißt es eigentlich eine Reihe um einen Punkt zu entwickeln?
Ich mein, wenn ich jetzt z.B. eine Funktion wie sin(z) hab, und davon die Potenzreihe: [mm]sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot{} \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm], dann ist diese ja um den Punkt 0 entwickelt, da man es ja so umschreiben kann:
[mm]sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} * (z - 0)^{2n+1}[/mm]
Aber kann ich jede (ganze) Funktion um jeden bel. Punkt entwickeln, und was macht das dann für unterschiede?? Irgendwo hängt's da bei mir, was das überhaupt bringt.
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonas,
> a) Bestimme alle möglichen Laurentreihenentwicklungen der
> Funktion
> [mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} - 3z}[/mm]
> um den Entwicklungspunkt
> [mm]z_{0}=0[/mm].
>
> b) Bestimme die Laurentreihenentwicklung der Funktion
> [mm]f(z) := \bruch{1}{(z - 1)^{3}}[/mm]
> um [mm]z_{0} = 0[/mm] welche in
> [mm]K(0,1,\infty) = \{z \in \IC : |z| > 1 \}[/mm] konvergiert.
> Hi,
>
> also erstmal zu Aufgabe a:
> Ich weiß wie ich "eine" Laurentreihe entwickeln tu
> (zumindest glaub ich das), aber was heißt hier "alle"
> Laurentreihenentwicklungen??
>
> Also ich würde die Aufgabe jetzt so lösen:
> [mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} - 3z} = \bruch{1}{z(z - 3)} = \bruch{1}{z} * \bruch{1}{z - 3}[/mm]
>
> [mm]= - \bruch{1}{3z} * \bruch{1}{1 - \bruch{z}{3}}[/mm][mm] z^2
[/mm]
>
> Damit kann ich es dann mit der Geometrischen Reihe entwickeln:
> [mm]f(z) = - \bruch{1}{3z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{z}{3})^{k}[/mm]
>
> [mm]= - \bruch{1}{3z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^{k}(z)^{k}[/mm]
>
> [mm]= \summe_{k=0}^{\infty} - (\bruch{1}{3})^{k+1}(z)^{k-1}[/mm]
> [mm]= \summe_{k=-1}^{\infty} - (\bruch{1}{3})^{k+2}(z)^{k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Diese Reihe divergiert offensichtlich für z=3, denn da sind alle (unendlich vielen) Summanden gleich -1/9. Ich vermute jetzt mal, ohne es auszurechnen, dass die Reihe im Kreisring [mm]0<|z|<3[/mm] konvergiert und dort auch eindeutig ist. (Denn der Konvergenzbereich einer Laurententwicklung ist, wenn ich mich nicht irre, maximal, das heisst, er reicht immer bis zu nächstliegenden isolierten Singularität.)
Wenn du im Nenner nicht z, sondern [mm]z^2[/mm] ausklammerst und wieder die geometrische Reihe entwickelst, kannst du die Laurententwicklung im Ring [mm]3<|z|[/mm] bestimmen:
[mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} - 3z} = \bruch{1}{z^2(1 - 3/z)} = \bruch{1}{z^2} * \bruch{1}{1 - 3/z} = \bruch{1}{z^2} *\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3}{z})^{k} = \bruch{1}{9} * \summe_{k=2}^\infty (\bruch{3}{z})^{k}[/mm].
> Wie ich Aufgabe b lösen kann, weiß ich leider gar nicht :(
> Ich dachte mir vielleicht, dass wenn ich die Stammfunktion
> von [mm]f(z) := \bruch{1}{(z - 1)^{3}}[/mm] hätte, dass diese dann
> einfach zu entwickeln ist, und dann einfach die
> Laurentreihe danach wieder ableiten...? Aber wie geht die
> Stammfunktion?
Tipp: Leite [mm]g(z)=\bruch{1}{z-1}[/mm] zweimal ab.
> Achja, und gleich noch die blödeste Frage wohl überhaupt:
>
> Was heißt es eigentlich eine Reihe um einen Punkt zu
> entwickeln?
Du entwickelst eine Funktion f(z) in eine Reihe um einen Punkt [mm]z_0[/mm]. Schau dir die Definition des Taylorpolynoms einer beliebig oft differenzierbaren Funktion und des Restglieds an: je mehr Terme man dazunimmt, dester besser approximiert das Polynom die Funktion in einer Umgebung um [mm]z_0[/mm]. Im Punkt [mm]z=z_0[/mm] stellt jedes Taylorpolynom die Funktion exakt dar. Die Taylorreihenentwicklung ist die konsequente Fortsetzung dieses Prozesses.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Do 02.08.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | b) Bestimme die Laurentreihenentwicklung der Funktion
[mm] f(z) := \bruch{1}{(z - 1)^{3}} [/mm]
um [mm] z_{0} = 0 [/mm] welche in [mm] K(0,1,\infty) = \{z \in \IC : |z| > 1 \} [/mm] konvergiert. |
Hi,
danke.
Ich hab die Aufgabe jetzt mal versucht zu lösen, weiß aber nicht ob das richtig ist:
1. Versuch:
Ich leite die Funktion [mm] \bruch{1}{z - 1} [/mm] zweimal ab und erhalte damit folgendes:
[mm] g(z) = \bruch{1}{z - 1}[/mm]
[mm] g'(z) = - \bruch{1}{(z - 1)^{2}}[/mm]
[mm] g''(z) = \bruch{2}{(z - 1)^{3}}[/mm]
Dadurch ist die Stammfunktion von [mm] f(z) := \bruch{1}{(z - 1)^{3}} [/mm] ja praktisch (bis auf den Faktor 2) gefunden.
Ich entwickel also die Funktion [mm] g(z) = \bruch{1}{z - 1}[/mm] in eine Potenzreihe:
[mm] \bruch{1}{z - 1} = - \bruch{1}{1 - z} = \summe_{k=0}^{\infty} - z^{k}[/mm]
Das leite ich jetzt zweimal ab:
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty} -k * z^{k - 1}[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty} -k * (k-1) * z^{k - 2}[/mm]
[mm] = \summe_{k=-2}^{\infty} -(k+2) * (k+1) * z^{k}[/mm]
Das wäre jetzt aber eine Potenzreihe von [mm] \bruch{2}{(z - 1)^{3}}[/mm] deshalb also noch durch 2 teilen:
[mm] \Rightarrow \summe_{k=-2}^{\infty} \bruch{-(k+2) * (k+1)}{2} * z^{k}[/mm]
Diese Reihe konvergiert jetzt aber wohl leider nicht auf [mm] K(0,1,\infty) = \{z \in \IC : |z| > 1 \} [/mm] :-(
Deshalb der zweite Versuch:
[mm]\bruch{1}{z - 1} = \bruch{1}{z} * \bruch{1}{1 - \bruch{1}{z}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
Wenn ich das jetzt wieder zweimal ableiten zu kommt am Ende folgendes raus:
[mm] \summe_{k=-6}^{\infty} (k+6)(k+3) * (\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
und diese Reihe konvergiert (meiner Meinung nach) auf dem angegeben Bereich.
Stimmt das dann so ungefähr?
1000 Dank,
Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Di 14.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
Kann mir jemand nochmal speziell das Ableiten der Reihe
[mm]f(z)= \bruch{1}{z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
erklären.
Also wie man auf [mm]f''(z) = \bruch{1}{2}\summe_{k=3}^{\infty} (k-2)(k-1) * (\bruch{1}{z})^{k}[/mm] kommt.
Vielen Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Di 14.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann mir jemand nochmal speziell das Ableiten der Reihe
> [mm]f(z)= \bruch{1}{z} * \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
> erklären.
> Also wie man auf [mm]f''(z) = \bruch{1}{2}\summe_{k=3}^{\infty} (k-2)(k-1) * (\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
> kommt.
Also erstmal schreibt man das ein wenig um zu $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty z^{-k-1}$. [/mm] Und dann kannst du summandenweise ableiten, da die Funktion dort, wo die Ableitung Sinn macht, absolut konvergiert.
Damit ist $f'(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty (z^{-k-1})' [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] (-k-1) [mm] z^{-k-2}$ [/mm] und
$f''(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] (-k-1) [mm] (z^{-k-2})' [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] (-k-1) (-k-2) [mm] z^{-k-3} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] (k+1) (k+2) [mm] (\frac{1}{z})^{k+3}$. [/mm] Wenn du jetzt eine Indexverschiebung machst, bekommst du das obige Ergebnis.
LG Felix
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm]f(z) = \bruch{1}{2}\summe_{k=3}^{\infty} (k-2)(k-1) * (\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
