Lebesgue-Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:22 Di 16.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich versuch grad, das Lebesgue-Integral ansatzweise mit Wikipedia zu verstehen, und hab ein paar Fragen dazu.
![[]](/images/popup.gif) Lebesgue-Integral
Also da wird ja als erstes gesagt, dass im Gegensatz zum Riemann-Integral, welches mit Treppenfunktionen approximiert wird, das Lebesgue-Integral mit einfachen Funktionen approximiert wird.
Riemann vs. Lebesge
Blau: Riemann
Rot: Lebesgue
Hmm, also sehe ich das richtig, dass da jeweils nur EINE Treppenfunktion und EINE einfache Funktion eingezeichnet sind?
Und je kleiner die "Einzelteile" (=Balken) davon werden (mit jedem Approximationsschritt), desto mehr wird das Integral angenähert?
Mit diesen einfachen Funktionen hab ich ein generelles Problem.
Ich kann mir nicht vorstellen wie sie aussehen, auch wenn ich mir das rote Bild ansehe nicht.
Ich habs soweit verstanden, dass einfache Funktionen nur endlich viele Funktionswerte annehmen, und zwar irgendwie so, dass ich endlich viele disjunkte Mengen habe, sagen wir k Stück, und auf jeder dieser Mengen hat die Funktion nur einen Funktionswert.
Hmm, wenn ich mir das versuche vorzustellen...
z.B. für eine Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] ich hab sagen wir drei Mengen, jeweils Intervalle, das erste ist [1,4], das zweite [6,7] und das dritte [11,16], und das erste hat nur den Funktionswert 4, das zweite den Funktionswert 6 und das dritte den Funktionswert 1.
Dann hab ich aber doch wieder eine Treppenfunktion, oder nicht?
Ich kann in dem roten Bild absolut keine einfache Funktion erkennen, ich kann mit den querliegenden Balken nix anfangen, was könnten da die Mengen sein, die jeweils nur einen Funktionswert haben?
Vielen Dank schonmal.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Di 16.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Hallo zusammen!
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> Ich versuch grad, das Lebesgue-Integral ansatzweise mit
> Wikipedia zu verstehen, und hab ein paar Fragen dazu.
Gnaa, ich wollte Dir gerade statt Wikipedia ein Skript empfehlen, daß mir sehr geholfen hat (und das wie ich sehe sogar in der Linkliste vom Matheraum steht), aber ich mußte feststellen, daß die Uni Duisburg von Vollschwachmaten und Idiospastikern besetzt ist und das Teil ist weg.
> Hmm, also sehe ich das richtig, dass da jeweils nur EINE
> Treppenfunktion und EINE einfache Funktion eingezeichnet
> sind?
Die Summe aus mehreren einfachen Funktionen ist wieder einfach. (weil endlich viele Funktionswerte von der einen und endlich viele von der anderen wieder endlich viele ergibt)
Bei der Treppenfunktion muß das nicht der Fall sein, wenn beide nicht die gleiche "Treppenbreite" haben und das Verhältnis der Treppenbreiten nicht rational ist. =)
Die Kurzfassung ist die:
Eine einfache Funktion ist eine Treppenfunktion, aber Du kannst Dir die Stufenbreite bei jeder Stufe neu aussuchen. Das versucht man anzudeuten, indem man bei der einfachen Funktion waagrechte Balken zeichnet.
> Hmm, wenn ich mir das versuche vorzustellen...
> z.B. für eine Funktion von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] ich hab sagen
> wir drei Mengen, jeweils Intervalle, das erste ist [1,4],
> das zweite [6,7] und das dritte [11,16], und das erste hat
> nur den Funktionswert 4, das zweite den Funktionswert 6 und
> das dritte den Funktionswert 1.
> Dann hab ich aber doch wieder eine Treppenfunktion, oder
> nicht?
Yep, die Sache ist, daß Du bei einer Treppenfunktion im Riemannschen Sinne eben eine feste Breite der Stufen hast (Bei Deinem Beispiel kommt man eh mit Breite 1 durch, aber normalerweise z.B. [mm] $\frac1{n}$). [/mm] Wenn Du Dich fragst, warum das einen Unterschied macht, verweise ich auf die Beispiele, wo Riemann-Integral nicht funktioniert und Lebesgue schon.
> Ich kann in dem roten Bild absolut keine einfache Funktion
> erkennen, ich kann mit den querliegenden Balken nix
> anfangen, was könnten da die Mengen sein, die jeweils nur
> einen Funktionswert haben?
Wie gesagt, stell Dir stattdessen aufrechte Balken, die aber mit variierender Breite, vor.
ciao
Stefan
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:20 Di 16.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Hmm, also sehe ich das richtig, dass da jeweils nur EINE
> > Treppenfunktion und EINE einfache Funktion eingezeichnet
> > sind?
Ja, wobei ich die rote Darstellung sehr unglücklich empfinde - man kann es so machen, in den Zugängen verwendete einfache Funktionen sehen aber oft auch anders aus.
> Die Summe aus mehreren einfachen Funktionen ist wieder
> einfach. (weil endlich viele Funktionswerte von der einen
> und endlich viele von der anderen wieder endlich viele
> ergibt)
Ja.
> Bei der Treppenfunktion muß das nicht der Fall sein, wenn
> beide nicht die gleiche "Treppenbreite" haben und das
> Verhältnis der Treppenbreiten nicht rational ist. =)
Nein, das stimmt so nicht - jedenfalls nicht im Normalen mathematischen Sprachgebrauch, dort ist eine Treppenfunktion eine Funktion, die einer Unterteilung in Intervalle zu lässt, so dass sie im Inneren der Intervalle konstant ist. Damit sind auch (gemeinsame Unterteilungen) summen dieser wieder Treppenfunktionen.
> Eine einfache Funktion ist eine Treppenfunktion,
Nein! Es ist zB [m]\chi_\IQ[/m] (char. Funktion von [m]\IQ[/m]) eine einfache Funktion, du wirst aber nie eine Unterteilung des Def.bereichs in Intervalle finden, so dass sie auf dem Inneren der Intervalle konstant ist.
> aber Du
> kannst Dir die Stufenbreite bei jeder Stufe neu aussuchen.
Selbst dann ist es falsch.
> Das versucht man anzudeuten, indem man bei der einfachen
> Funktion waagrechte Balken zeichnet.
Also diese waagerechten Balken gehen meiner Intuition eher voll daneben, aber wer's mag ...
> Yep, die Sache ist, daß Du bei einer Treppenfunktion im
> Riemannschen Sinne eben eine feste Breite der Stufen hast
Wo hast du das her? Ich kenne keinen Zugang, der äquidistante Breiten zur Vorraussetzung macht.
> (Bei Deinem Beispiel kommt man eh mit Breite 1 durch, aber
> normalerweise z.B. [mm]\frac1{n}[/mm]). Wenn Du Dich fragst, warum
> das einen Unterschied macht, verweise ich auf die
> Beispiele, wo Riemann-Integral nicht funktioniert und
> Lebesgue schon.
Das hat mit gleicher Länge der Intervalle aber nichts zu tun, siehe meine funktion ganz oben ...
> Wie gesagt, stell Dir stattdessen aufrechte Balken, die
> aber mit variierender Breite, vor.
Nein, das wäre nur eine Treppenfunktion. Du musst dir "wilde" Mengen denken, jede Menge mit gleiche Höhe kriegt eine Farbe.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich nehm die Frage mal zurück, habe Seckis Korrektur auf der Übersichtsseite nicht direkt gesehen...
Muss meine Geddanken jetzt erst nochmal ordnen.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 17.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hmm, also sehe ich das richtig, dass da jeweils nur EINE
> Treppenfunktion und EINE einfache Funktion eingezeichnet
> sind?
> Und je kleiner die "Einzelteile" (=Balken) davon werden
> (mit jedem Approximationsschritt), desto mehr wird das
> Integral angenähert?
> Mit diesen einfachen Funktionen hab ich ein generelles
> Problem. Ich kann mir nicht vorstellen wie sie aussehen, auch wenn
> ich mir das rote Bild ansehe nicht.
Das Bild mit den Balken dient auch nicht dazu, den Unterschied zwischen einfachen Funktionen und Treppenfunktionen deutlich zu machen. Schau doch mal auf die Bildunterschrift: "Illustration der Grenzwertbildung beim Riemann-Integral (blau) und beim Lebesgue-Integral (rot)". Das Bild bezieht sich mehr oder weniger auf das, was weiter unten steht bei "Henri Lebesgue über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral".
Der fundamentale Unterschied in der Herangehensweise ist, dass man beim Riemannintegral fragt "Wie groß ist f ungefähr auf diesem Mini-kleinen Intervall?" und beim Lebesgue-Integral "Wie groß [da kommen die Maße ins Spiel] ist das Urbild dieses Mini-kleinen Intervalls?".
Schau bei beiden Integralkonstruktionen geht man aus von einem Vektorraum von Funktionen, denen man auf natürliche Weise ein Integral zuordnen kann. Beim Riemannintegral sind das die Treppenfunktionen und beim Lebesgueintegral die einfachen Funktionen. Jetzt könnte man an der Stelle aufhören, aber bis hierhin hat man außer den konstanten Funktionen noch nichtmal irgend ne stetige Funktion erfasst. Also macht man folgendes, man sucht nun nach einer Klasse von Funktionen, die sich geeignet durch Treppenfunktionen/einfache Funktionen approximieren lassen und denen man auch ein sinnvolles Integral zuordnen kann. Diese Größere Klasse Funktionen nennt man dann die (eigentlich) Riemann-/Lebesgueintegrierbaren Funktionen.
> Ich habs soweit verstanden, dass einfache Funktionen nur
> endlich viele Funktionswerte annehmen, und zwar irgendwie
> so, dass ich endlich viele disjunkte Mengen habe, sagen wir
> k Stück, und auf jeder dieser Mengen hat die Funktion nur
> einen Funktionswert.
Diese disjunkten Mengen hast du immer. Es reicht eigentlich zu sagen, dass nur endlich viele Funktionswerte angenommen werden. Die disjunkten Mengen sind dann einfach die ${f^{-1}(\{y_i\})$, wobei die $y_i$ für $1\le i\le N$ eben die endlich vielen Funktionswerte sind. Damit man dann auch wirklich ein Integral für die einfachen Funktionen definieren kann, braucht man jedoch noch die technische Zusatzbedingung, dass all diese Urbilder $f^{-1}(y_i)$ messbar sind... aber das ist erstmal nicht so wichtig.
> Hmm, wenn ich mir das versuche vorzustellen...
> z.B. für eine Funktion von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] ich hab sagen
> wir drei Mengen, jeweils Intervalle, das erste ist [1,4],
> das zweite [6,7] und das dritte [11,16], und das erste hat
> nur den Funktionswert 4, das zweite den Funktionswert 6 und
> das dritte den Funktionswert 1.
> Dann hab ich aber doch wieder eine Treppenfunktion, oder
> nicht?
Ja, aber einfache Funktionen können viel wilder aussehen, z.B. die von Fred SEcki bereits erwähnte Funktion [mm] $\chi_\IQ$, [/mm] die an allen rationalen Stellen den Wert 1 und sonst 0 hat. Jede Treppenfunktion ist eine einfache Funktion, aber nicht umgekehrt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Das Bild mit den Balken dient auch nicht dazu, den
> Unterschied zwischen einfachen Funktionen und
> Treppenfunktionen deutlich zu machen. Schau doch mal auf
> die Bildunterschrift: "Illustration der Grenzwertbildung
> beim Riemann-Integral (blau) und beim Lebesgue-Integral
> (rot)".
Hmm, ich dachte, man könnte in dem Bild die einfachen Funktionen erkennen.
Weil im Text steht ja, dass das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz durch einfache Funktionen definiert ist, was anschaulich bedeutet, dass das Integral durch waagerechte Balken angenähert wird.
Deshalb dachte ich, die waagerechten Balken wären irgendwie die einfachen Funktionen.
Die Treppenfunktion im blauen Bild erkennt man ja auch...
> Der fundamentale Unterschied in der Herangehensweise ist,
> dass man beim Riemannintegral fragt "Wie groß ist f
> ungefähr auf diesem Mini-kleinen Intervall?" und beim
> Lebesgue-Integral "Wie groß [da kommen die Maße ins
> Spiel] ist das Urbild dieses Mini-kleinen Intervalls?".
Hmm, ok.
> Schau bei beiden Integralkonstruktionen geht man aus von
> einem Vektorraum von Funktionen, denen man auf natürliche
> Weise ein Integral zuordnen kann.
Meinst du mit "auf natürliche Weise ein Integral zuordnen" den Flächeninhalt der Rechtecke unter der Treppenfunktion?
> Beim Riemannintegral sind
> das die Treppenfunktionen und beim Lebesgueintegral die
> einfachen Funktionen.
> Jetzt könnte man an der Stelle
> aufhören, aber bis hierhin hat man außer den konstanten
> Funktionen noch nichtmal irgend ne stetige Funktion
> erfasst.
Hmm, das verstehe ich nicht.
> Also macht man folgendes, man sucht nun nach einer
> Klasse von Funktionen, die sich geeignet durch
> Treppenfunktionen/einfache Funktionen approximieren lassen
> und denen man auch ein sinnvolles Integral zuordnen kann.
> Diese Größere Klasse Funktionen nennt man dann die
> (eigentlich) Riemann-/Lebesgueintegrierbaren Funktionen.
Hat das irgendwas mit messbaren Funktionen zu tun?
Hmm, hast du vielleicht mal ein ganz simples Beispiel von einem Funktionsgraphen, der durch einfache Funktionen angenähert wird?
Ich sehe auch noch keinen Zusammenhang zwischen einfachen Funktionen und der Frage "Wie groß [da kommen die Maße ins Spiel] ist das Urbild dieses Mini-kleinen Intervalls?"
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 17.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hmm, ich dachte, man könnte in dem Bild die einfachen
> Funktionen erkennen.
Nein, die roten Balken können ja keine einzelne Funktion darstellen - klar, oder? (Denn für jeden x-Wert hat man jamehrer y-Werte)
> Weil im Text steht ja, dass das Lebesgue-Integral durch
> die Konvergenz durch einfache Funktionen definiert ist, was
> anschaulich bedeutet, dass das Integral durch waagerechte
> Balken angenähert wird.
Ich finde die Anschaung seltsam bzw. falsch.
> Meinst du mit "auf natürliche Weise ein Integral zuordnen"
> den Flächeninhalt der Rechtecke unter der
> Treppenfunktion?
So ähnlich - man hat bei beiden Integralen unterschiedliche "einfache" Funktionen - einmal Treppenf., einmal einfache Funktionen. Die sind dann "Breite mal Höhe" bzw. "Maß mal Höhe".
> > Jetzt könnte man an der Stelle
> > aufhören, aber bis hierhin hat man außer den konstanten
> > Funktionen noch nichtmal irgend ne stetige Funktion
> > erfasst.
>
> Hmm, das verstehe ich nicht.
Es ist für stetige Funktionen zB nichts gezeigt.
> > Also macht man folgendes, man sucht nun nach einer
> > Klasse von Funktionen, die sich geeignet durch
> > Treppenfunktionen/einfache Funktionen approximieren lassen
> > und denen man auch ein sinnvolles Integral zuordnen kann.
> > Diese Größere Klasse Funktionen nennt man dann die
> > (eigentlich) Riemann-/Lebesgueintegrierbaren Funktionen.
>
> Hat das irgendwas mit messbaren Funktionen zu tun?
Indirekt - im Leb. Fall sind die int.baren Funktionen messbar, die Umnkehrung gilt nicht.
> Hmm, hast du vielleicht mal ein ganz simples Beispiel von
> einem Funktionsgraphen, der durch einfache Funktionen
> angenähert wird?
Zeichnen mag ich nicht - ich lasse die Frage mal halboffen.
> Ich sehe auch noch keinen Zusammenhang zwischen einfachen
> Funktionen und der Frage "Wie groß [da kommen die Maße
> ins Spiel] ist das Urbild dieses Mini-kleinen Intervalls?"
Denk nochmal drüber nach - zB ist für die einfach Funktion [m]1_{[0,1]}:\IR \to\IR[/m] das Urbild genau die beiden messbaren Mengen [m]1_{[0,1]}^{-1}(0)[/m] und [m]1_{[0,1]}^{-1}(1)[/m] eingeteilt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Ich finde die Anschaung seltsam bzw. falsch.
Vielleicht erstmal zur Idee an sich.
Also bei Riemann ist ja das Ziel, den Flächeninhalt zu berechnen, den eine Funktion mit der x-Achse einschließt bzw. das Volumen, dass ein Tepich mit einem kartesischen Produkt von Intervallen in der x-y-Ebene einschließt.
Und der Flächeninhalt/das Volumen ist dann gleich dem Integral über die Funktion f.
Ist die Intention beim Lebesgue-Interal auch so eine? Will man da auch den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und irgendeiner Fläche berechnen?
So, und bei Riemann wird (jetzt bei Flächen) der Flächeninhalt ja so angenähert, das ich unter der Funktion Rechtecke einzeichne, deren Flächeninhalte berechne (über Länge des Intervalls mal Funktionswert), alle Flächeninhalte aufaddiert und das ist dann in etwa der Wert des Integrals, also in etwa der Flächeninhalt unter der Funktion f.
Und die Rechtecke bilden ja dann quasi die Treppenfunktionen, wenn man nur die obere Längskante des Rechtecks betrachtet. Also kann man sagen, dass das Integral nach Riemann über Treppenfunktionen angenähert wird.
Soweit ist alles richtig, oder?
So, und wie ist das nun bei Lebesgue? Ich weiß, dass ich den Wert des Integrals mit den einfachen Funktionen annähere.
Aber wie genau passiert das? Baut man sich auch irgendwelche Flächen die einen einfachen Inhalt haben? Was genau macht man mit den einfachen Funktionen?
Du hast etwas geschrieben von "Maß mal Höhe", was genau wird da berechnet?
Also im Moment möchte ich erstmal verstehen, was überhaupt die Idee hinter dem Lebesgue-Integral ist, eben so, wie es mit den Rechtecksinhalten bei Riemann ist.
> Denk nochmal drüber nach - zB ist für die einfach
> Funktion [m]1_{[0,1]}:\IR \to\IR[/m] das Urbild genau die beiden
> messbaren Mengen [m]1_{[0,1]}^{-1}(0)[/m] und [m]1_{[0,1]}^{-1}(1)[/m]
> eingeteilt.
Was genau ist [m]1_{[0,1]}:\IR \to\IR[/m] für eine Funktion? Wie sieht die Funktionsvorschrift aus?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 17.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also bei Riemann ist ja das Ziel, den Flächeninhalt zu
> berechnen, den eine Funktion mit der x-Achse einschließt
Ja, bei Leb. auch.
> bzw. das Volumen, dass ein Tepich mit einem kartesischen
> Produkt von Intervallen in der x-y-Ebene einschließt.
Häh?
> Und der Flächeninhalt/das Volumen ist dann gleich dem
> Integral über die Funktion f.
Ja, das ist bei dem anderen Integralbegriff auch so.
> Ist die Intention beim Lebesgue-Interal auch so eine? Will
> man da auch den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und
> irgendeiner Fläche berechnen?
Klar.
> So, und bei Riemann wird (jetzt bei Flächen) der
> Flächeninhalt ja so angenähert, das ich unter der
> Funktion Rechtecke einzeichne, deren Flächeninhalte
> berechne (über Länge des Intervalls mal Funktionswert),
> alle Flächeninhalte aufaddiert und das ist dann in etwa
> der Wert des Integrals, also in etwa der Flächeninhalt
> unter der Funktion f.
Ja.
> Und die Rechtecke bilden ja dann quasi die
> Treppenfunktionen, wenn man nur die obere Längskante des
> Rechtecks betrachtet. Also kann man sagen, dass das
> Integral nach Riemann über Treppenfunktionen angenähert
> wird.
>
> Soweit ist alles richtig, oder?
Ja.
> So, und wie ist das nun bei Lebesgue? Ich weiß, dass ich
> den Wert des Integrals mit den einfachen Funktionen
> annähere.
Ja.
> Aber wie genau passiert das? Baut man sich auch
> irgendwelche Flächen die einen einfachen Inhalt haben? Was
> genau macht man mit den einfachen Funktionen?
Wie nähert man an? Sie f eine nicht-negative Funktion, dann zB durch [m]0*\chi_{\{0\le f\le 1\}}+1*\chi_{\{1\le f\le 2\}}+2*\chi_{\{2\le f\}}[/m]. Man nimmt sich also Bereiche im Wertebereich (!) von f und nimmt einfache Funktionen auf endlich vielen Bereichen im Wertebereich.
> Du hast etwas geschrieben von "Maß mal Höhe", was genau
> wird da berechnet?
Das Maß der Menge M mal die Abschätzung nach unten von f auf der Menge M.
> Also im Moment möchte ich erstmal verstehen, was
> überhaupt die Idee hinter dem Lebesgue-Integral ist, eben
> so, wie es mit den Rechtecksinhalten bei Riemann ist.
Irgendwie find ich das Vorgehen müßig - aber das Beispiel aus dem Wiki unter "Henri Lebesgue über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral" trifft es perfekt. Man geht vom Wertebreich aus - beim Rieman-Integral vom Def.bereich.
> Was genau ist [m]1_{[0,1]}:\IR \to\IR[/m] für eine Funktion? Wie
> sieht die Funktionsvorschrift aus?
Die charakteristische Funktion des Intervalls.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 18.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > bzw. das Volumen, dass ein Tepich mit einem kartesischen
> > Produkt von Intervallen in der x-y-Ebene einschließt.
>
> Häh?
Ich meinte hier Mehrfachintegrale, also z.B. [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx dy}}, [/mm] das ist doch ein Intergral über das Einheitsquadrat.
Und wenn ich alle Funktionswerte z=f(x,y) bestimme bekomme ich doch im Endeffekt einen Teppich, also eine Fläche mit Höhen und Tiefen.
> > Aber wie genau passiert das? Baut man sich auch
> > irgendwelche Flächen die einen einfachen Inhalt haben? Was
> > genau macht man mit den einfachen Funktionen?
>
> Wie nähert man an? Sie f eine nicht-negative Funktion,
> dann zB durch [m]0*\chi_{\{0\le f\le 1\}}+1*\chi_{\{1\le f\le 2\}}+2*\chi_{\{2\le f\}}[/m].
> Man nimmt sich also Bereiche im Wertebereich (!) von f und
> nimmt einfache Funktionen auf endlich vielen Bereichen im
> Wertebereich.
So, also f ist die Funktion die ich annähern will (bzw. ihren Flächeninhalt).
Und [m]\phi(x)=0*\chi_{\{0\le f\le 1\}}+1*\chi_{\{1\le f\le 2\}}+2*\chi_{\{2\le f\}}[/m] ist die einfache Funktion?
Und die einfache Funktion ist an der Stelle x gleich 0, wenn der Funktionswert von f an der Stelle x zwischen 0 und 1 liegt, sie ist an der Stelle x gleich 1, wenn der Funktionswert von f an der Stelle x zwischen 1 und 2 liegt, und sie ist an der Stelle x gleich 2, wenn der Funktionswert von f an der Stelle x größer als 2 ist, richtig?
Ich hab mir einfach mal eine Beispielfunktion gemalt, und da mal diese einfache Funktion eingezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das schwarze soll die nichtnegative Funktion sein, die blauen Striche sind dann die einfache Funktion.
Und wie geht es jetzt weiter?
Wie komme ich an den Flächeninhalt?
Wo kommen die Maße ins Spiel?
LG Nadine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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hallo
grundsätzlich gibt es 2 zugangsweisen zum L integral.
die eine ist der funktionalanalytische zugang , der zb in Forster 3 beschrieben wird. dort definiert man das intergal zunächst für stetige fkt.en mit kompaktem träger und weitet es dann auf L-integrierbare fkt.en aus , indem man sie durch diese approximiert.
der andere zugang ist der maßtheoretische(siehe elstrod). dabei ist das L-maß das maß , das längen erhält, also zb L((5,6))=1.
das integral wird dann ähnlich wie beim R-integral über einfache fkt.en gebildet. dazu wird der bildbereich in immer kleiner werdende intervalle zerlegt, und das integral exestiert dann (wenn es ex.) als grenzwert davon.
du musst also hier immer mehr einfache fkt.en finden, die immer "feiner" werden . das integral der einfachen fkt.en ist dann erklärt als das produkt von länge nund höhe. das integral von f ist dann die summe aller dieser inhalte.
es gibt übrigens eine verbindung beider zugange. der satz besagt, wenn ich mich recht erinnere: zu jedem maß gibt es genau einen funktionenverband (das sind hier die stetien fkt.en mit kompaktem träger), sodass .... der genaue wortlaut ist mir leider entfallen, aber es darauf hinaus , dass das maßintegral mit dem limes der approximationsfkt.en aus dem verband übereinstimmt.
gruß
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Hallo!
> das integral wird dann ähnlich wie beim R-integral über
> einfache fkt.en gebildet.
Habe ich in meinem Bild die einfache Funktion richtig eingezeichnet?
> dazu wird der bildbereich in
> immer kleiner werdende intervalle zerlegt,
Ist das dann, wenn die Intervalle, auf denen die charakteristische Funktion den Wert 1 annimmt, immer kleiner werden?
Also statt in dem Beispiel, wo z.B. [mm] \chi_{[0
> und das integral
> exestiert dann (wenn es ex.) als grenzwert davon.
Das Integral existiert als Grenzwert der immer kleiner werdenden Intervalle?
Meinst du, dass je kleiner die Intervalle werden, desto näher bin ich an der Funktion?
Also eigentlich existiert die Funktion als Grenzwert der Intervalle?
> du musst also hier immer mehr einfache fkt.en finden, die
> immer "feiner" werden .
> das integral der einfachen fkt.en
> ist dann erklärt als das produkt von länge nund höhe.
> das integral von f ist dann die summe aller dieser
> inhalte.
Welche Länge und welche Höhe genau?
In meinem Beispiel habe ich ja nur längliche Striche als einfache Funktion.
Ok, also hab ich eine Länge?
Aber was ist mit der Höhe?
Ich habe ja keine Rechtecke oder so?
Und irgendwo muss ja auch noch das Maß mit rein, oder nicht?
Also wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, ist es so, dass das Integral von f die Summe der Integrale (Flächeninhalte ?) der einfachen Funktionen ist.
Und je kleiner ich diese Intervalle der charakteristischen Funktion für die einfachen Funktion wähle, desto genauer komme ich an f, und damit an den Flächeninhalt unter f ran.
Ist das soweit richtig?
Aber was ich jetzt noch nicht verstanden habe, ist das mit den Integralen der einfachen Funktionen.
Könntest du mir das nochmal erklären?
LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 18.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mi 17.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> z.B. die von Fred bereits erwähnte Funktion [mm]\chi_\IQ[/mm], die
Ähem.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 18.03.2010 | | Autor: | gfm |
Mögen mich die anderen korrigieren, wenn es falsch ist.
Das was ich als wesentlichen Unterschied mitgenommen habe, ist folgendes:
Bei beiden Integralen kann sich die Vorgehensweise so vorstellen, dass eine für Funktion f für die das Integral berechnet werden soll, eine Folge
[mm] f_n=\summe \alpha^{n}_i 1_{A^{n}_i}
[/mm]
einfacher, elementarer Funktionen, die in beiden Fällen auf endlich vielen Mengen jeweils konstante Werte annehmen, konstruiert wird, die in einem gewissen Sinne die gegebene Approximieren und gegen sie konvergieren soll.
Der Grenzwert von
[mm] \summe \alpha^{n}_i \mu(A^{n}_i)
[/mm]
ist dann das Integral von f.
Der wesentliche Unterschied in meinen Augen ist der, das beim R-Integral für die [mm] A_i [/mm] nur Mengen aus dem Erzeuger der [mm] \sigma [/mm] - Algebra genommen werden dürfen (in der Regel sind das Intervalle) und beim L-Integral aus der [mm] \sigma [/mm] - Algebra selber.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Sa 20.03.2010 | | Autor: | gfm |
Betrachte die Funktion
f: [mm] A_f:=[-1,1]\mapsto B_f:=[0,1]; x\to x^2
[/mm]
Für f soll das R- und L-Integral bestimmt werden.
R-Integral: Zerlege dazu den Argumentbereich [mm] A_f [/mm] von f immer feiner in endlich viele disjunkte links halboffene Intervalle:
[mm] A_f=\summe_{i=1}^{n} A_i^n [/mm] (ich schreibe ein Summezeichen, um eine disjunkte Vereinigung auszudrücken)
Also [mm] A_i^n =(t_i^n,t_{i+1}^n] [/mm] wobei [mm] -1=t_0^n
Dabei sei [mm] l_n [/mm] = Max [mm] \lamba(A_i^n) [/mm] die Länge des größten Intervalls der n-ten Zerlegung. [mm] l_n [/mm] soll dabei für [mm] n\to\infty [/mm] gegen null gehen und eine feinere Zerlegung entstehe aus ihrem Vorgänger durch hinzufügen weiterer t's.
Nun betrachte
[mm] f_o^n:=\summe_{i=0}^{i_n} sup\{f(s)|s\in A_i^n\} 1_{A_i^n}=:\summe o^f_i 1_{A_i^n} [/mm] (Oberfunktion)
[mm] f_u^n:=\summe_{i=0}^{i_n} inf\{f(s)|s\in A_i^n\} 1_{A_i^n}=:\summe u^f_i 1_{A_i^n} [/mm] (Unterfunktion)
Es gilt [mm] f_u^n\le f\le f_o^n [/mm] mit den beiden Treppenfunktionen [mm] f_o^n, f_u^n [/mm] (wichtig: endlich viele Intervalle).
Das R-Integral über eine Treppenfunktion [mm] \summe c_i 1_{A_i} [/mm] ist einfach [mm] \summe c_i \lambda(A_i) (\lambda [/mm] ist die Länge des Intervalls).
Wenn die Grenzwerte für das R-Integral für Ober- und Unterfunktion (existieren und) übereinstimmen, wenn die Zerlegung immer feiner wird (und [mm] l_n [/mm] gegen unendlich geht), dann definiert man diesen Wert als R-Integral von f. Man könnte auch sagen wenn das Infimum der Integrale von Treppenfunktionen, die f von oben einhüllen, und das Supremum der Integral von Treppenfunktionen die f von unten einhüllen, übereinstimmen, wird dieser Wert als R-Integral von f bezeichnet:
Sei [mm] T_{A_f} [/mm] die Menge aller Treppenfunktionen auf [mm] A_f
[/mm]
[mm] M^f_o:=\{g| g\in T_{A_f}, f\le g\}
[/mm]
[mm] M^f_u:=\{g| g\in T_{A_f}, g \le f\}
[/mm]
S:=inf [mm] \{\summe c_i \lambda(A_i)|g=\summe c_i 1_{A_i}\in M^f_o\}
[/mm]
s:=sup [mm] \{\summe c_i \lambda(A_i)|g=\summe c_i 1_{A_i}\in M^f_u\}
[/mm]
Wenn s=S, dann ist f R-integrierbar und s=S ist der Wert des Integrals.
Auch beim Riemannintegral approximiert man eine vorgegebene Funktion durch Linearkombinationen von charakteristischen Funktionen. Der große Unterschied ist aber die Beschränkung auf endlich viele Intervalle und die Approximation durch sup und inf der Funktion auf diesen Intervallen. Denn wenn die Funktion "wild" oszilliert oder sich Unstetigkeiten häufen, kann das durch die endlich vielen Intervalle nicht immer aufgelöst werden. Das Sup - egal wie klein das Intervall auch wird - bleibt "oben" hängen und das inf "unten". Die Supremums- und Infimumsbildung auf endlich vielen Intervallen endlicher Größe kommt sozusagen mit der "Wildheit" der Funktion nicht klar, wenn sich diese Wildheit bis ins Unendlichkleine fortsetzt.
Als Folge davon konvergieren die Ober- und Untersumme nicht gegen einen gleichen Wert. Oder wenn die Anzahl der Unstetikeitsstellen bei den Ober- und Unterfunktionen endlich ist, aber die Grenzfunktion unendlich viele Unstetigkeitsstellen hat, ist man in der unschönen Situation, das die Funktionen der folge alle samt R-integrierbar sind aber nicht der Grenzfuntion selber (weil wie eben beschireben Ober- und Untersumme verschieden sind).
Update, Beipiele und Fortsetzung folgen
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Auch beim Riemannintegral approximiert man eine vorgegebene
> Funktion durch Linearkombinationen von charakteristischen
> Funktionen. Der große Unterschied ist aber die
> Beschränkung auf endlich viele Intervalle und die
> Approximation durch sup und inf der Funktion auf diesen
> Intervallen. Denn wenn die Funktion "wild" oszilliert oder
> sich Unstetigkeiten häufen, kann das durch die endlich
> vielen Intervalle nicht immer aufgelöst werden. Das Sup -
> egal wie klein das Intervall auch wird - bleibt "oben"
> hängen und das inf "unten". Die Supremums- und
> Infimumsbildung auf endlich vielen Intervallen endlicher
> Größe kommt sozusagen mit der "Wildheit" der Funktion
> nicht klar, wenn sich diese Wildheit bis ins
> Unendlichkleine fortsetzt.
Diesen Absatz hier verstehe ich nicht.
Bist du wirklich immer noch beim Riemann-Integral?
Weil das wird doch nicht mit endlich vielen Intervallen approximiert, sondern mit n Stück für [mm] n\to\infty [/mm] , wie du oben geschrieben hast, oder nicht?
Und warum sagst du erst, die Funktion wird durch Sup und Inf approximiert, und am Ende sagst du, dass Sup und Inf mit Ozzilationen nicht klar kommen?
Irgendwie blick ich da grad nicht durch... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 22.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> > Auch beim Riemannintegral approximiert man eine vorgegebene
> > Funktion durch Linearkombinationen von charakteristischen
> > Funktionen. Der große Unterschied ist aber die
> > Beschränkung auf endlich viele Intervalle und die
> > Approximation durch sup und inf der Funktion auf diesen
> > Intervallen. Denn wenn die Funktion "wild" oszilliert oder
> > sich Unstetigkeiten häufen, kann das durch die endlich
> > vielen Intervalle nicht immer aufgelöst werden. Das Sup -
> > egal wie klein das Intervall auch wird - bleibt "oben"
> > hängen und das inf "unten". Die Supremums- und
> > Infimumsbildung auf endlich vielen Intervallen endlicher
> > Größe kommt sozusagen mit der "Wildheit" der Funktion
> > nicht klar, wenn sich diese Wildheit bis ins
> > Unendlichkleine fortsetzt.
>
> Diesen Absatz hier verstehe ich nicht.
>
> Bist du wirklich immer noch beim Riemann-Integral?
Ja.
> Weil das wird doch nicht mit endlich vielen Intervallen
> approximiert, sondern mit n Stück für [mm]n\to\infty[/mm] , wie du
> oben geschrieben hast, oder nicht?
Was ich meinte, ist Folgendes:
Man versucht eine vorgegebene Funktion f durch eine gleichmäßig konvergente Folge von Treppenfunktionen
[mm] \summe c^{(n)}_i 1_{A^{(n)}_i} [/mm]
über endlich viele Summanden zu approximieren, wobei die [mm] A^{(n)}_i [/mm] hier im wesentlichen ganz einfache Intervalle sind, so daß man dann hoffen kann, den Grenzwert des Integrals über die Treppenfunktionsfolge sinnvoll als Integral der Funktion f definieren zu können. Entscheidend aus meiner Sicht ist hier, dass man
1.) endlich viele Summanden und
2.) einfache Intervalle
hat.
Je nachdem man ob man
[mm] c^{(n)}_i=\inf\{f(t)|t\in A^{(n)}_i\} [/mm] (*)
oder
[mm] c^{(n)}_i=\sup\{f(t)|t\in A^{(n)}_i\} [/mm] (**)
oder
[mm] c^{(n)}_i=f(t^{(n)}_i) [/mm] mit [mm] t^{(n)}_i\in A^{(n)}_i [/mm] beliebig (***)
erhält man die Darbouxschen Unter-, Obersummen oder die Riemannsumme (beide Konzepte sind ja gleichwertig).
> Und warum sagst du erst, die Funktion wird durch Sup und
> Inf approximiert, und am Ende sagst du, dass Sup und Inf
> mit Ozzilationen nicht klar kommen?
So und nun betrachte mal eine Funktion f, die in jedem noch so kleinen Intervall die Werte 1 und 0 annimmt. Was bedeutet das dann für die [mm] c^{(n)}_i [/mm] ?
Na, ja, in (*) bleibt das [mm] \inf [/mm] bei Null hängen und bei (**) das [mm] \sup [/mm] bei eins. Mit (***) kann es auch keinen eindeutigen Grenzwert geben.
z.B. ist die sog. Dirichlet-Funktion so ein Monster, welches nicht integrierbar im riemannschen Sinne ist, weil die endliche Summe und die Verwendung von einfachen Intervallen mit dem "wilden" hin-und-her-springen nicht klar kommt. Wenn man für die [mm] A^{(n)}_i [/mm] allgemeinere Mengen als einfache Intervalle zuläßt bekommt man Sie in den Griff, denn dann ist [mm] 1_{\IQ} [/mm] eine Treppenfunktion, die sie exakt approximiert. Dann braucht man aber in der Summe was anderes als [mm] (x_i-x_{i-1}) [/mm] für das Maß der Länge des "Teilintervalls" nämlich das Lebesguemaß: [mm] \summe c_i \lambda(A_i)
[/mm]
Bei einer stetigen Funktion kann das nicht passieren, denn wenn man die Intervalle klein genug macht, kann auch der Funktionswert nicht mehr beliebig variieren. Es klappt auch noch wenn die Funktion auf einer nur abzählbaren Menge unstetig ist. Z.B. ist die Thomaesche_Funktion noch Riemann-integrierbar.
Allgemeiner kann man sagen, dass, wenn die Menge auf der die Funktion unstetig ist, ein Lebesguemaß von null hat ist sie integrierbar im Riemannschen Sinne. Das hat Lebesgue 1902 in seiner Dissertation gezeigt, wenn ich mich recht entsinne.
LG
gfm
BTW: Sieh es mir nach, wenn das nicht immer sofort verständlich ist, was ich schreibe. Ich schreibe so wie mir der Mund gewachsen ist und wie sich Dinge in mir verfestigt haben und auch nur das, was mir noch geläufig ist. Hab 15 Jahren mein Diplom in Physik gemacht und arbeite auch nicht in einem naturwissenschaftlichen Bereich. Mache Mathe nur als "Hobby".
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Was für eine Rolle spielen beim Lebesgue-Integral eigentlich die messbaren Funktionen ?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 22.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen!
>
> Was für eine Rolle spielen beim Lebesgue-Integral
> eigentlich die messbaren Funktionen ?
>
> LG Nadine
Eine Entscheidende.
Das sind gerade die, für die man sinnvoll das L-Integral definieren kann.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:26 Di 23.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen!
>
> Ich versuch grad, das Lebesgue-Integral ansatzweise mit
> Wikipedia zu verstehen, und hab ein paar Fragen dazu.
>
> Lebesgue-Integral
>
> Also da wird ja als erstes gesagt, dass im Gegensatz zum
> Riemann-Integral, welches mit Treppenfunktionen
> approximiert wird, das Lebesgue-Integral mit einfachen
> Funktionen approximiert wird.
>
> Riemann vs. Lebesge
>
> Blau: Riemann
> Rot: Lebesgue
>
> Hmm, also sehe ich das richtig, dass da jeweils nur EINE
> Treppenfunktion und EINE einfache Funktion eingezeichnet
> sind?
>
> Und je kleiner die "Einzelteile" (=Balken) davon werden
> (mit jedem Approximationsschritt), desto mehr wird das
> Integral angenähert?
>
> Mit diesen einfachen Funktionen hab ich ein generelles
> Problem.
>
> Ich kann mir nicht vorstellen wie sie aussehen, auch wenn
> ich mir das rote Bild ansehe nicht.
>
> Ich habs soweit verstanden, dass einfache Funktionen nur
> endlich viele Funktionswerte annehmen, und zwar irgendwie
> so, dass ich endlich viele disjunkte Mengen habe, sagen wir
> k Stück, und auf jeder dieser Mengen hat die Funktion nur
> einen Funktionswert.
>
> Hmm, wenn ich mir das versuche vorzustellen...
> z.B. für eine Funktion von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] ich hab sagen
> wir drei Mengen, jeweils Intervalle, das erste ist [1,4],
> das zweite [6,7] und das dritte [11,16], und das erste hat
> nur den Funktionswert 4, das zweite den Funktionswert 6 und
> das dritte den Funktionswert 1.
> Dann hab ich aber doch wieder eine Treppenfunktion, oder
> nicht?
>
> Ich kann in dem roten Bild absolut keine einfache Funktion
> erkennen, ich kann mit den querliegenden Balken nix
> anfangen, was könnten da die Mengen sein, die jeweils nur
> einen Funktionswert haben?
>
> Vielen Dank schonmal.
>
> LG Nadine
Die "Rumreiterei" auf einfache oder Treppenfunktionen solltest Du dir nicht so doll zu Herzen nehmen. auch scheint mir die Definition von Treppenfunktionen in der Wiki nicht ganz vollständig zu sein, da man in der Literatur zusätzlich zu den konstanten Abschnitten auf den Intervallen auch noch Werte auf einpunktigen Mengen hinzunimmt.
Wesentlich ist in der Summe einer approximierenden Funktion
[mm] \summe c_i 1_{A_i}
[/mm]
woher die [mm] A_i [/mm] kommen und was man dann im Integral dieser "einfachen" Funktion in
[mm] \summe c_i m(A_i)
[/mm]
für m als "Inhalt" (Maß, Länge) für [mm] A_i [/mm] verwendet.
Im Falle des Riemannintegrals nimmt man für m das Jordanmaß und beim Lebesgueintegral eben das Lebesguemaß. Die Verwendung des Jordanmaß läßt für die [mm] A_i [/mm] nur disjunkte Vereinigungen von Intervallen zu und beim Lebesgueintegral auch kompliziertere Mengen, die NICHT als endliche Vereinigung von Intervallen darstellen kann.
In beiden Fällen möchte man eine gegebene Funktion als gleichmäßigen Limes einer Folge von "einfachen" Funktionen erhalten, für die man das Integral einfach als [mm] \summe c_i m(A_i) [/mm] definiert. Sieht man das Integral als Abbildung einer Funktion in die rellen Zahlen an, so bedeutet die Definition des Integrals für Funktionen, die außerhalb des einfachen Funktionesraumes liegen, als Fortsetzung dieser Abbildung auf eben einen umfasserenden Funktionsraum an. Die gleichmäßige Approximation braucht man, weil man möchte, dass das Integral nicht nur stetig auf dem Raum der einfachen Funktionen ist, sondern seine Stetigkeit auch bei Fortsetzung auf den umfasserenden Räume beibehält, was einem dann das Vertauschen von Grenzprozessen erlaubt.
Bei Riemann ist dann eben Schluß bei Funktionen, die Unstetigkeiten nur auf Mengen vom Lebesguemass null haben (was auch schon unerhört viel ist) Das Lebesgueintegral ist definiert für alle (lebesgue) meßbaren Funktionen.
Beispiele:
Betrachte eine Funktion [mm] f:J:=[0,1]\to [/mm] J, y=f(x) (erst mal beliebig). Für sie sollen einfache Funktionen t konstruiert werden, die f gleichmäßig approximieren. Wenn sie f gleichmäßig approximieren sollen, muss man in den Bildraum von f gehen und dort gleichmäßig den Wertebereich zerlegen:
[mm] [0,1]=\bigcup_{i=1}^n B_i^{(\epsilon)}
[/mm]
wobei die [mm] B_i^{(\epsilon)} [/mm] geeignete disjunkte Intervalle gleicher Länge sind, die eine Länge kleiner als ein [mm] \epsilon>0 [/mm] sein sollen. Um im Folgenbild zu bleiben, kann man sich [mm] \epsilon:=1/n [/mm] denken (n läuft dann weiter unten gegen [mm] \infty).
[/mm]
Nun bilde [mm] A_i^{(\epsilon)}:=f^{-1}(B_i^{(\epsilon)}). [/mm] Die [mm] A_i^{(\epsilon)} [/mm] ergeben jetzt eine disjunkte Zerlegung des Definitionsbereichs mit der Eigenschaft [mm] |f(x)-f(x')|<\epsilon [/mm] für [mm] x,x'\in A_i^{(\epsilon)}
[/mm]
Nun wähle ein [mm] x_i^{(\epsilon)}\in A_i^{(\epsilon)} [/mm] und schreibe
[mm] t_\epsilon:=\summe f(x_i^{(\epsilon)}) 1_{A_i^{(\epsilon)}}
[/mm]
Jetzt hast Du eine "einfache" Funktion mit der Eigenschaft [mm] |f(x)-t_\epsilon(x)|<\epsilon [/mm] für [mm] x\in[0,1]
[/mm]
Nun möchte man das Integral von f über [0,1] als Grenzwert von
[mm] \integral_J{f(x)dx}:= lim_{\epsilon\to 0}\summe f(x_i^{(\epsilon)})m({A_i^{(\epsilon)}})
[/mm]
bzw. gegebenenfalls Vereinfachungen davon definieren.
Wenn man die Definition so wie oben eins zu eins umsetzen will, muss eine Wahl für die Mengeninhaltsfunktion m getroffen werden und darf nur solche f zulassen, deren Urbilder [mm] A_i^{(\epsilon)} [/mm] bei der obigen Konstruktion in den Definitionsbereich von m fallen. Wählt man sich das Lebesguemaß aus, so klappt das eben für alle meßbaren Funktionen. Dann muss man sich aber darauf einstellen, dass die [mm] A_i^{(\epsilon)} [/mm] keine simplen Intervalle ergeben müssen: Z.B. für [mm] f=1_{\IQ\cap [0,1]} [/mm] ergibt sich immer genau ein [mm] A=\IQ\cap [/mm] [0,1] welches nicht leer ist. Diese f ist aber wie an anderer Stelle schon angedeut, "unknackbar" für das Riemann-Integral.
Das "rote Bild" soll eigentlich sagen, dass man beim L-Integral den Bildberiech zerlegt und dafür auf die Zerlegung des Urbildbereiches in einfache äquidistante Intervalle verzichtet. Es können sich dabei halt komplizierte [mm] A_i [/mm] ergeben, die, anstatt zu einem vertikalen Rechteckstreifen, zu einem beliebig komplizierten vertikalem Streifenmuster, welches über den ganzen Definitionsbereich "verschmiert" sein kann, schon für nur ein einzelnes [mm] A_i [/mm] führen können. Für unser "Monster" [mm] f=1_{\IQ\cap [0,1]} [/mm] haben wir ein Streifensystem aus beliebig dicht beieinander liegenden vertikalen Linien über den kompletten Def.-Bereich [0,1]
Wenn nun - ins Unreine gesprochen - unser f beim Übergang von den [mm] B_i [/mm] zu [mm] A_i [/mm] zuläßt, die in den Definitionsbereich des Jordan-Maß fallen (das sind die endlichen Vereinigungen von Intervallen), dann ist es möglich, auf die Konstruktion mit der Zerlegung des Bildbereiches zu verzichten. Man kann dann mit einer Zerlegung der Argumentbereiches in Intervalle auch Folgen gleichmäßig approximierender einfacher Funktionen (das sind dann jetzt Treppenfunktionen, wenn man diese Unterscheidung mag) erhalten.
Nimm z.B. f(x)=4x(1-x) auf [0,1] (Parabel mit 0 und 1 als Nullstellen und (0.5,1) als Scheitel) und ein [mm] B:=[y,y+\epsilon)\subset [/mm] [0,1]. Dann ist [mm] f^{-1}(B)=A\cup [/mm] A' die Vereinigung von zwei symmetrisch zu x=0.5 gelegenen Intervallen. Dieses würde zu einem [mm] y1_{A\cup A'} [/mm] in der Lebesgue-Summe führen, welches f auf A und A' mit einer Abweichung von maximal [mm] \epsilon [/mm] approximiert.
Da wir in diesem Fall aber eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall haben, ist f dort ja auch gleichm. stetig, so daß man eine gleichmäßige Approximation auch schon durch eine (endliche) Treppenfunktion hinbekommt.
Wenn Du es korrekt und exakt wissen willst:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/kaballo/index.html
http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/Vorlesungsskripten/bausteine5.pdf
http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/Vorlesungsskripten/bausteine7.pdf
http://biophysics.hoppeban.de/math/skript.pdf
http://www.math.uni-hamburg.de/home/lauterbach/scripts/analysis/ch6.pdf
http://www.math.uni-hamburg.de/home/lauterbach/scripts/ana3/chap11.pdf
LG
gfm
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Riemann vs. Lebesge
