Lebesgue dom. Konvergenz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es geht um ein Thema, welches hier schon angesprochen wurde. Ich habe nun eine ähnliche Frage:
[mm] f_k:=\IR\to\IR [/mm] sei definiert durch [mm] f_k(x):=\frac{k}{x^2+k^2}. [/mm] Dann gilt:
[mm] -$\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x) [/mm] = 0 [mm] \; \forall x\in\IR$
[/mm]
[mm] -$\int_{\IR} f_k(x) [/mm] dx = [mm] \pi \; \forall k\in\mathbb{N}$
[/mm]
Das habe ich bereits gezeigt. Nun zur eigentlichen Frage, wieso man den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz nicht anwenden kann. Ich habe mir folgendes gedacht:
Angenommen, es gäbe eine Majorante [mm] $g\,$ [/mm] für alle [mm] $f_n\,.$ [/mm] O.E. betrachte die [mm] $f_n$ [/mm] nur auf [mm] $[0,\infty)\,.$ [/mm] Dann muss für alle x gelten [mm] $g\ge [/mm] 1/1 [mm] =f_1$ [/mm] und [mm] $g\ge 1/2=f_2$ [/mm] und weiter [mm] $g\ge 1/3=f_3$ [/mm] bzw. allgemein [mm] $g\ge 1/n=f_n$. [/mm] Das [mm] \sup [/mm] wird ja immer im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] angenommen.
Dann ist aber
[mm] $$\int_0^\infty g(t)\;dt=\sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n g(t)\;dt \ge \sum_{n=1}^\infty (n-(n-1))*\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\,.$$ [/mm]
Ist das so korrekt?
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]f_k:=\IR\to\IR[/mm] sei definiert durch
> [mm]f_k(x):=\frac{k}{x^2+k^2}.[/mm] Dann gilt:
> -[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x) = 0 \; \forall x\in\IR[/mm]
>
> -[mm]\int_{\IR} f_k(x) dx = \pi \; \forall k\in\mathbb{N}[/mm]
>
> Das habe ich bereits gezeigt. Nun zur eigentlichen Frage,
> wieso man den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz
> nicht anwenden kann.
Nun, weil offensichtlich der Satz von Lebesgue nicht gilt 
> Angenommen, es gäbe eine Majorante [mm]g\,[/mm] für alle [mm]f_n\,.[/mm] O.E.
> betrachte die [mm]f_n[/mm] nur auf [mm][0,\infty)\,.[/mm] Dann muss für alle
> x gelten [mm]g\ge 1/1 =f_1[/mm] und [mm]g\ge 1/2=f_2[/mm] und weiter [mm]g\ge 1/3=f_3[/mm]
> bzw. allgemein [mm]g\ge 1/n=f_n[/mm].
Nee, eine Funktion die größergleich [mm] f_1 [/mm] ist, muss halt nicht überall größergleich 1 sein, sondern für jedes x muss g(x) größergleich [mm] \frac{1}{x^2+1} [/mm] sein. Das ist ein erheblicher Unterschied.
Tipp: [mm] g\ge f_k [/mm] für alle [mm] k\in\IN [/mm] ist äquivalent zu [mm] g(x)\ge \sup_{k\in\IN} f_k(x) [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Gruß, Robert
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> > Angenommen, es gäbe eine Majorante [mm]g\,[/mm] für alle [mm]f_n\,.[/mm] O.E.
> > betrachte die [mm]f_n[/mm] nur auf [mm][0,\infty)\,.[/mm] Dann muss für alle
> > x gelten [mm]g\ge 1/1 =f_1[/mm] und [mm]g\ge 1/2=f_2[/mm] und weiter [mm]g\ge 1/3=f_3[/mm]
> > bzw. allgemein [mm]g\ge 1/n=f_n[/mm].
> Nee, eine Funktion die
> größergleich [mm]f_1[/mm] ist, muss halt nicht überall größergleich
> 1 sein, sondern für jedes x muss g(x) größergleich
> [mm]\frac{1}{x^2+1}[/mm] sein. Das ist ein erheblicher Unterschied.
Hmm, ok!
>
> Tipp: [mm]g\ge f_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] ist äquivalent zu [mm]g(x)\ge \sup_{k\in\IN} f_k(x)[/mm]
> für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
Du "größte" Funktion der Folge ist doch bei k=1 würde ich sagen. Also muss [mm] g(x)\ge \frac{1}{x^2+1} [/mm] sein. Aber [mm] \frac{1}{x^2+1} [/mm] ist doch auf ganz [mm] \IR [/mm] Lebesgue-integrierbar...!?
>
> Gruß, Robert
Danke,
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 26.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Du "größte" Funktion der Folge ist doch bei k=1 würde ich
> sagen. Also muss [mm]g(x)\ge \frac{1}{x^2+1}[/mm] sein.
Eben nicht.
Es ist z.B. [mm]f_2(2) = \frac{2}{2^2+2^2} = \frac{1}{4}> \frac{1}{5} = \frac{1}{2^2+1^2}= f_1(2)[/mm].
Lasse dir die Funktionenschar doch einfach mal zeichnen.
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Hey,
stimmt, je höher mein $k$ wird, desto langsamer geht die Funktion gegen 0. Also muss ich für $x>>1$ auch ein demensprechend großes $k$ betrachten.
Leider weiß ich nun immer noch nicht, wie ich das dann genau beweisen soll, dass es so eine Funktion $g$ nicht geben kann.
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Do 26.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Leider weiß ich nun immer noch nicht, wie ich das dann
> genau beweisen soll, dass es so eine Funktion [mm]g[/mm] nicht geben
> kann.
Diese Frage hast du doch in deinem ersten Post schon beantwortet.
Wenn es eine solche Funktion gäbe, dann könnte man den Satz von Lebesgue anwenden.
Dieser würde dir ja sagen, dass der Grenzwert der Integrale gleich dem Integral der Grenzfunktion ist.
Du hast aber schon ausgerechnet, dass die Integrale der Funktionen immer [mm] \pi [/mm] sind und dass das Integral der Grenzfunktion Null ist.
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Ja, klar das stimmt zwar alles. Aber die Originalaufgabe lautet so:
c.) Was sagt der Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz aus und wieso widersprechen die Ergebnisse aus a) und b) nicht diesem Satz?
Also muss ich ja noch expliziet eine Begründung angeben, warum ich den Satz nicht verwenden kann. Und ich dachte, es läuft so ähnlich wie hier.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, klar das stimmt zwar alles. Aber die Originalaufgabe
> lautet so:
>
> c.) Was sagt der Satz von Lebesgue über dominierte
> Konvergenz aus und wieso widersprechen die Ergebnisse aus
> a) und b) nicht diesem Satz?
>
> Also muss ich ja noch expliziet eine Begründung angeben,
> warum ich den Satz nicht verwenden kann. Und ich dachte, es
> läuft so ähnlich wie
> hier.
wie gesagt, lasse Dir am besten mal den (edit: selbstverständlich sollte es die oder noch besser heißen:) einige Funktionsgraphen der [mm] $f_k$ [/mm] plotten. Auch hier ist das Argument wieder: Wenn $g$ eine Majorante für alle [mm] $f_k$ [/mm] ist, dann ist aber schon [mm] $\int_{[0,\infty)}g=\infty.$ [/mm] Es gilt nämlich, dass alle [mm] $f_k$ [/mm] monoton fallend sind (Beweis?), und somit ergibt sich, weil für [mm] $g\,$ [/mm] als Majorante gelten muss:
[mm] $\bullet$ [/mm] $g(x) [mm] \ge f_1(x)\;\;\;\;\forall [/mm] x [mm] \in (0,1]\,,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $g(x) [mm] \ge f_2(x)\;\;\;\;\forall [/mm] x [mm] \in (1,2]\,,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $g(x) [mm] \ge f_3(x)\;\;\;\;\forall [/mm] x [mm] \in (2,3]\,,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $g(x) [mm] \ge f_4(x)\;\;\;\;\forall [/mm] x [mm] \in (3,4]\,,$
[/mm]
$.$
$.$
$.$
somit:
[mm] $$\int_{[0,\infty)}g=\sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n [/mm] g [mm] \ge \sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n f_n\;\;\; \underset{\substack{\text{weil }f_n\text{ monoton fallend ist}\\\text{gilt }f_n(n) \le f_n(x) \text{ für alle } x \in (n-1,n]}}{\ge}\;\;\;\sum_{n=1}^\infty \underbrace{(n-(n-1))}_{=1}*f_n(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\,.$$
[/mm]
(Insbesondere ist [mm] $\int_{\IR} [/mm] g [mm] \ge \int_{[0,\infty)} [/mm] g$ wegen $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] also auch [mm] $\int_{\IR}g=\infty\,.$)
[/mm]
P.S.:
[mm] $\int_{M} [/mm] f$ für eine Menge $M [mm] \subset \IR$ [/mm] ist nur eine Kurzschreibweise für [mm] $\int_M [/mm] f(x) [mm] d\mu(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\int_M f(x)dx\,,$ [/mm] wobei das letzte Integral einfach bzgl. des Lebesguemaßes (hier: [mm] $\mu$) [/mm] gemeint ist.
Ebenso ist oben [mm] $\int_{n-1}^n=\int_{(n-1,n]}\;\;\;\;\;\;\;\;\Big(=\int_{(n-1,n)}=\int_{[n-1,n)}=\int_{[n-1,n]}\Big)$ [/mm] (die in den Klammern erwähnte Gleichheit gilt, weil abzählbare Mengen Lebesguesche Nullmengen sind, insbesondere sind somit ein- und zweipunktige Mengen Lebesguesche Nullmengen).
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
Hallo, erstmal Danke und sorry für die späte Rückmeldung, aber ich hatte die letzten Tage zu wenig Zeit, um mich intensiver mit der Aufgabe zu beschäftigen.
>
> > Ja, klar das stimmt zwar alles. Aber die Originalaufgabe
> > lautet so:
> >
> > c.) Was sagt der Satz von Lebesgue über dominierte
> > Konvergenz aus und wieso widersprechen die Ergebnisse
> aus
> > a) und b) nicht diesem Satz?
> >
> > Also muss ich ja noch expliziet eine Begründung angeben,
> > warum ich den Satz nicht verwenden kann. Und ich dachte, es
> > läuft so ähnlich wie
> > hier.
>
> wie gesagt, lasse Dir am besten mal den (edit:
> selbstverständlich sollte es die oder noch besser heißen:)
> einige Funktionsgraphen der [mm]f_k[/mm] plotten. Auch hier ist das
> Argument wieder: Wenn [mm]g[/mm] eine Majorante für alle [mm]f_k[/mm] ist,
> dann ist aber schon [mm]\int_{[0,\infty)}g=\infty.[/mm] Es gilt
> nämlich, dass alle [mm]f_k[/mm] monoton fallend sind (Beweis?), und
> somit ergibt sich, weil für [mm]g\,[/mm] als Majorante gelten muss:
> [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_1(x)\;\;\;\;\forall x \in (0,1]\,,[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_2(x)\;\;\;\;\forall x \in (1,2]\,,[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_3(x)\;\;\;\;\forall x \in (2,3]\,,[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_4(x)\;\;\;\;\forall x \in (3,4]\,,[/mm]
> [mm].[/mm]
> [mm].[/mm]
> [mm].[/mm]
Ich verstehe nicht, wie du auf die Intervalle kommst. Warum genau die ganzen Zahlen? Zwei Funktionsgraphen der Schar schneiden sich doch nicht genau in den ganzen Zahlen. So liefert [mm] f_2=f_3 [/mm] --> [mm] x=\wurzel{6}, [/mm] das bedeutet doch für mich, dass [mm] f_3>f_2 [/mm] wenn [mm] x>\wurzel{6}.
[/mm]
>
> somit:
> [mm]\int_{[0,\infty)}g=\sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n g \ge \sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n f_n\;\;\; \underset{\substack{\text{weil }f_n\text{ monoton fallend ist}\\\text{gilt }f_n(n) \le f_n(x) \text{ für alle } x \in (n-1,n]}}{\ge}\;\;\;\sum_{n=1}^\infty \underbrace{(n-(n-1))}_{=1}*f_n(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\,.[/mm]
>
> (Insbesondere ist [mm]\int_{\IR} g \ge \int_{[0,\infty)} g[/mm]
> wegen [mm]g(x) \ge 0[/mm] für alle [mm]x \in \IR\,,[/mm] also auch
> [mm]\int_{\IR}g=\infty\,.[/mm])
Übrigens, das ist eine Klausuraufgabe und keine Übungsaufgabe. Für eine Klausur finde ich sie ziemlich kompliziert....
Liebe Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Di 31.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> > somit ergibt sich, weil für [mm]g\,[/mm] als Majorante gelten muss:
> > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_1(x)\;\;\;\;\forall x \in (0,1]\,,[/mm]
> > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_2(x)\;\;\;\;\forall x \in (1,2]\,,[/mm]
> > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_3(x)\;\;\;\;\forall x \in (2,3]\,,[/mm]
> > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_4(x)\;\;\;\;\forall x \in (3,4]\,,[/mm]
> > [...]
> Ich verstehe nicht, wie du auf die Intervalle kommst. Warum
> genau die ganzen Zahlen? Zwei Funktionsgraphen der Schar
> schneiden sich doch nicht genau in den ganzen Zahlen. So
> liefert [mm]f_2=f_3[/mm] --> [mm]x=\wurzel{6},[/mm] das bedeutet doch für
> mich, dass [mm]f_3>f_2[/mm] wenn [mm]x>\wurzel{6}.[/mm]
Wenn ich eine Majorante g habe, so muss [mm] g(x)\ge f_k(x) [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] sein. Also muss doch erst recht [mm] g(x)\ge f_1(x) [/mm] für alle [mm] x\in\IR, [/mm] also insbesondere [mm] g(x)\ge f_1(x) [/mm] für alle [mm] $x\in(0,1]$ [/mm] sein. Marcel konstruiert keine Majorante für die Funktionenfolge, sondern eine Funktion h, die auf jeden Fall kleinergleich einer Majoranten ist, aber deren Integral trozdem schon [mm] $\infty$ [/mm] ist. Dass er bei dieer Abschätzung nicht zuviel verschenkt, ist halt die "hohe Kunst".
> Übrigens, das ist eine Klausuraufgabe und keine
> Übungsaufgabe. Für eine Klausur finde ich sie ziemlich
> kompliziert....
Also als trivial würd ich das auch nicht bezeichen. Aber: die "schweren" Klausuraufgaben besitzen meist kurze und elegante Lösungen, d.h. es gibt dann eigentlich immer einen "Trick". Je mehr man weiß, desto mehr werden die "Tricks" zu Trivialitäten.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Di 31.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
> > > somit ergibt sich, weil für [mm]g\,[/mm] als Majorante gelten muss:
> > > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_1(x)\;\;\;\;\forall x \in (0,1]\,,[/mm]
>
> > > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_2(x)\;\;\;\;\forall x \in (1,2]\,,[/mm]
>
> > > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_3(x)\;\;\;\;\forall x \in (2,3]\,,[/mm]
>
> > > [mm]\bullet[/mm] [mm]g(x) \ge f_4(x)\;\;\;\;\forall x \in (3,4]\,,[/mm]
>
> > > [...]
> > Ich verstehe nicht, wie du auf die Intervalle kommst.
> Warum
> > genau die ganzen Zahlen? Zwei Funktionsgraphen der Schar
> > schneiden sich doch nicht genau in den ganzen Zahlen. So
> > liefert [mm]f_2=f_3[/mm] --> [mm]x=\wurzel{6},[/mm] das bedeutet doch für
> > mich, dass [mm]f_3>f_2[/mm] wenn [mm]x>\wurzel{6}.[/mm]
> Wenn ich eine Majorante g habe, so muss [mm]g(x)\ge f_k(x)[/mm] für
> alle [mm]k\in\IN[/mm] und alle [mm]x\in\IR[/mm] sein. Also muss doch erst
> recht [mm]g(x)\ge f_1(x)[/mm] für alle [mm]x\in\IR,[/mm] also insbesondere
> [mm]g(x)\ge f_1(x)[/mm] für alle [mm]x\in(0,1][/mm] sein. Marcel konstruiert
> keine Majorante für die Funktionenfolge, sondern eine
> Funktion h, die auf jeden Fall kleinergleich einer
> Majoranten ist, aber deren Integral trozdem schon [mm]\infty[/mm]
> ist. Dass er bei dieer Abschätzung nicht zuviel verschenkt,
> ist halt die "hohe Kunst".
Ah ok. Gut, dass habe ich verstanden! Selber drauf zu kommen ist dann immer noch eine andere Sache.....
>
> > Übrigens, das ist eine Klausuraufgabe und keine
> > Übungsaufgabe. Für eine Klausur finde ich sie ziemlich
> > kompliziert....
> Also als trivial würd ich das auch nicht bezeichen. Aber:
> die "schweren" Klausuraufgaben besitzen meist kurze und
> elegante Lösungen, d.h. es gibt dann eigentlich immer einen
> "Trick". Je mehr man weiß, desto mehr werden die "Tricks"
> zu Trivialitäten.
Ja, da kann ich dir nur zustimmen.
>
> Gruß, Robert
Danke euch, lg Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Di 31.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die ersten Fragen wurden ja schon beantwortet und da blieben ja anscheinend keine Fragen offen
> Übrigens, das ist eine Klausuraufgabe und keine
> Übungsaufgabe. Für eine Klausur finde ich sie ziemlich
> kompliziert....
Ich musst da - ehrlich gesagt - nicht lange drüber nachdenken, um eine Idee zu bekommen. Aber das ist, wie es halt oft in der Mathematik ist: Wenn man genug Übung hat und auch einen 'gewissen Blick' entwickelt hat, weiß man schon, wonach man Ausschau halten muss. Z.B. habe ich mir erstmal ein paar der [mm] $f_k$ [/mm] plotten lassen und kam' auf das Monotonieverhalten. Den Beweis meiner Behauptung habe ich mir erspart, aber hier kommt man sicher durchaus einfach mit der Ableitung [mm] $f_k'$ [/mm] zu dem gewünschten Ergebnis über das Monotonieverhalten.
Was dann noch auffällt: Es war
$$ [mm] f_k(x):=\frac{k}{x^2+k^2}\,.$$
[/mm]
Diese blauen Terme [mm] $\frac{\blue{k}}{x^2+\blue{k^2}}$ [/mm] schreien ja fast schon danach, irgendwie die harmonische Reihe [mm] $\sum \frac{k}{k^2}=\sum \frac{1}{k}$ [/mm] ins Spiel zu bringen. Somit könnte man schonmal zur Idee gelangen:
Also für so eine Majorante [mm] $g\,$ [/mm] wird's dann sicher so sein, dass [mm] $\int g=\infty\,.$ [/mm] Und wenn man dann nochmal hinguckt, dass [mm] $f_k(k)=\frac{k^2}{k^2+k^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{k}$ [/mm] ist, könnte man schonmal darauf kommen, [mm] $\IR=\bigcup_{n \in \IZ} [/mm] (n-1,n]$ auszunutzen. Das liegt auch deswegen ein wenig nahe, weil wir die [mm] $f_k$ [/mm] ja als monoton fallend erkannt hatten.
(Die Idee ist es, wenn es eine Majorante [mm] $g\,$ [/mm] für alle [mm] $f_k$ [/mm] gibt, dann eine Funktion 'dazwischenzulegen' (zwischen der Majoranten [mm] $g\,$ [/mm] und allen [mm] $|f_k|=f_k$), [/mm] deren Integral aber schon [mm] $\infty$ [/mm] ist, so dass auch [mm] $\int g=\infty$ [/mm] folgt. Und wegen den obigen Überlegungen liegt es nahe, zu versuchen, solch eine 'Funktion dazwischen zu legen', so dass wir irgendwie mithilfe der harmonischen Reihe schon erkennen, dass die 'Funktion dazwischen' schon den Integralwert [mm] $\infty$ [/mm] hat.)
(Wobei es, wie gesagt, auch nicht so wichtig ist, dass man linksoffene und rechtsabgeschlossene Intervalle $(n-1,n]$ betrachtet. Aber dann wird man nochmal daran erinnert, wie man [mm] $\int_{(n-1,n]} [/mm] g$ mithilfe von [mm] $f_n$ [/mm] abschätzen kann; wobei es natürlich etwas 'sinnlos' wäre, von [mm] $f_n$ [/mm] für $n [mm] \in -\IN_0$ [/mm] zu sprechen: Zum einen wäre das ein Hinweis, sich bzgl. der möglich existierenden Majoranten auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] zu beschränken, oder man macht dies nicht, nutzt dann aber aus, dass die [mm] $f_n$ [/mm] achsensymmetrisch zur [mm] $y\,-$Achse [/mm] sind).
Das waren die Vorüberlegungen, und jetzt muss man sich klarmachen:
Sei [mm] $g\,$ [/mm] eine Majorante für alle [mm] $f_k$. [/mm] Dass $g [mm] \ge f_1$ [/mm] ist, hilft einem nicht weiter, [mm] $f_1$ [/mm] hat einen endlichen Integralwert. Jedes [mm] $f_k$ [/mm] hatte einen endlichen Integralwert.
Aber jetzt schaut man sich z.B. mal die Graphen von [mm] $f_1,\;f_2,\;f_3,\;...$ [/mm] an und erkennt:
Mit wachsendem [mm] $k\,$ [/mm] 'werden die [mm] $f_k$ [/mm] nicht mehr so schnell fallend. Wir hoffen, dass diese Erkenntnis reicht und schätzen daher das Integral über [mm] $f_k$ [/mm] auf dem Intervall $(-k,k]$ nach unten ab. Und naja, dann hoffen wir, dass die Abschätzung dann auch das gewünschte für die 'dazwischengelegte Funktion' liefert...
Das ganze ist ein wenig schwer, in Worte zu fassen, solange man keine Tafel daneben hat, wo man das ganze 'zeigen' kann. Aber ich gebe Dir mal den Tipp:
Mache Dir die ganzen Überlegungen nochmal selber klar. Lasse Dir vielleicht mal die Graphen der [mm] $f_1,\,...,\,f_{10}$, [/mm] mindestens im Bereich $x=0$ bis [mm] $x=10\,,$ [/mm] plotten, und schau' Dir auch mal deren Krümmungsverhalten an.
Nun hatte ich die Überlegung:
Wenn $g [mm] \ge |f_k|=f_k$ [/mm] für alle [mm] $k\,$ [/mm] gilt, dann gilt $g(x) [mm] \ge |f_k(x)|=f_k(x)$ [/mm] für alle [mm] $k\,$ [/mm] und alle [mm] $x\,.$ [/mm] Inbesondere giltt dann, und das kann man sich jetzt schon anhand der ersten Graphen klarmachen:
$$g(x) [mm] \ge f_1(x)\;\;\text{ auf } [/mm] (0,1]$$
$$g(x) [mm] \ge f_2(x)\;\;\text{ auf } [/mm] (1,2]$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$g(x) [mm] \ge f_{10}(x)\;\;\text{ auf } (9,10]\,.$$
[/mm]
Wenn Du das alles mal gemacht hast und verstanden hast, dann wirst Du sicher auch schon die ganze Beweisidee verstanden haben. Der Rest ist nur noch, das ganze allgemein hinzuschreiben und gewisse - zwischendurch einfach reingeworfene - Behauptungen (wie z.B. Behauptungen über das Monotonieverhalten der [mm] $f_k$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$) [/mm] auch wirklich zu beweisen und zu hoffen, dass man nirgendswo 'zu grob abgeschätzt' hat. Du siehst aber, dass das hier alles wunderbar geklappt hat.
P.S.:
Der Satz oben, dass ich die Aufgabe relativ schnell abhandeln konnte, soll übrigens nicht herablassend aufgefasst werden. Ich will damit nur sagen:
Mit der Zeit und der Übung bekommt man ein gewisses 'Händchen' bzw. einen 'Blick' für solche Aufgaben, dass man, selbst, wenn man anfangs keinen sauberen Beweis hinbekommt, aber erahnen kann, worauf das ganze hinausläuft. Zudem muss ich dazu sagen, dass es durchaus auch sein kann, dass ich diese oder eine ähnliche Aufgabe mal in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Übungsaufgabe gestellt bekommen hatte, oder, dass ich das mal in einem anderen Beweis schonmal ähnlich gesehen hatte. Also mit der Zeit und Erfahrung sieht man 'kompliziertes' auch irgendwann gar nicht mehr wirklich als so kompliziert an. Vll. guckst Du in zwei Jahren nochmal auf die gleiche oder eine ähnliche Aufgabe und erkennst auch sofort, worauf es hinausläuft und Dir kommt das alles gar nicht mehr so kompliziert vor. Aber es ist natürlich auch so: Manches muss man einfach mal öfters 'selbst praktiziert' haben (indem Du anderen Handwerkern nur zuguckst, lernst Du ja auch nicht unbedingt die ganzen 'Knowhows' bzw. vll. bekommst Du dann auch keinen 'Blick, wann Du am besten wie arbeitest'), und manches muss man halt auch einfach ein oder mehrere Male gesehen und (so nach und nach) verstanden haben (es ist keine einfache Kunst, sich ohne einen Lehrmeister selbst in einem Handwerk zum Profi auszubilden; vor allen Dingen hängt man sich da vll. an vielen Sachen auf, die mit einfachen Tricks überschaubarer oder leicht behebbar wären, die man aber nie gelernt hat, und, und wenn sie auch noch so einfach sind, an die man nicht unbedingt sofort denkt).
Ich bin ja immer noch der Meinung, dass die Mathematik in einem gewissen Sinne auch ein Handwerk (natürlich ein geistiges Handwerk!) ist, und die Kunst dieses Handwerks liegt darin, in der jeweiligen Situation das richtige Werkzeug zu benutzen 
(Insofern, als, dass man sich nicht das Leben unnötig schwer macht, und zum anderen, als dass man ein angemesses Werkzeug heraussucht und anwendet. Man soll ja auch nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mi 01.04.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo Marcel, danke nochmal für die gute und sehr ausführliche Mitteilung.
>
> P.S.:
> Der Satz oben, dass ich die Aufgabe relativ schnell
> abhandeln konnte, soll übrigens nicht herablassend
> aufgefasst werden. Ich will damit nur sagen:
> Mit der Zeit und der Übung bekommt man ein gewisses
> 'Händchen' bzw. einen 'Blick' für solche Aufgaben, dass
> man, selbst, wenn man anfangs keinen sauberen Beweis
> hinbekommt, aber erahnen kann, worauf das ganze
> hinausläuft. Zudem muss ich dazu sagen, dass es durchaus
> auch sein kann, dass ich diese oder eine ähnliche Aufgabe
> mal in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Übungsaufgabe
> gestellt bekommen hatte, oder, dass ich das mal in einem
> anderen Beweis schonmal ähnlich gesehen hatte. Also mit der
> Zeit und Erfahrung sieht man 'kompliziertes' auch
> irgendwann gar nicht mehr wirklich als so kompliziert an.
> Vll. guckst Du in zwei Jahren nochmal auf die gleiche oder
> eine ähnliche Aufgabe und erkennst auch sofort, worauf es
> hinausläuft und Dir kommt das alles gar nicht mehr so
> kompliziert vor. Aber es ist natürlich auch so: Manches
> muss man einfach mal öfters 'selbst praktiziert' haben
> (indem Du anderen Handwerkern nur zuguckst, lernst Du ja
> auch nicht unbedingt die ganzen 'Knowhows' bzw. vll.
> bekommst Du dann auch keinen 'Blick, wann Du am besten wie
> arbeitest'), und manches muss man halt auch einfach ein
> oder mehrere Male gesehen und (so nach und nach)
> verstanden haben (es ist keine einfache Kunst, sich ohne
> einen Lehrmeister selbst in einem Handwerk zum Profi
> auszubilden; vor allen Dingen hängt man sich da vll. an
> vielen Sachen auf, die mit einfachen Tricks überschaubarer
> oder leicht behebbar wären, die man aber nie gelernt hat,
> und, und wenn sie auch noch so einfach sind, an die man
> nicht unbedingt sofort denkt).
Das stimmt natürlich, kann ich aus eigener Erfahrung ja auch bestätigen. Dass ich viele Aufgaben von einem Typ gesehen habe und daher auch direkt eine Lösungsidee habe, kann ich leider von mir erst für AnaI+II sowie lin. Algebra behaupten. Leider habe ich aber jetzt eben die AnaIII Prüfung vor mir. Auch hier wird es wie so oft sein: ein richtiges Verständnis erlangt man wohl erst viel später, z.B. wenn ähnliche Themen nochmal in anderen Vorlesungen aufgegriffen werden.
Naja tortzdem sehe ich der Prüfung eigentlich recht positiv entgegen, allerdings kann es gut sein, dass ihr in den nächsten Tagen noch ein paar Themen über Lebesgue von mir finden werdet
Viele Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mi 01.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Das stimmt natürlich, kann ich aus eigener Erfahrung ja
> auch bestätigen. Dass ich viele Aufgaben von einem Typ
> gesehen habe und daher auch direkt eine Lösungsidee habe,
> kann ich leider von mir erst für AnaI+II sowie lin. Algebra
> behaupten. Leider habe ich aber jetzt eben die AnaIII
> Prüfung vor mir. Auch hier wird es wie so oft sein: ein
> richtiges Verständnis erlangt man wohl erst viel später,
> z.B. wenn ähnliche Themen nochmal in anderen Vorlesungen
> aufgegriffen werden.
Ja, oder man muss sich andauernd hinsetzen und noch neben den Aufgaben der Vorlesung versuchen, andere Aufgaben zu finden und zu bearbeiten. Aber neben einer Motivations- ist das auch eine Zeitfrage ^^
> Naja tortzdem sehe ich der Prüfung eigentlich recht positiv
> entgegen, allerdings kann es gut sein, dass ihr in den
> nächsten Tagen noch ein paar Themen über Lebesgue von mir
> finden werdet
Das Forum lebt ja von den Fragenden und Antwortgebern/Antworgeberinnen, von daher: Nur zu
Aber schonmal viel Erfolg für die Prüfung!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo,
>
>
> es geht um ein Thema, welches
> hier schon
> angesprochen wurde. Ich habe nun eine ähnliche Frage:
>
> [mm]f_k:=\IR\to\IR[/mm] sei definiert durch
> [mm]f_k(x):=\frac{k}{x^2+k^2}.[/mm] Dann gilt:
> -[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x) = 0 \; \forall x\in\IR[/mm]
>
> -[mm]\int_{\IR} f_k(x) dx = \pi \; \forall k\in\mathbb{N}[/mm]
>
> Das habe ich bereits gezeigt. Nun zur eigentlichen Frage,
> wieso man den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz
> nicht anwenden kann. Ich habe mir folgendes gedacht:
> Angenommen, es gäbe eine Majorante [mm]g\,[/mm] für alle [mm]f_n\,.[/mm] O.E. betrachte die [mm]f_n[/mm] nur auf [mm][0,\infty)\,.[/mm] Dann muss für alle x gelten [mm]g\ge 1/1 =f_1[/mm] und [mm]g\ge 1/2=f_2[/mm] und weiter [mm]g\ge 1/3=f_3[/mm] bzw. allgemein [mm]g\ge 1/n=f_n[/mm].
Naja, da hast Du im Prinzip nur etwas von hier abgeschrieben bzw. teilweise kopiert. Wenn man etwas 'überträgt', sollte man sich vergewissern, dass es auch übertragbar ist.
> Das [mm]\sup[/mm] wird ja immer im
> Punkt [mm]x_0=0[/mm] angenommen.
?? Zusammenhang zu oben? (In dem Link ging es übrigens um eine andere Funktionenfolge.)
> Dann ist aber[mm]\int_0^\infty g(t)\;dt=\sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n g(t)\;dt \ge \sum_{n=1}^\infty (n-(n-1))*\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\,.[/mm]
Auch das ist im Prinzip nur aus der anderen Diskussion abgeschrieben bzw. kopiert. Das Argument hier läuft zwar ähnlich, aber es geht doch ein klein wenig anders vonstatten (anstatt [mm] $\ge \sum \frac{1}{n}$ [/mm] gehört in obigem Falle [mm] $\ge \sum \underbrace{\frac{n}{n^2+n^2}}_{=\frac{1}{2n}}$ [/mm] hin), genauere Details findest Du nun hier.
P.S.:
Der jeweils angewandte 'Trick' bei beiden Funktionenfolgen besteht darin, zunächst [mm] $\int_{[0,\infty)}=\sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n$ [/mm] zu schreiben. Aber die weiteren Abschätzungen sind dann wieder etwas 'spezifischer' und von den betrachteten Funktionenfolgen abhängig. Das muss auch nicht immer so klappen, aber bzgl. solcher Aufgaben kann es durchaus hilfreich sein, ein Integral in Summen von Integralstücken zu zerlegen... (Und wenn man ein wenig genauer hinguckt, erkennt man, dass es bzgl. solcher Aufgaben oft auch hilfreich sein kann, so zu versuchen, mithilfe der Funktionenfolge Reihen zu 'sehen', die bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergieren; wie z.B. die harmonische Reihe...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Man muss aber auch mal dazu sagen, dass solche Aufgaben schon recht speziell sind. In welcher Situation sollte man zeigen wollen, dass keine integrierbare Majorante existiiert? Diese Erkenntnis sagt ja nur, dass man den Satz von Lebesgue nicht anwenden kann. Die Grenzfunktion kann integrierbar sein oder nicht.
Nur so nebenbei: Kennt jemand ein Beispiel für eine Lebesgue-integrierbare Funktionenfolge [mm] (f_n), [/mm] die sich nicht majorisieren lässt aber trotzdem [mm] $\lim \int f_n=\int\lim f_n$ [/mm] erfüllt?
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man muss aber auch mal dazu sagen, dass solche Aufgaben
> schon recht speziell sind.
selbstverständlich. Es geht hier auch eher darum, dass man den Satz von Lebesgue verinnerlicht bzw. lernen soll, immer zu prüfen, dass die Voraussetzungen zur Anwendung dieses Satzes auch gegeben sind, bevor man ihn auf 'etwas losläßt'.
> In welcher Situation sollte man
> zeigen wollen, dass keine integrierbare Majorante
> existiiert?
Z.B. in Situationen wie oben: Wenn man ihn einfach mal auf eine Funktionenfolge anwendet, vorher aber vergisst, überhaupt zu prüfen, ob die Voraussetzungen des Satzes gegeben sind und sich dann über das Ergebnis wundert
(Was ja jetzt nicht gerade selten vorkommt; ich habe ähnliches schon oft in bearbeiteten Übungsaufgaben gelesen und mir ist es sicher auch schon das ein oder andere mal passiert, wenn ich eine Aufgabe 'zu schnell' bearbeitet habe, und danach bin ich dann auf 'Fehlersuche gegangen'.)
> Diese Erkenntnis sagt ja nur, dass man den Satz
> von Lebesgue nicht anwenden kann. Die Grenzfunktion kann
> integrierbar sein oder nicht.
Naja, man fragt sich ja auch manchmal, ob man einen Satz in einer schwächeren Form formulieren kann. Z.B. könnte man sich fragen, ob man bei der Formulierung des Satzes von Lebesgue auf die Voraussetzung einer integrierbaren Majorante verzichten kann. Die Beispiele zeigen, dass das nicht geht.
> Nur so nebenbei: Kennt jemand ein Beispiel für eine
> Lebesgue-integrierbare Funktionenfolge [mm](f_n),[/mm] die sich
> nicht majorisieren lässt aber trotzdem [mm]\lim \int f_n=\int\lim f_n[/mm]
> erfüllt?
Ich im Moment gerade nicht, aber ich bin auch noch nicht 'munter genug'. Aber lassen wir die Frage mal weiterhin offen, vll. fällt jmd. anderem dazu 'schon' etwas ein (Oder vll. fällt mir später auch nochmal was dazu ein...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Nur so nebenbei: Kennt jemand ein Beispiel für eine
> Lebesgue-integrierbare Funktionenfolge [mm](f_n),[/mm] die sich
> nicht majorisieren lässt aber trotzdem [mm]\lim \int f_n=\int\lim f_n[/mm]
> erfüllt?
Man nehme eine Folge [mm] a_k, [/mm] welche folgende Bedingungen erfüllt: [mm] $$a_k [/mm] > 0 \ [mm] \forall [/mm] k,$$ [mm] $$k*a_k [/mm] \ ist \ eine \ Nullfolge \ und$$ [mm] $$\sum{a_k} [/mm] \ ist \ divergent.$$
Dann erfüllt die Funktionenfolge [mm]f(k)=\begin{cases} a_k, & \mbox{für } x \in [0,k] \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm] die gestellte Bedingung.
Ein Beispiel für so eine Folge wäre [mm]a_k = \frac{1}{k*Log(k)}[/mm].
Die Divergenz der entsprechenden Reihe zeigt man mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchyschen Verdichtungskriterium.
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