Lebesgue-Maß auf Borel-Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Mi 13.06.2012 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Seien $x,y [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Gilt $x-y [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] so schreiben wir $x [mm] \sim [/mm] y [mm] .\;\sim [/mm] $ ist eine Äquivalenzrelation auf [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Wir betrachten die Äquivalenzklasse $[x] [mm] :=\left\{y\in \mathbb{R}|x\sim y\right\}$ [/mm] von $x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Sei [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesgue-Maß auf den Borel-Mengen [mm] $\mathcal{B}$(\mathbb{R}) [/mm] des [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Sei $V [mm] \subset [/mm] [0,1]$ die kleinste Menge mit der Eigenschaft, dass [mm] $V\cap[x]$ [/mm] für alle [mm] $x\in \mathbb{R}$ [/mm] einelementig ist.
Bem.: Die Existenz von V folgt mit dem Auswahlaxiom.
Zeigen Sie, dass $V [mm] \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] gilt, indem Sie Folgendes nachweisen:
a) Es gilt [mm] [0,1]$\subset\bigcup_{n=1}^{\infty} V_n \subset [/mm] [-1,2]$,wobei [mm] $V_n=\{v+q_n|v \in V\}$ [/mm] und [mm] $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] eine Aufzählung von [mm] $\mathbb{Q} \cap [/mm] [0,1]$ ist.
b) Es ist [mm] $\mu(V_n)= \mu(V_m)$ [/mm] für $m,n [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
c) Sowohl die Annahme [mm] $\mu [/mm] (V)=0$ als auch [mm] $\mu(V)>0$ [/mm] führen zum Widerspruch. |
Hallo,
sitze nun seit längerem an dieser Aufgabe und habe keine Ahnung wie man das denn zeigen soll,ich verzweifel schon an der a) ?!
Wäre für jede Hilfe sehr dankbar...
LG
HugATree
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Hallo,
> Seien [mm]x,y \in \mathbb{R}[/mm]. Gilt [mm]x-y \in \mathbb{Q}[/mm], so
> schreiben wir [mm]x \sim y .\;\sim[/mm] ist eine Äquivalenzrelation
> auf [mm]\mathbb{R}[/mm]. Wir betrachten die Äquivalenzklasse [mm][x] :=\left\{y\in \mathbb{R}|x\sim y\right\}[/mm]
> von [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]. Sei [mm]\mu[/mm] das Lebesgue-Maß auf den
> Borel-Mengen [mm]\mathcal{B}[/mm][mm] (\mathbb{R})[/mm] des [mm]\mathbb{R}[/mm]. Sei [mm]V \subset [0,1][/mm]
> die kleinste Menge mit der Eigenschaft, dass [mm]V\cap[x][/mm] für
> alle [mm]x\in \mathbb{R}[/mm] einelementig ist.
> Bem.: Die Existenz von V folgt mit dem Auswahlaxiom.
>
> Zeigen Sie, dass [mm]V \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm] gilt,
> indem Sie Folgendes nachweisen:
> a) Es gilt [0,1][mm]\subset\bigcup_{n=1}^{\infty} V_n \subset [-1,2][/mm],wobei
> [mm]V_n=\{v+q_n|v \in V\}[/mm] und [mm](q_n)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] eine
> Aufzählung von [mm]\mathbb{Q} \cap [0,1][/mm] ist.
Stand da nicht [mm] \mathbb{Q}\cap[-1,1] [/mm] ?
Warum sonst sollte man bei der rechten Inklusion das Intervall bei -1 starten lassen.
> b) Es ist [mm]\mu(V_n)= \mu(V_m)[/mm] für [mm]m,n \in \mathbb{N}[/mm].
> c)
> Sowohl die Annahme [mm]\mu (V)=0[/mm] als auch [mm]\mu(V)>0[/mm] führen zum
> Widerspruch.
> Hallo,
>
> sitze nun seit längerem an dieser Aufgabe und habe keine
> Ahnung wie man das denn zeigen soll,ich verzweifel schon an
> der a) ?!
Erstmal die erste Inklusion. Sei [mm] x\in[0,1]. [/mm] Dann ist zu zeigen, dass x in einem [mm] V_n [/mm] liegt.
Nimm dir einen Repräsentanten [mm] a\in[x]\cap[0,1].
[/mm]
Dann gibt es aufgrund der Äquivalenzrelation eine rationale Zahl [mm] q\in\IQ\cap[-1,1] [/mm] mit x=a+q (beachte [mm] |x-a|\le [/mm] 1). Es liegt daher x in dem zu q gehörigen [mm] V_n.
[/mm]
Die zweite Inklusion ist dann einfach.
LG
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Hallo,
vielen vielen dank zuerst ein mal für die schnelle Antwort zu so später Stunde :)
>
> Warum sonst sollte man bei der linken Inklusion das
> Intervall bei -1 starten lassen.
Ja, also das steht schon genau so dran.
> > b) Es ist [mm]\mu(V_n)= \mu(V_m)[/mm] für [mm]m,n \in \mathbb{N}[/mm].
>
> > c)
> > Sowohl die Annahme [mm]\mu (V)=0[/mm] als auch [mm]\mu(V)>0[/mm] führen zum
> > Widerspruch.
> > Hallo,
> >
> > sitze nun seit längerem an dieser Aufgabe und habe keine
> > Ahnung wie man das denn zeigen soll,ich verzweifel schon an
> > der a) ?!
> Erstmal die erste Inklusion. Sei [mm]x\in[0,1].[/mm] Dann ist zu
> zeigen, dass x in einem [mm]V_n[/mm] liegt.
>
> Nimm dir einen Repräsentanten [mm]a\in[x]\cap[0,1].[/mm]
Wo steht hier die Verbindung zwischen der Äquivalenzklasse und dem $V-n$?
Das habe ich noch nicht ganz verstanden.
Der Repräsentant, den du hier genommen hast liegt ja zwar in [mm] $V_n$ [/mm] aber du hast ihn doch aus der Äquivalenzklasse genommen, oder?!
>
> Dann gibt es aufgrund der Äquivalenzrelation eine
> rationale Zahl [mm]q\in\IQ\cap[-1,1][/mm] mit x=a+q (beachte
> [mm]|x-a|\le[/mm] 1). Es liegt daher x in dem zu q gehörigen [mm]V_n.[/mm]
>
> Die zweite Inklusion ist dann einfach.
Also ich habe mich mal an der zweiten Inklusion versucht:
[mm] $v\in V_n$ [/mm] und [mm] $q_n$ [/mm] können hier ja maximal 1 werden, und somit ist [mm] $0\leq v+q_n\leq [/mm] 2$.
Somit müsste dann [mm] $V_n\subseteq [0,2]\subseteq [/mm] [-1,2]$, und das sollte man ja zeigen, dass [mm] $V_n\subseteq [/mm] [-1,2]$
Habe ich hier richtig gedacht?
Hast du mir vielleicht auch noch ein paar kleine Denkanstöße für die anderen 2 Teilaufgaben?
Vielen Dank
lG
HugATree
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Do 14.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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