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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Geben Sie für zeitlich sinusförmige Strom- und Spannungsverläufe mit einer Phasenverschiebung [mm] \varphi [/mm] an einem Zweipol die Formel für die
a) Wirkleistung P
b) Blindleistung Q
c) Momentanleistung p(t)
d) Scheinleistung S
an! Verwenden Sie in den Formeln die Effektivwerte.
e) Geben Sie für P,Q,S Zahlenwerte an für U=230V, I=2A, f=50Hz, [mm] \varphi=30^{\circ}.
[/mm]
f) Wie groß ist der Maximalwert der Momentanleistung?
g) Wie ändern sich die Zahlenwerte [mm] P,Q,S,p_{max} [/mm] bei Übergang auf die Frequenz 60Hz? |
Hallo E-Techniker,
über eine Korrekturlesung im Hinblick auf die nachfolgenden Lösungsversuche würde ich mich freuen.
a)-d)
Wirkleistung: [mm] P=UI*cos(\varphi)
[/mm]
Blindleistung: [mm] Q=UI*sin(\varphi)
[/mm]
Momentanleistung: [mm] p(t)=UI*cos(\varphi)(1+cos(2\omega{t}))-UI*sin(\varphi)*sin(2\omega{t})
[/mm]
Scheinleistung: S=UI
Nun zum Aufgabenteil e)
[mm] P=UI*cos(\varphi)
[/mm]
[mm] =230V*2A*cos(30^{\circ})
[/mm]
[mm] =230*\wurzel{3}W
[/mm]
[mm] Q=UI*sin(\varphi)
[/mm]
[mm] =230V*2A*sin(30^{\circ})
[/mm]
=230var
S=UI
=230V*2A
460VA
Die Werte müssten eigentlich stimmen, sofern ich nichts wichtiges übersehen habe.
Meine Frage bis hierher:
In der Aufgabenstellung wird die Frequenz f=50Hz angegeben. Warum wird sie angegeben, wenn ich sie für die Rechnung nicht benötige? Oder ist es korrekt, dass die berechneten Größen frequenzunabhängig sind? Frequenzabhängig wäre dann quasi nur die Momentanleistung p(t).Vielen Dank!
Nachfolgend: Lösungsversuche zu den weiteren Aufgabenteilen
zu f)
Aus Aufgabenteil c) weiss man bereits, dass
[mm] p(t)=UI*cos(\varphi)(1+cos(2\omega{t}))-UI*sin(\varphi)*sin(2\omega{t})
[/mm]
gilt. Um nun den Maximalwert der Momentanleistung zu bilden, könnte mal vielleicht eine, in diesem Fall recht aufwendige, Ableitung
[mm] \bruch{dp(t)}{dt} [/mm]
bilden oder man schaut sich mal die Winkeltabelle von sin und cos genauer an. Dann sieht man, dass bei
[mm] \varphi=45^{\circ}=\bruch{\pi}{4} [/mm]
die Funktion ihr Maximum erreicht. Man hat also
[mm] p(t)|_{\varphi=\bruch{\pi}{4}}=\bruch{UI}{\wurzel{2}}(1+cos(2\omega{t})-sin(2\omega{t}))=p_{max}
[/mm]
als Maximalwert der Momentanleistung. Gibt es möglicherweise noch einen speziellen Zeitpunkt, bei welchen p(t) maximal ist?
zu g)
Ich würde sagen, dass sich keiner der Werte verändert. Die ersten drei Werte sind ohnehin unabhängig von der Frequenz. Der Maximalwert der Momentanleistung ändert sich auch nicht durch eine Veränderung der Frequenz. Das kann man durch Einsetzen von den Zahlenwerte leicht nachrechnen.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
das sieht doch gut aus. Zu Deiner Frage mit der Wechselfrequenz kann ich dich nur auf den Effektivwert verweisen. Der ergibt sich ja durch Integration der Leistung über eine Periodendauer, wobei Du als Normierungsfaktor die Periodendauer benutzt. Insofern ist es kein Wunder, dass der Effektivwert nicht von der Periodendauer, sondern nur von der Maximalamplitude abhängt, wie man für einen sinusförmigen Strom leicht nachrechnen kann.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Okay vielen Dank erst einmal.
Der von mir angegebene Maximalwert der Momentanleistung ist also richtig?
Auch meine Behauptung, eine Erhöhung der Frequenz auf 60 Hz würde u.a. den Maximalwert der Momentanleistung nicht verändern, stimmt?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Sa 06.11.2010 | | Autor: | GvC |
> ....
> Auch meine Behauptung, eine Erhöhung der Frequenz auf 60
> Hz würde u.a. den Maximalwert der Momentanleistung nicht
> verändern, stimmt?
>
>
>
> Gruß, Marcel
Das stimmt nun wiederum nicht. Denn die Frequenz ändert natürlich die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom, da sich ja die Beträge der Blindwiderstände verändern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 07.11.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo GvC und Marcel,
die Erkärung von GvC lässt sich zwar nachvollziehen, da die Blindwiderstände sich mit der Frequenz ändern. In der Aufgabe, so wie sie eben dasteht, ist jedoch nur von einer Phasenverschiebung die Rede. Wie diese zustandekommt bzw. ob sie konstant ist oder eine Funktion der Frequenz, das ist nicht bekannt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 So 07.11.2010 | | Autor: | GvC |
> Hallo GvC und Marcel,
> die Erkärung von GvC lässt sich zwar nachvollziehen, da
> die Blindwiderstände sich mit der Frequenz ändern. In der
> Aufgabe, so wie sie eben dasteht, ist jedoch nur von einer
> Phasenverschiebung die Rede. Wie diese zustandekommt bzw.
> ob sie konstant ist oder eine Funktion der Frequenz, das
> ist nicht bekannt.
> Viele Grüße,
> Infinit
>
Das ist nicht ganz richtig. Ab Aufgabenteil e) ist von ganz konkreten Zahlenwerten für Spannung, Strom, Frequenz und Phasenverschiebung die Rede. Da letztere als positiv angegeben ist und [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi_u [/mm] - [mm] \varphi_i, [/mm] ist auch der Charakter des Blindwiderstandes bekannt, nämlich induktiv. Aus den gegebenen Zahlenwerten lassen sich ohmscher und induktiver Widerstand bestimmen zu
R = 99,6 [mm] \Omega
[/mm]
und
[mm] X_L [/mm] = 57,5 [mm] \Omega
[/mm]
Bei einer Erhöhung der Frequenz um 20% vergrößert sich der induktive Widerstand um 20% auf 69 [mm] \Omega, [/mm] der ohmsche Widerstand bleibt unverändert. Damit lässt sich die neue Phasenverschiebung zu [mm] \varphi [/mm] = 34,7° bestimmen und damit auch alle anderen nachgefragten Größen.
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Hallo noch mal!
Ich erhalte nun bei einer Frequenz von 60Hz die folgenden Werte:
[mm] P_{neu}\approx378,118W
[/mm]
[mm] Q_{neu}\approx261,968var
[/mm]
[mm] S_{neu}=S=460VA
[/mm]
Wie steht es nun aber um den Maximalwert der Momentanleistung [mm] p_{max}? [/mm] Der Winkel ist doch für den Maximalwert [mm] \varphi=45^{\circ} [/mm] fix. Da ändert sich doch nichts, oder? Wenn ja, was setze ich für die Zeit t ein?
Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen. Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nochmal!
> Aus Aufgabenteil c) weiss man bereits, dass
>
> [mm]p(t)=UI*cos(\varphi)(1+cos(2\omega{t}))-UI*sin(\varphi)*sin(2\omega{t})[/mm]
>
>
> Um nun den Maximalwert der Momentanleistung zu
> bilden, könnte mal vielleicht eine, in diesem Fall recht
> aufwendige, Ableitung
>
> [mm]\bruch{dp(t)}{dt}[/mm]
>
>
> bilden oder man schaut sich mal die Winkeltabelle von sin
> und cos genauer an. Dann sieht man, dass bei
>
> [mm]\varphi=45^{\circ}=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
>
> die Funktion ihr Maximum erreicht. Man hat also
>
> [mm]p(t)|_{\varphi=\bruch{\pi}{4}}=\bruch{UI}{\wurzel{2}}(1+cos(2\omega{t})-sin(2\omega{t}))=p_{max}[/mm]
Ich habe noch mal eine Frage zu dieser Lösung. Ist das bereits der korrekte Maximalwert oder sollte man zur endgültigen Bestimmung des Maximums noch einen, bzw. mehrere Zeitpunkte angeben? Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Marcel08 |
An Antworten zu diesen beiden Fragen wäre ich nach wie vor interessiert, vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Di 16.11.2010 | | Autor: | GvC |
Eingedenk der Tatsache, dass es sich hier um eine ohmsch-induktive Last handelt, sind die zeitlichen Funktionen von u und i doch folgende:
[mm]u(t) = \hat{U}sin(\omega t)[/mm]
und
[mm]i(t) = \hat{I}sin(\omega t-\varphi)[/mm]
Dabei ist, darauf sei nochmal hingewiesen, der Phasenwinkel [mm] \varphi [/mm] im 50-Hz-Betrieb 30° und im 60-Hz-Betrieb 34,7° (und nicht 45°, wie von Dir mehrmals irgendwie hergeleitet).
Die Momentanleistung ergibt sich als Multiplikation von u und i, also
[mm]p(t)=\hat{U}\hat{I}sin(\omega t)\cdot sin(\omega t -\varphi)[/mm]
Das lässt sich entsprechend [mm]sin\alpha\cdot sin\beta = \frac{1}{2}\left( cos(\alpha -\beta)-cos(\alpha + \beta)\right)[/mm] umformen zu
[mm]p(t)=\frac{1}{2}\hat{U}\hat{I}\cdot \left( cos\varphi -cos(2\omega t-\varphi)\right)[/mm]
Dabei ist berücksichtigt, dass [mm]cos(-\varphi) = cos\varphi[/mm]. Dass sich das noch weiter umformen lässt, soll hier nicht weiter verfolgt werden, wird aber sonst auch nur gemacht, um den zeitlichen Verlauf der Leistung in einen sinusförmigen Wirk- und einen sinusförmigen Blindanteil aufzuspalten. Für die Betrachtung des maximalen Wertes der momentanen Gesamtleistung ist diese Weiterentwicklung nur verwirrend. Jedenfalls wird der obige Ausdruck maximal, wenn der zweite Term in der Klammer gerade -1 wird, was irgendwann im zeitlichen Verlauf immer wieder geschieht. Dann ist die maximale Momentanleistung
[mm]p_{max} = \frac{1}{2}\hat{U}\hat{I}(cos\varphi + 1) = UI(cos\varphi+1)[/mm]
Im 50-Hz-Betrieb ergibt sich demnach der maximale Augenblickswert der Leistung zu
[mm]p_{max} = 1,87\cdot UI[/mm]
und im 60-Hz-Betrieb zu
[mm]p_{max} = 1,82\cdot UI[/mm]
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Hallo nochmal!
Vielen Danke soweit. Im Zuge meiner Berechnungen erhalte ich also die folgenden Veränderungen:
[mm] \Delta{P}\approx-5,08 [/mm] %
[mm] \Delta{Q}\approx+13,899 [/mm] %
[mm] \Delta{S}\approx0 [/mm] %
[mm] \Delta{p_{max}}\approx-2,36 [/mm] %
Könnt ihr dem abschließend zustimmen?
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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