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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Legendres-Symbol von:
[mm] (\bruch{313}{367}) [/mm] |
Hallo,
ich habe nur eine kleine Frage bzgl. des Legendre- bzw. Jacobi-Symbols. Wenn ich es richtig verstanden habe, so gibt das Legendre-Symbol an, ob a ein quadratsicher Rest mod n ist oder nicht. Das Jacobi-Symbol hingegeben kann diesbezüglich keine genaue Aussage machen, wenn n nicht Primzahl ist.
Möchte man nun aber das Legendre-Symbol berechnen, so kann es doch im Verlauf der Rechnung dazu kommen, dass im "Nenner" erscheint, die keine Primzahl ist. Kann man dann letztendlich eine Aussage über das eigentliche Legendre-Symbol machen oder nicht?
Bsp:
[mm] (\bruch{313}{367}) [/mm] = [mm] (\bruch{367}{313}) [/mm] * 1 = [mm] (\bruch{54}{313}) [/mm] = [mm] (\bruch{2}{313})*(\bruch{27}{313}) [/mm] = [mm] (\bruch{313}{27}) [/mm] * 1 = [mm] (\bruch{16}{27}) [/mm] so, bis hierhin macht das Legendre-Symbol für mich auch noch Sinn, aber jetzt steht im "Nenner" keine Primzahl mehr - darf ich dennoch weiterrechnen und eine konkrete Aussage über den quadratischen Rest machen? (na gut, hier ist jetzt 16 bereits ein Quadrat, so dass das hier wahrscheinlich keinen Unterschied macht, aber was wäre, wenn hier jetzt kein Quadrat im "Zähler" stünde?...)
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Fr 28.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Sabine!
> Bestimmen Sie das Legendres-Symbol von:
> [mm](\bruch{313}{367})[/mm]
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> Hallo,
> ich habe nur eine kleine Frage bzgl. des Legendre- bzw.
> Jacobi-Symbols. Wenn ich es richtig verstanden habe, so
> gibt das Legendre-Symbol an, ob a ein quadratsicher Rest
> mod n ist oder nicht. Das Jacobi-Symbol hingegeben kann
> diesbezüglich keine genaue Aussage machen, wenn n nicht
> Primzahl ist.
Umgekehrt: das Legendresymbol will eine Primzahl, das Jacobisymbol nicht umbedingt.
> Möchte man nun aber das Legendre-Symbol berechnen, so kann
> es doch im Verlauf der Rechnung dazu kommen, dass im
> "Nenner" erscheint, die keine Primzahl ist. Kann man dann
> letztendlich eine Aussage über das eigentliche
> Legendre-Symbol machen oder nicht?
Naja, wenn eine Nicht-Primzahl im Nenner auftaucht, hast du etwas falsch gemacht.
> Bsp:
> [mm](\bruch{313}{367})[/mm] = [mm](\bruch{367}{313})[/mm] * 1 =
> [mm](\bruch{54}{313})[/mm] = [mm](\bruch{2}{313})*(\bruch{27}{313})[/mm] =
> [mm](\bruch{313}{27})[/mm] * 1[/mm]
Und hier ist der Fehler: das quadratische Reziprokitaetsgesetz beim Legendre-Symbol darfst du nur anwenden, wenn sowohl im Zaehler wie auch im Nenner eine Primzahl steht. Du kannst also nicht direkt mit [mm] $(\frac{27}{313})$ [/mm] arbeiten, sonden musst erst [mm] $(\frac{27}{313}) [/mm] = [mm] (\frac{3}{313})^3$ [/mm] schreiben und das Reziprokitaetsgesetz auf [mm] $(\frac{3}{313})$ [/mm] anwenden.
LG Felix
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Hmm, aber bei unserem Prof war es nur erlaubt, Potenzen von 2 herauszuziehen; alle anderen Faktorisierungen waren untersagt...komisch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 28.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hmm, aber bei unserem Prof war es nur erlaubt, Potenzen von
> 2 herauszuziehen; alle anderen Faktorisierungen waren
> untersagt...komisch...
Das quadratische Reziprokitaetsgesetz kam vor, aber sowas vergleichsweise einfaches wie die Multiplizitaet des Legendre-Symbols nicht?! Das ist in der Tat sehr komisch...
In dem Fall laesst sich das Legendre-Symbol wohl nicht mit Mitteln der Vorlesung ausrechnen...
LG Felix
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