Lebesgue-Maß kompakter Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für K [mm] \subseteq \IR^d [/mm] kompakt gilt [mm] \lambda_d(K) [/mm] < [mm] \infty [/mm] wobei [mm] \lambda_d [/mm] das d-dimensionale äußere Lebesgue-Maß ist. |
Hallo,
den Beweis dazu finde ich sehr merkwürdig. In einem vorherigen Teil haben wir schon [mm] \lambda_d(I) [/mm] = [mm] vold_d(I) [/mm] mit I = [a,b) gezeigt, also kennen wir die Behauptung bereits für [a,b). Der Rest folgt aus diesem Fall und im Weiteren werden dann (a,b) = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] [a + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] 1,b) und [a,b] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} [a,b+\bruch{1}{n} [/mm] 1) so dargestellt mit 1 = (1, ..., 1) [mm] \in \IR^d. [/mm] Anschließend wird die Stetigkeit des Maßes [mm] \lambda_d [/mm] verwendet.
Mir ist jetzt aber noch nicht ganz klar, wo die Behauptung gezeigt wird. Kann da jemand Licht ins Dunkel bringen? Diese Verrenkungen mit den Intervallen macht man um ein abgeschlossenes Intervall als halboffenes darstellen zu können und die Stetigkeit weist dem um 1/n verschobenen Inhalt das gleiche Maß zu wie dem ursprünglichen halboffenen Intervall oder wie muss ich das verstehen?
|
|
| |
|
Hiho,
> In einem vorherigen Teil haben wir schon [mm]\lambda_d(I)[/mm] = [mm]vold_d(I)[/mm] mit I = [a,b) gezeigt,
Was immer mit "vold" gemeint ist....
> also kennen wir die Behauptung bereits für [a,b).
Ok.
> Der Rest folgt aus diesem Fall und im
> Weiteren werden dann (a,b) = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}[/mm] [a +
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] 1,b) und [a,b] = [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} [a,b+\bruch{1}{n}[/mm]
> 1) so dargestellt mit 1 = (1, ..., 1) [mm]\in \IR^d.[/mm]
Die Schreibweisen machen so irgendwie keinen Sinn.
> Mir ist jetzt aber noch nicht ganz klar, wo die Behauptung
> gezeigt wird. Kann da jemand Licht ins Dunkel bringen?
> Diese Verrenkungen mit den Intervallen macht man um ein
> abgeschlossenes Intervall als halboffenes darstellen zu
> können und die Stetigkeit weist dem um 1/n verschobenen
> Inhalt das gleiche Maß zu wie dem ursprünglichen
> halboffenen Intervall oder wie muss ich das verstehen?
Genau.
Die Sache ist ja die, dass [mm] \lambda [/mm] zu Beginn nur für halboffene Intervalle (bzw. im [mm] \IR^d [/mm] halboffene Quader) definiert ist.
Nun gilt ja aber: $[a,b] = [mm] \bigcap_{k=1}^\infty \left[a,b+\bruch{1}{k}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \bigcap_{k=1}^n \left[a,b+\bruch{1}{k}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \left[a,b+\bruch{1}{n}\right)$ [/mm]
und die [mm] $\left[a,b+\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] bilden eine fallende Folge von Mengen, so dass wir die Stetigkeit von oben benutzen können. Damit gilt:
[mm] $\lambda\left([a,b]\right) [/mm] = [mm] \lambda\left(\lim_{n\to\infty} \left[a,b+\bruch{1}{n}\right)\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \lambda\left(\left[a,b+\bruch{1}{n}\right)\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \left( b+\bruch{1}{n} - a\right) [/mm] = b-a$
Zurück zu deiner Aufgabe: Ich kann mir nur schwerlich vorstellen, dass ihr damit wirklich besagten Satz beweisen wolltet. Denn dieser lässt sich wesentlich einfacher und schneller beweisen über:
K kompakt und damit beschränkt, dann gibt es einen halboffenen Quader [mm] Q_n [/mm] mit [mm] $K\subset Q_n$ [/mm] und damit [mm] $\lambda(K) \le \lambda(Q_n) [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Ah, die Sache hat sich erledigt. Ich habe die ganze Zeit schon den Eindruck gehabt, dass mit der Nummerierung etwas nicht stimmt, weil einige Beweise etwas ganz anderes zu beweisen scheinen und die ist an der Stelle komplett durcheinander geraten. Habe die passenden Beweise jetzt gefunden. Mit der Intervallschreibweise sollte nämlich gezeigt werden, dass alle diese Intervalle das gleiche Maß haben und der Kompaktheitsbeweis wird auch in meinem Skript so geführt wie von dir.
|
|
|
|
