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Forum "Funktionalanalysis" - Legende Polynom
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Legende Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Do 01.11.2007
Autor: Phecda

Hi ich muss die basis
[mm] p_{0}=1 [/mm]
[mm] p_{1}=x [/mm]
[mm] p_{2}=x^2 [/mm]
[mm] p_{3}=x^3 [/mm]
[mm] p_{4}=x^4 [/mm]
orthonormieren.
In einem buch wurde das gemacht und es kam raus
[mm] b_{0}=sqrt(1/2) [/mm]
[mm] b_{1}=sqrt(3/2)x [/mm]
[mm] b_{2}=sqrt(5)/(sqrt(2)*2)*(3x^2-1)... [/mm]

ich hätte hab gedacht, dass die orthonormierte Basis die Legendre Polynome sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom
wie in wikipedia unten schon aufgelistet!

Kann mir jmd der unterschied erklären bzw. was sind LegendrePolynome? gibt es ein zusammenhang zur schmidt'schen OrthoNormierung

vieln dank :)
mfg
        
Bezug
Legende Polynom: Welches Skalarprodukt?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Do 01.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Phecda,

> Hi ich muss die basis
>  [mm]p_{0}=1[/mm]
>  [mm]p_{1}=x[/mm]
>  [mm]p_{2}=x^2[/mm]
>  [mm]p_{3}=x^3[/mm]
>  [mm]p_{4}=x^4[/mm]
>  orthonormieren.
>  In einem buch wurde das gemacht und es kam raus
>  [mm]b_{0}=sqrt(1/2)[/mm]
>  [mm]b_{1}=sqrt(3/2)x[/mm]
>  [mm]b_{2}=sqrt(5)/(sqrt(2)*2)*(3x^2-1)...[/mm]

Wie ist in dem Buch das Skalarprodukt definiert? Vermutlich

[mm] = \integral_{-1}^{+1} p(x)*q(x) dx [/mm].


> ich hätte hab gedacht, dass die orthonormierte Basis die
> Legendre Polynome sind:
>  http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom

Die Polynome stimmen bis auf einen Vorfaktor mit den Legendre-Polynomen überein.
  
> Kann mir jmd der unterschied erklären bzw. was sind
> LegendrePolynome? gibt es ein zusammenhang zur
> schmidt'schen OrthoNormierung

Ja.

Der Begriff orthonormal bezieht sich immer auf die Definition des Skalarprodukts. Du wendest das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren auf deine Basispolynome, nimmst dabei das obige Skalarprodukt.

Erster Schritt: [mm]b_0 = \bruch{1}{\sqrt{}} p_0 [/mm].

Zweiter Schritt: [mm]b_1 = \bruch{1}{\sqrt{\dots}} (p_1 - b_0)[/mm].

Der Bruch entsteht jedesmal durch die Normierungsbedingung [mm] = 1[/mm].
Usw.

Die Legendrepolynome [mm]L_n[/mm] entstehen aus deiner Basis genauso, aber mit einer anderen Normierungsvorschrift: sie sind orthogonal, aber nicht orthonormal, sieh []hier:
[mm] = \bruch{2}{2n+1}[/mm].

Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass deine Polynome gerade [mm]b_n = \sqrt{\bruch{2n+1}{2}} L_n[/mm] sind, also durch Noermierung auf Länge 1 entstehen.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
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