Leistungs- oder Energiesignal < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo E-Techniker!
Im Hinblick auf die zu lösende Aufgabe ist lediglich eine aufskizzierte Funktion s(t) gegeben. Durch folgende Fallunterscheidugn habe ich zunächst, hoffentlich fehlerfrei, die Funktion beschrieben:
[mm] s(t)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } t\in(\infty,-\bruch{T}{2}] \mbox{} \\ \bruch{4}{T}t+1, & \mbox{für } t\in[-\bruch{T}{2},0) \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } t\in[0,T) \mbox{} \\ -\bruch{4}{T}t+5, & \mbox{für } t\in[T,\bruch{3T}{2}) \mbox{} \\ -1, & \mbox{für } t\in[\bruch{3T}{2},\infty) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Aufgabe: Handelt es sich um ein Energie- oder um ein Leistungssignal? Begründen Sie Ihre Antwort.
Mein Lösungsversuch:
1.) Zunächst habe ich im Hinterkopf, dass zwischen Energie, bzw. Arbeit und Leistung der folgende Zusammenhang besteht: [mm] P=\bruch{d W(t)}{dt} [/mm] gilt.
2.) Es würde sich also anbieten, das vorgegebene Signal nach der Zeit abzuleiten. Dann sähe mein Signal wie folgt aus:
[mm] \bruch{d s(t)}{dt}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t\in(\infty,-\bruch{T}{2}] \mbox{} \\ \bruch{4}{T}, & \mbox{für } t\in[-\bruch{T}{2},0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } t\in[0,T) \mbox{} \\ -\bruch{4}{T}, & \mbox{für } t\in[T,\bruch{3T}{2}) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } t\in[\bruch{3T}{2},\infty) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
3.) Daraus kann ich nun schlussfolgern, dass die Energie des Signals unendlich ist, da unendlich viele Punkte der Funktion [mm] \not=0 [/mm] sind. Außerdem weiss ich, dass die Leistung des Signals offenbar endlich ist, da endlich viele Punkte der nach der Zeit abgeleiteten Funktion [mm] \not=0 [/mm] sind.
Meine Fragen:
1.) Kann ich die Frage mit meinem Lösungsversuch hirneichend beantworten?
2.) Angenommen ich hätte eine Funktion, bei deren Ableitung ebenfalls unendlich viele Punkte [mm] \not=0 [/mm] wären. Wie würde ich dann argumentieren?
In der Musterlösung wird knapp gesagt, dass es sich um ein Leistungssignal handelt, da das Signal unendlich große Signalenergie besitzt und eine endlich mittlere Gesamtleistung aufweist.
3.) Dass die Gesamtleistung in diesem Fall endlich ist, ist mir klar. Was aber bedeutet nun der Ausdruck "mittlere"? Auf welche Tatsache, ist diese Behauptung zurückzuführen?
Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
Deine Argumentation ist schon okay. Die Energie eines Signales ergibt sich aus der Integration über das Betragsquadrat der Zeitfunktion und wenn diese Funktion zu keinem Zeitpunkt zu Null wird, wäre das Signal sogar noch nicht einmal energiebegrenzt. Dies ist in Deinem Beispiel durch die -1 gegeben. Die Ableitung ergibt endliche Werte und damit ist das Signal leistungsbegrenzt. Wären unendlich viele Punkte der Ableitung ungleich Null, so wäre das Signal nicht leistungsbegrenzt. Die mittlere Leistung bezieht man auf denjenigen Zeitraum, innnerhalb dessen die Leistung ungleich Null ist. Für periodische Signale bezieht man die mittlere Leistung auf die Periodendauer. Somit ist ein von - Unendlich bis + Unendlich durchlaufender Sinus kein energiebegrenztes Signal, aber ein, auf die Periodendauer bezogen, leistungsbegrenztes Signal.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Hallo Marcel,
> Deine Argumentation ist schon okay. Die Energie eines
> Signales ergibt sich aus der Integration über das
> Betragsquadrat der Zeitfunktion
also: [mm] W_{s(t)}=\integral_{}^{}{|s(t)|^{2}dt}
[/mm]
> und wenn diese Funktion zu
> keinem Zeitpunkt zu Null wird, wäre das Signal sogar noch
> nicht einmal energiebegrenzt.
(1)
> Dies ist in Deinem Beispiel
> durch die -1 gegeben. Die Ableitung ergibt endliche Werte
> und damit ist das Signal leistungsbegrenzt. Wären
> unendlich viele Punkte der Ableitung ungleich Null, so
> wäre das Signal nicht leistungsbegrenzt. Die mittlere
> Leistung bezieht man auf denjenigen Zeitraum, innnerhalb
> dessen die Leistung ungleich Null ist. Für periodische
> Signale bezieht man die mittlere Leistung auf die
> Periodendauer.
Also kann man in diesem Beispiel einen expliziten Wert für die mittlere Leistung angeben?
> Somit ist ein von - Unendlich bis +
> Unendlich durchlaufender Sinus kein energiebegrenztes
> Signal,
Schneidet denn die Energie-Funktion des Sinus nicht die Zeitachse unendlich oft, wenn er von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] verläuft? (vgl. (1) oben).
> aber ein, auf die Periodendauer bezogen,
> leistungsbegrenztes Signal.
> Viele Grüße,
> Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Ich würde leiber ein großes E für Energier nehmen, denn das W erinnert zu sehr an die Leistung, ansonsten aber okay. Keine Angst, die Energie wird nicht negativ, denn durch das Betragsquadrat gibt es nur positive Anteile.
Gruß,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Ich würde leiber ein großes E für Energier nehmen, denn
> das W erinnert zu sehr an die Leistung, ansonsten aber
> okay. Keine Angst, die Energie wird nicht negativ, denn
> durch das Betragsquadrat gibt es nur positive Anteile.
Das leuchtet ein. Ist es denn nicht aber möglich, dass alle Minima dieser Funktion zumindest auf der t-Achse liegen, dann also 0 sind?
> Gruß,
> Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Das geht natürlich, aber aufgrund der Definition der Betragsquadratfunktion bedeutet dies, dass das ursprüngliche Signal an dieser Stelle auch den Wert Null besitzen muss.
Gruß,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Alles klar, danke schön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
In meinen Unterlagen finde ich diese Beziehung unter dem "Parsevalsen Theorem der Fourier-Transformation" wieder. Vielen Dank. 
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