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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo!
Ich wollte fragen, ob ihr meine Ergebnisse und Überlegungen korrigieren könntet?
Da ich eine Laurentreihenentwicklung um $z_{0} = 0$ machen soll, muss also z^{k} dann in der Laurentreihe stehen.
a) Aus $0 < |z| < 1$ folgt $|z| < 1$ und auch $\left|\bruch{z}{3}\right| < 1$, also:
$f(z) = \bruch{2}{z^{2}-4z+3} = \bruch{-1}{z-1} + \bruch{1}{z-3} = \bruch{1}{1-z} -\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{3}} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(z^{k}\right) - \sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}*\left(\bruch{z}{3}\right)^{k}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\left(\bruch{1}{3}\right)^{k+1}\right)*z^{k}$
Der Konvergenzradius wäre dann 1, d.h. diese Reihe würde Aufgabe a) erfüllen?
Bei b) wäre dann wegen $1 < |z| < 3$ ja $\left|\bruch{1}{z}\right| < 1$ und weiterhin $\left|\bruch{z}{3}\right| < 1$, also:
$f(z) = \bruch{2}{z^{2}-4z+3} = \bruch{-1}{z-1} + \bruch{1}{z-3} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}} -\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{3}} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{k} - \sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}*\left(\bruch{z}{3}\right)^{k}\right)$
$= \sum_{k=-\infty}^{-1}-z^{k} +\sum_{k=0}^{\infty}-\left(\bruch{1}{3}\right)^{k+1}*z^{k}$
Also wäre sozusagen
$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k}$ mit $a_{k} = \begin{cases} -1, & \mbox{für } k < 0 \\ -\left(\bruch{1}{3}\right)^{k+1}, & \mbox{für } k \ge 0 \end{cases}$
die geforderte Laurentreihe?
Bei c) folgt aus $3 < |z|$ noch $\left|\bruch{3}{z}\right| < 1$ und somit auch $\left|\bruch{1}{z}\right| < 1$, also:
$f(z) = \bruch{2}{z^{2}-4z+3} = \bruch{-1}{z-1} + \bruch{1}{z-3} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}} +\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{z}} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{k} + \bruch{1}{z}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{z}\right)^{k}\right)$
$= -\sum_{k=-\infty}^{-1}z^{k} + \sum_{k=-\infty}^{-1}3^{k-1}*z^{k}\right) = \sum_{k=-\infty}^{-1}\left(-1+3^{k-1}\right)*z^{k}$
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo steppenhahn,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Ich wollte fragen, ob ihr meine Ergebnisse und Überlegungen
> korrigieren könntet?
> Da ich eine Laurentreihenentwicklung um [mm]z_{0} = 0[/mm] machen
> soll, muss also [mm]z^{k}[/mm] dann in der Laurentreihe stehen.
>
> a) Aus [mm]0 < |z| < 1[/mm] folgt [mm]|z| < 1[/mm] und auch
> [mm]\left|\bruch{z}{3}\right| < 1[/mm], also:
>
> [mm]f(z) = \bruch{2}{z^{2}-4z+3} = \bruch{-1}{z-1} + \bruch{1}{z-3} = \bruch{1}{1-z} -\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{3}} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(z^{k}\right) - \sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}*\left(\bruch{z}{3}\right)^{k}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\left(\bruch{1}{3}\right)^{k+1}\right)*z^{k}[/mm]
>
> Der Konvergenzradius wäre dann 1, d.h. diese Reihe würde
> Aufgabe a) erfüllen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei b) wäre dann wegen [mm]1 < |z| < 3[/mm] ja
> [mm]\left|\bruch{1}{z}\right| < 1[/mm] und weiterhin
> [mm]\left|\bruch{z}{3}\right| < 1[/mm], also:
>
> [mm]f(z) = \bruch{2}{z^{2}-4z+3} = \bruch{-1}{z-1} + \bruch{1}{z-3} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}} -\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{3}} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{k} - \sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}*\left(\bruch{z}{3}\right)^{k}\right)[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=-\infty}^{-1}-z^{k} +\sum_{k=0}^{\infty}-\left(\bruch{1}{3}\right)^{k+1}*z^{k}[/mm]
>
> Also wäre sozusagen
>
> [mm]f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm] mit [mm]a_{k} = \begin{cases} -1, & \mbox{für } k < 0 \\ -\left(\bruch{1}{3}\right)^{k+1}, & \mbox{für } k \ge 0 \end{cases}[/mm]
>
> die geforderte Laurentreihe?
Stimmt auch.
> Bei c) folgt aus [mm]3 < |z|[/mm] noch [mm]\left|\bruch{3}{z}\right| < 1[/mm]
> und somit auch [mm]\left|\bruch{1}{z}\right| < 1[/mm], also:
>
> [mm]f(z) = \bruch{2}{z^{2}-4z+3} = \bruch{-1}{z-1} + \bruch{1}{z-3} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}} +\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{z}} = \left(-\bruch{1}{z}\right)*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{k} + \bruch{1}{z}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{z}\right)^{k}\right)[/mm]
>
> [mm]= -\sum_{k=-\infty}^{-1}z^{k} + \sum_{k=-\infty}^{-1}3^{k-1}*z^{k}\right) = \sum_{k=-\infty}^{-1}\left(-1+3^{k-1}\right)*z^{k}[/mm]
Hier muß es doch heißen
[mm]= -\sum_{k=-\infty}^{-1}z^{k} + \sum_{k=-\infty}^{-1}3^{\red{-}k-1}*z^{k}\right) = \sum_{k=-\infty}^{-1}\left(-1+3^{\red{-}k-1}\right)*z^{k}[/mm]
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Stefan.
Gruß
MathePower
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Vielen Dank für deine Korrektur, MathePower  !
Grüße, Stefan.
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