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Hallo!
Ich habe versucht, folgende Aufgabe auszurechnen, bin mir aber absolut unsicher, ob mein Ergebnis stimmen könnte.
Ich soll das Lebesgue-Integral [mm] \integral_{\IR}^{} {1_{\IQ} d\lambda} [/mm] ausrechnen, wobei [mm] \lambda [/mm] für das Lebesgue-Maß steht.
[mm] 1_{\IQ} [/mm] die sog. Indikatorfunktion ist, d.h. es bedeutet doch:
[mm] 1_{\IQ(w)} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } w \in \mbox{ \IQ} \\ 0, & \mbox{für } w \not\in \mbox{ \IQ} \end{cases}
[/mm]
und stellt eine Treppenfunktion über [mm] \IR [/mm] dar.
Das Lebesgue-Integral ist meines Wissens nach so definiert:
Sei f = [mm] \summe_{i=1}^{n} y_{i} 1_{A_{i}}, [/mm] also:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f d [mm] \lambda} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i} \lambda(A_{i}) [/mm] = [mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) \ lambda(dx)}
Nun habe ich das auf meine Aufgabe übertragen:
[mm] \integral_{\IR}^{} {1_{\IQ} d\lambda} [/mm] = [mm] \lambda(\IQ) [/mm] = 0, oder?
Denn [mm] \IQ [/mm] ist doch abzählbar, und alle {x}, [mm] x\in \IQ [/mm] das Lebesgue-Maß Null haben. Stimmt meine Begründung und das Ergebnis??
Danke für die Hilfe!
FS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das stimmt so! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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