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Liebe Community
Es ist mir fast peinlich diese Frage zu stellen, da ich sie damals selbst auf einem Analysis Übungszettel gerechtnet habe, ich aber jetzt beim besten Willen nicht mehr auf die Antwort komme.
Aufgabe:
Sei [mm] f:R^n\rightarrow R^k [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit f(tx)=tf(x) [mm] \forall t\in [/mm] R. Dann ist f linear.
Könnte man mir da mal eine (gern auch grobe) Lösungsskizze liefern?
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Hallo!
Ich benutze im folgenden, dass $f$ stetig differenzierbar ist. Allerdings wüsste ich nicht, wie man darum herum kommen sollte...
Es genügt zu zeigen, dass die erste Ableitung konstant ist. Es gilt:
[mm] $D\big(f(tx)\big)=tDf(tx)$, [/mm] aber auch [mm] $D\big(f(tx)\big)=tDf(x)$, [/mm] und somit $tDf(tx)=tDf(x)$. Für [mm] $t\ne [/mm] 0$ gilt deshalb $Df(tx)=Df(x)$. Wegen der Stetigkeit von [mm] $t\mapsto [/mm] Df(tx)$ gilt das auch im Nullpunkt. Also ist für alle [mm] $x\in \IR^n$ [/mm] $Df(x)=Df(0)$ und somit konstant.
Vielleicht hilft's ja weiter...
Gruß, banachella
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Hallo,
mal schauen: für x=0 isses klar. Sei nun [mm] $x\not=0$ [/mm] und $y [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dann ist
$f(x+y) = [mm] f\left(x*\left(1+\bruch{y}{x}\right)\right)$[blue]=[/blue]$\left(1+\bruch{y}{x}\right)*f(x) [/mm] = [mm] f(x)+\bruch{y}{x}f(x)$[blue]=[/blue]$f(x)+f\left(x \bruch{y}{x}\right) [/mm] = f(x) + f(y)$
Dabei wurde bei den blauen Gleichheitszeichen die Voraussetzung $f(t x) = t f(x)$ verwendet. Aber die Diffbarkeit? Wahrscheinlich habe ich da doch 'nen Fehler - also Vorsicht!
Alles Gute,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:12 Di 03.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Peter!
Es ginge, wenn es sich um eine Abbildung $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] handelte. So, für $n>1$ und $m>1$, müsste man in deinem Beweis durch Objekte von solchen Vektorräumen teilen, die nicht zugleich Körper darstellen (wie es bei [mm] $\IR$ [/mm] der Fall ist).
Daher kommt man ohne die (stetige? <- das weiß ich noch nicht genau) Differenzierbarkeit in der Tat nicht aus.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:49 Di 03.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Möglicherweise wusste ich das schon mal; aber - ach! - das Alter 
Merci bien,
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Di 03.05.2005 | | Autor: | Ancillius |
Erstmal bedanke ich mich herzlich,
die Idee von banachella ist definitiv richtig.
Ich denke auch, dass es ohne Stetigkeit wohl nicht funktioniert, riecht nach einem Fehler in der Aufgabe.
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