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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 22.07.2004 | | Autor: | luck0r |
Hallo,
ich verzweifel hier gerade an folgender Aufgabe, die mir noch zum Erhalt des Übungsscheines fehlt, vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen:
Es sei A [mm] \subseteq \IR^n [/mm], A L-messbar, f [mm]\in[/mm] L(A) (also L-Integrierbar über A) und [mm] \lambda(A) > 0[/mm].
Beweisen Sie : Ist f > 0 auf A, so gilt:
[mm] \int_{A} f(x) dx > 0 [/mm]
[mm]\lambda(A)[/mm] ist das äußere Lebesgue-Maß
Vielen Dank an alle antwortenden und alle, die es zumindest duchlesen :)
luck0r
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Gruss!
Also, vielleicht gebe ich einfach mal einige Fingerzeige...
Wenn Deine Funktion L-integrierbar ist, dann heisst das doch, dass man sie durch L-einfache (also Treppenfuntkionen) approximieren kann. Ihr muesstet ausserdem gezeigt haben, dass die Bedingung [mm] f > 0[/mm] es erlaubt, dies mit (strikt) positiven Funktionen zu tun. Das Integral ueber A von f ist dann definiert als der Grenzwert der Integrale dieser einfachen Funktionen.
Jetzt reicht es also, Dir zwei Dinge zu ueberlegen:
1) Das Ganze gilt fuer einfache Funktionen (da benutzt man die Additivitaet
des Masses), die strikt positiv sind.
2) Man kann die Folge monoton wachsend waehlen, so dass die Folge der Integrale ebenfalls monotn waechst - das ergibt dann eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen (als Integralwerte der Integrale der einfachen Funktionen) und im Grenzwert steht dann ebenfalls etwas Positives.
Viel Erfolg!
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es geht auch noch viel einfacher. 
Würde nicht [mm] $\int\limits_A [/mm] f [mm] d\lambda [/mm] >0$ gelten, dann müsste wegen $f>0$ notwendigerweise [mm] $\int\limits_A [/mm] f [mm] d\lambda=0$ [/mm] gelten. Wäre aber [mm] $\int\limits_A [/mm] f [mm] d\lambda=0$, [/mm] dann wäre für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch (hierbei geht an der Stelle (*) entscheidend ein, dass $f$ auf $A$ positiv ist, denn sonst könnte man aus [mm] $\int\limits_A [/mm] f [mm] d\lambda=0$ [/mm] nicht (*) folgern!):
$0 [mm] \stackrel{(\*)}{=} \int\limits_{A \cap \{f \ge \frac{1}{n}\}} [/mm] f [mm] d\lambda \ge \frac{1}{n} \lambda(A \cap \{f \ge \frac{1}{n}\}) \ge [/mm] 0$.
Daraus folgt für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $\lambda(A \cap \{f \ge \frac{1}{n}\}) [/mm] =0$,
und daher (Stetigkeit des Maßes):
[mm] $\lambda(A) \stackrel{\mbox{\scriptsize (nach Vor.)}}{=} \lambda(A \cap \{f > 0\}) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \lambda(A \cap \{f \ge \frac{1}{n}\}) [/mm] =0$,
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt. Daher muss
[mm] $\int\limits_A [/mm] f [mm] d\lambda>0$
[/mm]
gelten.
Liebe Grüße
Stefan
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