Lebesgue-Intergral von Maß=0 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Di 03.06.2014 | | Autor: | Chordale |
| Aufgabe | | Sei Q ein Quader und f : Q [mm] \to \mathbb{R} [/mm] stetig mit [mm] \int [/mm] |f| dx = 0 . Zeigen Sie, dass f die Nullfunktion ist, d.h. f(x) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] Q. |.| ist das Lebesgue Maß |
Hallo liebe Matheraumler,
mir fehlt noch ein bisschen der Ansatz zu dieser Aufgabe.
Dadurch, dass |f| integrierbar ist folgt ja, dass es eine zugehörige [mm] L^1 [/mm] Cauchy-Folge von Treppenfunktionen [mm] (h_k) [/mm] gibt. Diese Folge von Treppenfunktionen muss ja dann gleichzeitig zugehörige Folge zur Nullfunktion sein. Wie setze ich jetzt aber die zugehörige Folge an von |f| an?
Schonmal vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
die Aufgabe ist so eigentlich gar nicht so schwer. Nimm an, f sei nicht die Nullfunktion, dann existiert was?
Dann folgt aus der Stetigkeit von |f| was?
Und damit für das Integral?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 03.06.2014 | | Autor: | Chordale |
Ahh okay also einfach so:
Angenommen f ist nicht die Nullfunktion:
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] Q: f(x) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] wegen der Stetigkeit von f gibt es keine isolierten Punkte [mm] \Rightarrow [/mm] |f| [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \int [/mm] |f| dx [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Reicht die Bedingung, dass es keine isolierten Pkt. geben kann schon für |f| [mm] \neq [/mm] 0 aus?
Danke schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:33 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ahh okay also einfach so:
> Angenommen f ist nicht die Nullfunktion:
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] Q: f(x) [mm]\neq[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] wegen
> der Stetigkeit von f gibt es keine isolierten Punkte
Hä ? Was willst Du damit sagen ????
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f| [mm]\neq[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \int[/mm] |f| dx [mm]\neq[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
Nix folgt !!!! Das ist doch kein Beweis
>
> Reicht die Bedingung, dass es keine isolierten Pkt. geben
> kann
????
> schon für |f| [mm]\neq[/mm] 0 aus?
> Danke schonmal :)
Annahme: f ist nicht die Nullfunktion. Dann ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] Q mit [mm] f(x_0) \ne [/mm] 0.
Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] und ein [mm] \alpha [/mm] > 0 mit
|f(x)| [mm] \ge \alpha [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] Q [mm] \cap [/mm] U.
Jetzt Du.
FRED
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