Laurentreihen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
jetzt habe ich nochmal eine frage zu ein paar anderen funktionen.
[mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{x^{5}}
[/mm]
dazu schaue ich mir die reihenentwicklung von sinus an
[mm] sin(x)=\bruch{x}{1}-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}+-...
[/mm]
und teile schließlich alles durch [mm] x^{5}, [/mm] so dass ich auf
[mm] \bruch{1}{x^{4}}-\bruch{1}{3!x^{2}} [/mm] + 1 +-...
komme, oder?
so, wie is das jetzt bei exp(1/z)
ist das = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 1 [mm] +\bruch{x}{2!} [/mm] ?
oder muss ich da anders rangehen?
und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> jetzt habe ich nochmal eine frage zu ein paar anderen
> funktionen.
>
> [mm]f(x)=\bruch{sin(x)}{x^{5}}[/mm]
> dazu schaue ich mir die reihenentwicklung von sinus an
>
> [mm]sin(x)=\bruch{x}{1}-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}+-...[/mm]
> und teile schließlich alles durch [mm]x^{5},[/mm] so dass ich auf
> [mm]\bruch{1}{x^{4}}-\bruch{1}{3!x^{2}}[/mm] + 1 +-...
> komme, oder?
Ja
>
> so, wie is das jetzt bei exp(1/z)
> ist das = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 1 [mm]+\bruch{x}{2!}[/mm] ?
Das ist Quatsch !
Es ist doch [mm] e^w= 1+w+\bruch{w^2}{2!}+\bruch{w^3}{3!}+ [/mm] .....
Jetzt setze w=1/z
FRED
> oder muss ich da anders rangehen?
>
> und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Do 07.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
> > so, wie is das jetzt bei exp(1/z)
> > ist das = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 1 [mm]+\bruch{x}{2!}[/mm] ?
>
>
> Das ist Quatsch !
>
> Es ist doch [mm]e^w= 1+w+\bruch{w^2}{2!}+\bruch{w^3}{3!}+[/mm]
> .....
>
> Jetzt setze w=1/z
ok, das klingt logisch. das heißt [mm] 1+\bruch{1}{z}+\bruch{1}{2!z^{2}}+\bruch{1}{3!z^{3}}+..... [/mm] ?
[/mm]
>
> FRED
>
> > oder muss ich da anders rangehen?
> >
> > und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
aber wie ist es hier?
muss ich da für die reihenentwicklung von sin, für z immer die komplette reihenentwicklugn des cos einsetzen??
habe jetzt nochmal einige gerechnet. bei den einfacheren klappt es ganz gut. aber wie ist es bei [mm] sin^{2} [/mm] (z) habe das ergebnis schon gesehen, weiß aber nicht wie ich auf diese reihe komme...
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Hallo Vicky89,
> > > so, wie is das jetzt bei exp(1/z)
> > > ist das = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 1 [mm]+\bruch{x}{2!}[/mm] ?
> >
> >
> > Das ist Quatsch !
> >
> > Es ist doch [mm]e^w= 1+w+\bruch{w^2}{2!}+\bruch{w^3}{3!}+[/mm]
> > .....
> >
> > Jetzt setze w=1/z
>
>
> ok, das klingt logisch. das heißt
> [mm]1+\bruch{1}{z}+\bruch{1}{2!z^{2}}+\bruch{1}{3!z^{3}}+.....[/mm]
> ?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [/mm]
> >
> > FRED
> >
> > > oder muss ich da anders rangehen?
> > >
> > > und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
>
> aber wie ist es hier?
>
> muss ich da für die reihenentwicklung von sin, für z
> immer die komplette reihenentwicklugn des cos einsetzen??
Das kommt darauf an, bis zu welcher Potenz
die Reihe entwickelt werden soll.
>
> habe jetzt nochmal einige gerechnet. bei den einfacheren
> klappt es ganz gut. aber wie ist es bei [mm]sin^{2}[/mm] (z) habe
> das ergebnis schon gesehen, weiß aber nicht wie ich auf
> diese reihe komme...
Multipliziere die Reihe für [mm]\sin\left(z\right)[/mm] mit sich selbst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Do 07.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
> > > FRED
> > >
> > > > oder muss ich da anders rangehen?
> > > >
> > > > und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
> >
> > aber wie ist es hier?
> >
> > muss ich da für die reihenentwicklung von sin, für z
> > immer die komplette reihenentwicklugn des cos einsetzen??
>
>
> Das kommt darauf an, bis zu welcher Potenz
> die Reihe entwickelt werden soll.
>
also eigentlich geht es bei den aufgaben darum, dass residuum zu berechnen...
> >
> > habe jetzt nochmal einige gerechnet. bei den einfacheren
> > klappt es ganz gut. aber wie ist es bei [mm]sin^{2}[/mm] (z) habe
> > das ergebnis schon gesehen, weiß aber nicht wie ich auf
> > diese reihe komme...
>
>
> Multipliziere die Reihe für [mm]\sin\left(z\right)[/mm] mit sich
> selbst.
>
das habe ich versucht, komme aber nicht auf das richtige ergebnis.
sin(z) = z - [mm] \bruch{z^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{z^{5}}{5!}-+....
[/mm]
dann müsste ich jetzt doch rechnen
[mm] z*z=z^{2}
[/mm]
z*- [mm] \bruch{z^{3}}{3!}= -\bruch{z^{4}}{3!}
[/mm]
[mm] z*\bruch{z^{5}}{5!}= \bruch{z^{6}}{5!}
[/mm]
und ich hätte
[mm] sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3!}+ \bruch{z^{6}}{5!}-+....
[/mm]
aber laut wolframalpha müssteich auf
[mm] sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3}+ \bruch{2z^{6}}{45}-+....
[/mm]
kommen.
wo liegt denn mein fehler?
danke für die hilfe
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Hallo Vicky89,
>
> > > > FRED
> > > >
> > > > > oder muss ich da anders rangehen?
> > > > >
> > > > > und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
> > >
> > > aber wie ist es hier?
> > >
> > > muss ich da für die reihenentwicklung von sin, für z
> > > immer die komplette reihenentwicklugn des cos
> einsetzen??
> >
> >
> > Das kommt darauf an, bis zu welcher Potenz
> > die Reihe entwickelt werden soll.
> >
>
> also eigentlich geht es bei den aufgaben darum, dass
> residuum zu berechnen...
>
Dann musst Du das wohl so machen.
Wird [mm]\sin\left(\cos\left(z\right)\right)[/mm] in eine Reihe um z=0 entwickelt,
so stellst Du fest, daß das Residuum 0 ist.
>
> > >
> > > habe jetzt nochmal einige gerechnet. bei den einfacheren
> > > klappt es ganz gut. aber wie ist es bei [mm]sin^{2}[/mm] (z)
> habe
> > > das ergebnis schon gesehen, weiß aber nicht wie ich
> auf
> > > diese reihe komme...
> >
> >
> > Multipliziere die Reihe für [mm]\sin\left(z\right)[/mm] mit
> sich
> > selbst.
> >
> das habe ich versucht, komme aber nicht auf das richtige
> ergebnis.
>
> sin(z) = z - [mm]\bruch{z^{3}}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{z^{5}}{5!}-+....[/mm]
>
>
> dann müsste ich jetzt doch rechnen
>
> [mm]z*z=z^{2}[/mm]
> z*- [mm]\bruch{z^{3}}{3!}= -\bruch{z^{4}}{3!}[/mm]
>
> [mm]z*\bruch{z^{5}}{5!}= \bruch{z^{6}}{5!}[/mm]
>
> und ich hätte
> [mm]sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3!}+ \bruch{z^{6}}{5!}-+....[/mm]
>
> aber laut wolframalpha müssteich auf
>
> [mm]sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3}+ \bruch{2z^{6}}{45}-+....[/mm]
>
> kommen.
>
> wo liegt denn mein fehler?
>
Hier musst Du schon rechnen:
[mm]\left(z - \bruch{z^{3}}{3!} + \bruch{z^{5}}{5!}-+....\right)*\left(z - \bruch{z^{3}}{3!} + \bruch{z^{5}}{5!}-+....\right)[/mm]
Jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied
des zweiten Faktors multiplizieren.
>
>
> danke für die hilfe
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 07.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
> Hallo Vicky89,
>
>
> >
> > > > > FRED
> > > > >
> > > > > > oder muss ich da anders rangehen?
> > > > > >
> > > > > > und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
> > > >
> > > > aber wie ist es hier?
> > > >
> > > > muss ich da für die reihenentwicklung von sin, für z
> > > > immer die komplette reihenentwicklugn des cos
> > einsetzen??
> > >
> > >
> > > Das kommt darauf an, bis zu welcher Potenz
> > > die Reihe entwickelt werden soll.
> > >
> >
> > also eigentlich geht es bei den aufgaben darum, dass
> > residuum zu berechnen...
> >
>
> Dann musst Du das wohl so machen.
>
> Wird [mm]\sin\left(\cos\left(z\right)\right)[/mm] in eine Reihe um
> z=0 entwickelt,
> so stellst Du fest, daß das Residuum 0 ist.
>
muss man hier dazu auch wirklich die reihe entwicklen? oder geht das auch anders?
> >
> > > >
> > > > habe jetzt nochmal einige gerechnet. bei den einfacheren
> > > > klappt es ganz gut. aber wie ist es bei [mm]sin^{2}[/mm] (z)
> > habe
> > > > das ergebnis schon gesehen, weiß aber nicht wie
> ich
> > auf
> > > > diese reihe komme...
> > >
> > >
> > > Multipliziere die Reihe für [mm]\sin\left(z\right)[/mm] mit
> > sich
> > > selbst.
> > >
> > das habe ich versucht, komme aber nicht auf das richtige
> > ergebnis.
> >
> > sin(z) = z - [mm]\bruch{z^{3}}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{z^{5}}{5!}-+....[/mm]
> >
> >
> > dann müsste ich jetzt doch rechnen
> >
> > [mm]z*z=z^{2}[/mm]
> > z*- [mm]\bruch{z^{3}}{3!}= -\bruch{z^{4}}{3!}[/mm]
> >
> > [mm]z*\bruch{z^{5}}{5!}= \bruch{z^{6}}{5!}[/mm]
> >
> > und ich hätte
> > [mm]sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3!}+ \bruch{z^{6}}{5!}-+....[/mm]
>
> >
> > aber laut wolframalpha müssteich auf
> >
> > [mm]sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3}+ \bruch{2z^{6}}{45}-+....[/mm]
>
> >
> > kommen.
> >
> > wo liegt denn mein fehler?
> >
>
>
> Hier musst Du schon rechnen:
>
> [mm]\left(z - \bruch{z^{3}}{3!} + \bruch{z^{5}}{5!}-+....\right)*\left(z - \bruch{z^{3}}{3!} + \bruch{z^{5}}{5!}-+....\right)[/mm]
>
> Jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied
> des zweiten Faktors multiplizieren.
>
>
das war mir schon bewusst. aber ich habe vergessen, dass es am ende ja mehrere glieder gibt, die dann z.b. [mm] z^{4} [/mm] im zähler haben.
aber ich habe es jetzt verstanden, ausprobiert und es stimmt =)
hat die funktion dann kein residuum?
> >
> > danke für die hilfe
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Vicky89,
>
> > Wird [mm]\sin\left(\cos\left(z\right)\right)[/mm] in eine Reihe um
> > z=0 entwickelt,
> > so stellst Du fest, daß das Residuum 0 ist.
> >
>
> muss man hier dazu auch wirklich die reihe entwicklen? oder
> geht das auch anders?
>
Einfacher geht das mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchyschen Integralsatz
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Wird [mm]\sin\left(\cos\left(z\right)\right)[/mm] in eine Reihe um
> > z=0 entwickelt,
> > so stellst Du fest, daß das Residuum 0 ist.
> >
>
> muss man hier dazu auch wirklich die reihe entwicklen? oder
> geht das auch anders?
Ja, durch ein wenig nachdenken.
Die Funktion [mm]f(z)=\sin\left(\cos\left(z\right)\right)[/mm] ist eine ganze Funktion, hat also eine auf ganz [mm] \IC [/mm] konv. Potenzreihenentwicklung um 0 (die man für obige Frage gar nicht kennen muß).
Dh.: Potenzreihe von f um 0 = Laurentreihe um 0
Damit sind alle Koeffizienten [mm] a_{-n} [/mm] im Hauptteil der Laurentreihe =0, also auch:
[mm] a_{-1}=0
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > > > FRED
> > > >
> > > > > oder muss ich da anders rangehen?
> > > > >
> > > > > und wie sieht es mit sin(cos(z)) aus?
> > >
> > > aber wie ist es hier?
> > >
> > > muss ich da für die reihenentwicklung von sin, für z
> > > immer die komplette reihenentwicklugn des cos
> einsetzen??
> >
> >
> > Das kommt darauf an, bis zu welcher Potenz
> > die Reihe entwickelt werden soll.
> >
>
> also eigentlich geht es bei den aufgaben darum, dass
> residuum zu berechnen...
>
>
> > >
> > > habe jetzt nochmal einige gerechnet. bei den einfacheren
> > > klappt es ganz gut. aber wie ist es bei [mm]sin^{2}[/mm] (z)
> habe
> > > das ergebnis schon gesehen, weiß aber nicht wie ich
> auf
> > > diese reihe komme...
> >
> >
> > Multipliziere die Reihe für [mm]\sin\left(z\right)[/mm] mit
> sich
> > selbst.
> >
> das habe ich versucht, komme aber nicht auf das richtige
> ergebnis.
>
> sin(z) = z - [mm]\bruch{z^{3}}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{z^{5}}{5!}-+....[/mm]
>
>
> dann müsste ich jetzt doch rechnen
>
> [mm]z*z=z^{2}[/mm]
> z*- [mm]\bruch{z^{3}}{3!}= -\bruch{z^{4}}{3!}[/mm]
>
> [mm]z*\bruch{z^{5}}{5!}= \bruch{z^{6}}{5!}[/mm]
>
> und ich hätte
> [mm]sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3!}+ \bruch{z^{6}}{5!}-+....[/mm]
Das ist doch Blödsinn ! Was Du berechnet hast ist nicht [mm] \sin^2(z) [/mm] sondern $z* [mm] \sin(z)$
[/mm]
>
> aber laut wolframalpha müssteich auf
>
> [mm]sin^{2}(z)=z^{2}-\bruch{z^{4}}{3}+ \bruch{2z^{6}}{45}-+....[/mm]
>
> kommen.
>
> wo liegt denn mein fehler?
S.o.
Tipp: Cauchyprodukt
FRED
>
>
>
> danke für die hilfe
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 07.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
dake für die hilfe.
den richtigen ansatz hatte ich schon. ich wusste, dass ich das alles miteinander multiplizieren muss. hatte das aber erstmal nur für z angefangen. aber wie gesgat, ist mir aufgefallen, wie ich es richtig machen muss.
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