Hallo noch einmal!
Hier noch eine Aufgabe von Hans Mathechef, von der ich noch keine Lösung habe:
Hans Mathechef glaubt, folgendes schönes Resultat gefunden zu haben:
Sei [mm] (\Omega,\cal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum mit [mm] \mu(\Omega)<\infty [/mm] (also z. B. [mm] \Omega=(-1,1) [/mm] mit dem Lebesgue Maß). Sei [mm] f:\Omega\to\IR [/mm] eine messbare Funktion. Seien [mm] p_k\in[1,\infty) [/mm] mit [mm] p_k\to\infty. [/mm] Es existiere der Grenzwert [mm] \lim_{p_k\to\infty}||f||_{p_k}. [/mm] Dann gilt
[mm] \lim_{p_k\to\infty}||f||_{p_k}=||f||_{\infty}.
[/mm]
Die Funktion f ist also auch wesentlich beschränkt.
Hat Hans Mathechef Recht?
Eigentlich könnte ich mir vorstellen, dass das gilt, aber wie würde man das beweisen? Oder gibt es vielleicht doch ein Gegenbeispiel?
Entschuldige bitte zunächst, dass ich so lange für diese Aufgabe benötigt habe, obwohl sie mir direkt hätte klar sein müssen.
Die Aussage von Hans Mathechef ist richtig.
Im Falle [mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty}=0$ [/mm] ist die Aussage trivial. Sei also im Folgenden [mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty}>0$ [/mm] vorausgesetzt. Weiterhin sei oBdA $f [mm] \ge [/mm] 0$.
Ich zeige zunächst:
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty} \le \lim\limits_{p_k \to \infty} \Vert [/mm] f [mm] \Vert_{p_k}$.
[/mm]
Wäre dem nicht so, so gäbe es ein [mm] $\alpha>0$ [/mm] mit
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