Lebesgue-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Di 09.09.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | Der n-dimensionale Elementarinhalt ist def. durch [mm] \lambda([a,b))=\produkt_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).
[/mm]
Der Elementarinhalt lässt sich auf genau eine Weise zu einem Maß [mm] \lambda [/mm] auf der Borel-Algebra [mm] \sigma(O^{n}) [/mm] in [mm] \IR^{n} [/mm] erweiern. Dieses Maß heißt Lebesgue-Maß. |
Hallo,
so, das ist ein Satz aus unserm Skript. Was ist denn mit "auf genau eine Weise" konkret gemeint? Also: Welche Weise?
Ich weiß einfach nicht so genau, wie das Lebesgue-Maß im Prinzip "aussieht". Versteht ihr, was ich meine? De Satz ist so schwammig gehalten und es wäre schön, wenn mir das einer von euch nochmal anders erklären könnte.
Danke und lg,
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 09.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Der n-dimensionale Elementarinhalt ist def. durch
> [mm]\lambda([a,b))=\produkt_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).[/mm]
> Der Elementarinhalt lässt sich auf genau eine Weise zu
> einem Maß [mm]\lambda[/mm] auf der Borel-Algebra [mm]\sigma(O^{n})[/mm] in
> [mm]\IR^{n}[/mm] erweiern. Dieses Maß heißt Lebesgue-Maß.
> Hallo,
>
> so, das ist ein Satz aus unserm Skript. Was ist denn mit
> "auf genau eine Weise" konkret gemeint? Also: Welche Weise?
Wenn du ein Maß auf der Borel'schen [mm] \sigma-Algebra [/mm] hast das 1.) jedem Elementarquader seinen Elementarinhalt zuweist und 2.) die ganzen anderen Bedingungen erfüllt, die noch zusätzlich zu denen eines "einfachen" Maßes gefordert werden, z.B. die Translationsinvarianz, dann ist dieses Maß das Lebesgue-Maß, d.h. es gibt nur dieses eine Maß mit diesen Eigenschaften auf der Borel'schen [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
> Ich weiß einfach nicht so genau, wie das Lebesgue-Maß im
> Prinzip "aussieht". Versteht ihr, was ich meine? De Satz
> ist so schwammig gehalten und es wäre schön, wenn mir das
> einer von euch nochmal anders erklären könnte.
Das Lebesgue-Maß ist genau das, was du dir vorstellst ^^
Also einer Fläche im [mm] \IR^2 [/mm] ordnet es seinen Flächeninhalt zu, einem Körper im [mm] \IR^3 [/mm] sein Volumen, einer Strecke im [mm] \IR^1 [/mm] (also einem Intervall) seine Länge, etc.
Und dabei ist es so normiert, dass es dem Einheitsintervall die Länge eins, dem Einheitsquadrat den Flächeninhalt eins, dem Einheitsquader das Volumen eins, etc. zuordnet.
> Danke und lg,
> Caro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Di 09.09.2008 | | Autor: | cares87 |
> > Ich weiß einfach nicht so genau, wie das Lebesgue-Maß im
> > Prinzip "aussieht". Versteht ihr, was ich meine? De Satz
> > ist so schwammig gehalten und es wäre schön, wenn mir das
> > einer von euch nochmal anders erklären könnte.
>
> Das Lebesgue-Maß ist genau das, was du dir vorstellst ^^
> Also einer Fläche im [mm]\IR^2[/mm] ordnet es seinen Flächeninhalt
> zu, einem Körper im [mm]\IR^3[/mm] sein Volumen, einer Strecke im
> [mm]\IR^1[/mm] (also einem Intervall) seine Länge, etc.
> Und dabei ist es so normiert, dass es dem
> Einheitsintervall die Länge eins, dem Einheitsquadrat den
> Flächeninhalt eins, dem Einheitsquader das Volumen eins,
> etc. zuordnet.
Danke, das ist ja schon mal toll einfach!
> Wenn du ein Maß auf der Borel'schen [mm]\sigma-Algebra[/mm] hast das
> 1.) jedem Elementarquader seinen Elementarinhalt zuweist
> und 2.) die ganzen anderen Bedingungen erfüllt, die noch
> zusätzlich zu denen eines "einfachen" Maßes gefordert
> werden, z.B. die Translationsinvarianz, dann ist dieses Maß
> das Lebesgue-Maß, d.h. es gibt nur dieses eine Maß mit
> diesen Eigenschaften auf der Borel'schen [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
>
Was sind denn die zusätzlichen Bedingungen? Tanslationsinvarianz hast du ja schon gesagt, was gibt es noch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Di 09.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Lies dir mal das Einführungskapitel (Seiten 5-10) in ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript durch, da ist das ganze "Inhaltsproblem" wunderbar beschrieben (und das in einfachen, deutschen Sätzen ^^).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 10.09.2008 | | Autor: | cares87 |
okay, danke. das hat mir geholfen :)
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