Leere Menge offen? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Di 27.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] O\subseteq \IZ [/mm] offen, falls für alle [mm] a\in [/mm] O ein b>0 existiert, sodass [mm] N_{a,b}\subseteq [/mm] O, wobei [mm] N_{a,b}=\{a+n*b:n\in \IZ\}.
[/mm]
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Nabend Leute,
ich würd im Prinzip nur gern wissen warum bei obiger Definition die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] offen ist. Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Di 27.10.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Ich würde das mal so beschreiben:
wenn die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] nicht offen wäre, dann gäbe es ja ein $a [mm] \in \emptyset$, [/mm] für welches die Bedingung [mm] $N_{a,b}\subseteq \emptyset$ [/mm] nicht erfüllt werden kann. Es gibt aber überhaupt kein $a [mm] \in \emptyset$, [/mm] also ist auch nichts zu überprüfen....
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 27.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Man könnte doch auch sagen, dass [mm] N_{a,b}=\emptyset [/mm] sein muss, da die leere Menge keine Elemente enthält und da [mm] \emptyset \subseteq \emptyset [/mm] ist die leere Menge offen oder nich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 27.10.2009 | | Autor: | piet.t |
> Man könnte doch auch sagen, dass [mm]N_{a,b}=\emptyset[/mm] sein
> muss, da die leere Menge keine Elemente enthält und da
> [mm]\emptyset \subseteq \emptyset[/mm] ist die leere Menge offen
> oder nich?
Nein, denn es gibt gar kein [mm] $N_{a,b}$, [/mm] welches man untersuchen kann -also ist insbesondere nicht [mm] $N_{a,b} [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Mal ganz pauschal gesprochen: eine Forderung "für alle Elemente der Menge" ist bei der leeren Menge immer erfüllt, egal wie sie aussehen mag; eine Forderung "es gibt ein Element der Menge, für das ... gilt" ist bei der leeren Menge nie erfüllt.
Ich versuche mich mal aus der hohlen Hand an einem Beispiel: Eine Menge M heißt "seltsam", wenn für alle $x [mm] \in [/mm] M$ gilt, dass $0=1$. Dann ist die leere Menge seltsam, aber es wird auch die einzige seltsame Menge bleiben, da $0=1$ immer falsch ist.
Etwas klarer?
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja, ich denk ich habs kapiert. Vielen Dank. Vor allem die seltsame Menge fand ich klasse :).
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