Leistungsberechnung, EM-Wellen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 26.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Eine elektromagnetische Welle der Frequenz [mm] \omega_{0} [/mm] fällt in einem Winkel [mm] \gamma [/mm] auf einen dielektrischen Halbraum. Der komplexe Phasor des elektrischen Feldstärkevektors der einfallenden Welle sei gegeben durch
[mm] \underline{\vec{E}}_{e}(\vec{r})=E_{0}*e^{-j\vec{k}_{e}*\vec{r}}(-\vec{e}_{z})
[/mm]
Dabei ist [mm] \vec{r} [/mm] der Ortsvektor und [mm] \vec{k}_{e} [/mm] der Wellenvektor der einfallenden Welle, dessen Betrag sich aus der Dispersionsgleichung zu [mm] \vmat{\vec{k}_{e}}=\omega_{0}\wurzel{\mu_{0}\epsilon_{0}}=:k_{0} [/mm] ergibt.
Welche Leistung dringt im zeitlichen Mittel pro Flächeneinheit in den dielektrischen Halbraum ein? |
Hallo zusammen!
Die Musterlösung zu dieser Aufgabe lautet wie folgt: Der komplexe POYNTINGsche Vektor ist definiert als
[mm] \underline{\vec{S}}:=\bruch{1}{2}\underline{\vec{E}}\times{\underline{\vec{H}}}_{konjugiert komplex}
[/mm]
Der Realteil des POYNTINGschen Vektors gibt den zeitlich gemittelten Wirkleistungsfluss an einem Punkt nach Betrag und Richtung an. Um die mittlere Wirkleistung zu berechnen, welche in den dielektrischen Halbraum pro Flächeneinheit eintritt, wird der POYNTUNGsche Vektor auf der Grenzfläche ausgewertet.
[mm] Re(\underline{\vec{S}}|_{y=0})*(-\vec{e}_{y})
[/mm]
Soweit jedenfalls die Musterlösung. Meine Frage dazu lautet:
Aus welchen Feldkomponente genau setzt sich die Berechnung des POYNTINGschen Vektors an dieser Stelle zusammen? Im Laufe der Aufgabe habe ich die folgenden Komponenten bereits berechnet:
[mm] \underline{\vec{E}}_{Einfall}\vec{e}_{z}
[/mm]
[mm] \underline{\vec{E}}_{Reflexion}\vec{e}_{z}
[/mm]
[mm] \underline{\vec{E}}_{Transmission}\vec{e}_{z}
[/mm]
[mm] \underline{\vec{H}}_{Einfall}(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y})
[/mm]
[mm] \underline{\vec{H}}_{Reflexion}(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y})
[/mm]
[mm] \underline{\vec{H}}_{Transmission}(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y})
[/mm]
Für den Fall, dass man alle Feldkomponenten heranziehen muss, erwartet mich wohl ein gehöriger Rechenaufwand. Deswegen stelle ich zunächst einmal diese Frage. Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Eine Antwort würde mich nach wie vor interessieren; vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:09 Fr 22.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hi....
Gibt es keine zusätzlichen Richtungsangaben oder eine Skizze? Weil ich sehe nicht ob der Einfall bezüglich der Einfallsebene Senkrecht Polarisiert oder Parallel Polarisiert ist... Das kann wichtig sein, denn für den Transmissionskoeffizienten bei Senkrechter Polarisation gilt, mit T = Transmissionsfaktor und R = Reflexionsfaktor
T = 1 + R
und bei Paralleler Polarisation gilt, mit [mm] \phi_{i} [/mm] = Einfallswinkel und [mm] \phi_{t} [/mm] = Ausfallswinkel
T = (1 + [mm] R)*\bruch{cos(\phi_{i})}{cos(\phi_{t})}
[/mm]
BEISPIEL: Ich zeig dir mal ein Beispiel anhand Paralleler Polarisation:
Für einen Strahl der von Medium 1 nach Medium 2 geht und [mm] \varepsilon_{1}*\mu_{1} [/mm] > [mm] \varepsilon_{2}*\mu_{2} [/mm] gilt [mm] sin(\phi_{t}) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{\varepsilon_{1}*\mu_{1}}{\varepsilon_{2}*\mu_{2}}}*sin(\phi_{i}), \phi_{i} [/mm] ist der Einfallswinkel und [mm] \phi_{t} [/mm] der Ausfallswinkel.
[mm] \phi_{t} [/mm] kann nun also durch [mm] \phi_{i} [/mm] ausgedrückt werden.
R = Reflexionsfaktor = [mm] \bruch{Z_{2}*cos(\phi_{t}) - Z_{1}*cos(\phi_{i})}{Z_{2}*cos(\phi_{t}) + Z_{1}*cos(\phi_{i})}
[/mm]
T = Transmissionsfaktor = (1 + [mm] R)*\bruch{cos(\phi_{i})}{cos(\phi_{t})}
[/mm]
DIE FELDER:
[mm] E_{Einfallend} [/mm] = [mm] (\overrightarrow{e_{x}}*cos(\phi_{i}) [/mm] - [mm] \overrightarrow{e_{z}}*sin(\phi_{i}))*E_{0}*e^{-j*k_{1}*(x*sin(\phi_{i} + z*cos(\phi_{i}))}
[/mm]
[mm] E_{Reflektiert} [/mm] = ...
[mm] E_{Transmittiert} [/mm] = [mm] T*(\overrightarrow{e_{x}}*cos(\phi_{t}) [/mm] - [mm] \overrightarrow{e_{z}}*sin(\phi_{t}))*E_{0}*e^{-j*k_{2}*(x*sin(\phi_{t} + z*cos(\phi_{t}))}
[/mm]
H = [mm] \bruch{\bruch{\overrightarrow{k}}{|k|} \times E}{Z}
[/mm]
Aufjedenfall ist die Transmittierte Leistung, die im Zeitmittel verbraucht wird $ [mm] Re[\underline{\vec{S_{Transmittiert}}}]:=\bruch{1}{2}Re[\underline{\vec{E_{Transmittiert}}}\times{\underline{\vec{H_{Transmittiert}}}}_{konjugiert komplex} [/mm] $ ] = [mm] \bruch{1}{2}*|T|^{2}*|E|^2*Re[\bruch{1}{Z}]*\bruch{\overrightarrow{k}}{|k|}
[/mm]
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Zunächst einmal vielen Dank für deine Mühe. Gestern hatte ich diese Aufgabe noch einmal gerechnet und konnte daraufhin meine eigene Frage selbst beantworten. Für die gesuchte Leistung, die in den Halbraum eindringt, sind sowohl die einfallenden als auch die reflektierten Wellenkomponenten relevant. Die Anteile, die vom Halbraum transmittiert werden, spielen hingegen keine Rolle. Erscheint mir im Nachhinein auch irgendwie logisch.
Viele Grüße, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Fr 22.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Achso du siehst es von "dem" Halbraum aus betrachtet und ich habe es so gesehen als ob die Welle von Aussen in "den" Halbraum eindringt und in den Halbraum Transmittiert. Deshalb hab ich die Transmittierten Anteile genommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo nochmal!
> Hi....
>
> Gibt es keine zusätzlichen Richtungsangaben oder eine
> Skizze? Weil ich sehe nicht ob der Einfall bezüglich der
> Einfallsebene Senkrecht Polarisiert oder Parallel
> Polarisiert ist... Das kann wichtig sein, denn für den
> Transmissionskoeffizienten bei Senkrechter Polarisation
> gilt, mit T = Transmissionsfaktor und R = Reflexionsfaktor
Also im Skript wird zwischen dem "Fall p" (vermutlich parallel polarisiert) und dem "Fall s" (vermutlich senkrecht polarisiert) unterschieden. Im Fall p liegt [mm] \vec{E_{e}} [/mm] in der Einfallsebene und im Fall s liegt [mm] \vec{H_{e}} [/mm] in der Einfallsebene. Diese Aufgabe bezieht sich also auf den Fall s (Die Einfallsebene liegt laut Skizze in der xy-Ebene). Wenn ich das Ganze jetzt versuche zu kombinieren, so hätte man im Falle der parallelen Polarisation lediglich transversale magnetische Wellenkomponenten (TM- oder E-Wellen) vorliegen. Analog dazu lägen im Falle der senkrechten Polarisation lediglich transversale elektrische (TE- oder M-Wellen) Wellenkomponenten vor. Wäre das so korrekt?
Die Begriffe "parallele Polarisation" und "senkrechte Polarisation" beziehen sich dabei wohl per Definition auf den Wellenvektor des elektrischen Feldes und nicht auf jenen des magnetischen Feldes, sehe ich das richtig?
> T = 1 + R
>
> und bei Paralleler Polarisation gilt, mit [mm]\phi_{i}[/mm] =
> Einfallswinkel und [mm]\phi_{t}[/mm] = Ausfallswinkel
>
> T = (1 + [mm]R)*\bruch{cos(\phi_{i})}{cos(\phi_{t})}[/mm]
>
>
>
> BEISPIEL: Ich zeig dir mal ein Beispiel anhand Paralleler
> Polarisation:
>
> Für einen Strahl der von Medium 1 nach Medium 2 geht und
> [mm]\varepsilon_{1}*\mu_{1}[/mm] > [mm]\varepsilon_{2}*\mu_{2}[/mm] gilt
> [mm]sin(\phi_{t})[/mm] =
> [mm]\wurzel{\bruch{\varepsilon_{1}*\mu_{1}}{\varepsilon_{2}*\mu_{2}}}*sin(\phi_{i}), \phi_{i}[/mm]
> ist der Einfallswinkel und [mm]\phi_{t}[/mm] der Ausfallswinkel.
> [mm]\phi_{t}[/mm] kann nun also durch [mm]\phi_{i}[/mm] ausgedrückt
> werden.
>
> R = Reflexionsfaktor = [mm]\bruch{Z_{2}*cos(\phi_{t}) - Z_{1}*cos(\phi_{i})}{Z_{2}*cos(\phi_{t}) + Z_{1}*cos(\phi_{i})}[/mm]
>
> T = Transmissionsfaktor = (1 +
> [mm]R)*\bruch{cos(\phi_{i})}{cos(\phi_{t})}[/mm]
>
> DIE FELDER:
> [mm]E_{Einfallend}[/mm] = [mm](\overrightarrow{e_{x}}*cos(\phi_{i})[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{e_{z}}*sin(\phi_{i}))*E_{0}*e^{-j*k_{1}*(x*sin(\phi_{i} + z*cos(\phi_{i}))}[/mm]
>
> [mm]E_{Reflektiert}[/mm] = ...
> [mm]E_{Transmittiert}[/mm] =
> [mm]T*(\overrightarrow{e_{x}}*cos(\phi_{t})[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{e_{z}}*sin(\phi_{t}))*E_{0}*e^{-j*k_{2}*(x*sin(\phi_{t} + z*cos(\phi_{t}))}[/mm]
>
> H = [mm]\bruch{\bruch{\overrightarrow{k}}{|k|} \times E}{Z}[/mm]
>
> Aufjedenfall ist die Transmittierte Leistung, die im
> Zeitmittel verbraucht wird
> [mm]Re[\underline{\vec{S_{Transmittiert}}}]:=\bruch{1}{2}Re[\underline{\vec{E_{Transmittiert}}}\times{\underline{\vec{H_{Transmittiert}}}}_{konjugiert komplex}[/mm]
> ] =
> [mm]\bruch{1}{2}*|T|^{2}*|E|^2*Re[\bruch{1}{Z}]*\bruch{\overrightarrow{k}}{|k|}[/mm]
>
> Gruss
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 22.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich verstehe nicht ganz: Die Welle dringt doch in einen Halbraum ein, und die Frage ist wieviel Leistung kommt im Halbraum an? Deshalb muss doch der Transmittierte Teil beachtet werden und die anderen nicht? Ich habs ja genau umgekehrt wie du?
Die Begriffe "parallele Polarisation" und "senkrechte Polarisation" beziehen sich dabei wohl per Definition auf den Wellenvektor des elektrischen Feldes und nicht auf jenen des magnetischen Feldes, sehe ich das richtig?
Genau. Der Wellenvektor des Elektrischen Feldes ist entscheidend. Und ja, es geht darum, wie der Vektor des elektrischen Feldes auf der Einfallsebene steht.
Aber der Wellenvektor ist doch k? Also ich würde aufpassen mit dem Namen Wellenvektor. Der Wellenvektor ist ja die Ausbreitungsrichtung, welche senkrecht auf dem Elektrischen Feldvektor steht.
Die Einfallsebene enthält den Wellenvektor k und steht normal auf der Dielektrischen Grenzschicht.
Ist der Vektor des elektrischen Feldes nun in der Einfallsebene spricht man von paralleler Polarisation. Steht der Vektor des Elektrischen Feldes senkrecht darauf so spricht man von senkrechter Polarisation.
Mit den TM bzw. TE Wellen würd ich aufpassen. Diese Gesetzte für Reflexion und Transmission gelten soviel ich weiss nur für TEM-Wellen(=Ebene Wellen). Wie es mit TM und TE aussieht kann ich dir nicht sagen, sollte aber einiges Komplizierter sein. Den hier gibt es noch Feldvektoren in Richtung der Ausbreitungsrichtung...
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Hallo,
>
> Ich verstehe nicht ganz: Die Welle dringt doch in einen
> Halbraum ein, und die Frage ist wieviel Leistung kommt im
> Halbraum an? Deshalb muss doch der Transmittierte Teil
> beachtet werden und die anderen nicht? Ich habs ja genau
> umgekehrt wie du?
Nun ich habe den komplexen POYNTING-Vektor zunächst auf der Grenzschicht ausgewertet (also für y=0). Dazu habe ich [mm] {E}=E_{e}+E_{r} [/mm] sowie [mm] H=H_{e}+H_{r} [/mm] verwendet. Anschließend habe ich dann den Realteil des S-Vektors betrachtet. Das Ergebnis stimmte dann mit dem aus der Musterlösung überein.
> Die Begriffe "parallele Polarisation" und "senkrechte
> Polarisation" beziehen sich dabei wohl per Definition auf
> den Wellenvektor des elektrischen Feldes und nicht auf
> jenen des magnetischen Feldes, sehe ich das richtig?
>
> Genau. Der Wellenvektor des Elektrischen Feldes ist
> entscheidend. Und ja, es geht darum, wie der Vektor des
> elektrischen Feldes auf der Einfallsebene steht.
> Aber der Wellenvektor ist doch k? Also ich würde aufpassen
> mit dem Namen Wellenvektor. Der Wellenvektor ist ja die
> Ausbreitungsrichtung, welche senkrecht auf dem Elektrischen
> Feldvektor steht.
Das stimmt, da war ich wohl etwas ungenau bei der Bezeichnung.
> Die Einfallsebene enthält den Wellenvektor k und steht
> normal auf der Dielektrischen Grenzschicht.
> Ist der Vektor des elektrischen Feldes nun in der
> Einfallsebene spricht man von paralleler Polarisation.
> Steht der Vektor des Elektrischen Feldes senkrecht darauf
> so spricht man von senkrechter Polarisation.
>
>
> Mit den TM bzw. TE Wellen würd ich aufpassen. Diese
> Gesetzte für Reflexion und Transmission gelten soviel ich
> weiss nur für TEM-Wellen(=Ebene Wellen). Wie es mit TM und
> TE aussieht kann ich dir nicht sagen, sollte aber einiges
> Komplizierter sein. Den hier gibt es noch Feldvektoren in
> Richtung der Ausbreitungsrichtung...
Na ja, für den Fall p hätte man ja für den H-Vektor keine Longitudinalkomponente, da der H-Vektor ja senkrecht auf der Einfallsebene steht. Der E-Vektor besitzt hingegen eine Komponente in Ausbreitungsrichtung der Welle, da er ja mit dem PONYTING-Vektor gemeinsam auf der Einfallsebene liegt. Folglich müsste es sich eigentlich um einen TM-Fall handeln, oder nicht?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 22.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nein es geht um TEM Wellen. Das E-Feld und das H-Feld stehen senkrecht auf dem Wellenvektor k.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Das ist mir noch immer nicht klar. Bezüglich der oben genannten Aufgabe lautet doch der Wellenvektor der einfallenden Welle
[mm] \vec{k}_{e}=ko[sin(\gamma_{e})\vec{e}_{x}-cos(\gamma_{e})\vec{e}_{y}]
[/mm]
Über das Induktionsgesetz
[mm] rot\vec{\underline{E}}=-j\omega\mu\vec{\underline{H}}
[/mm]
erhalte ich unter Zuhilfenahme der vorgegebenen elektrischen Feldstärke die magnetische Feldstärke zu
[mm] \vec{\underline{H}}_{e}=\bruch{\underline{E}_{0}}{Z_{0}}e^{-jk_{0} [sin(\gamma_{e})x-cos(\gamma_{e})y]}[cos(\gamma_{e})\vec{e}_{x}+sin(\gamma_{e})\vec{e}_{y}], [/mm] wobei [mm] \vec{k_{e}}*\vec{r}=\vektor{ sin(\gamma_{e}) \\ -cos(\gamma_{e}) \\ 0 }*\vektor{ x \\ y \\ z }=sin(\gamma_{e})x-cos(\gamma_{e})y
[/mm]
Man sieht doch nun, dass die magnetische Feldstärke durchaus Komponenten in Ausbreitungsrichtung der Welle aufweist. Daher dürfte hier von TEM-Wellen nicht die Rede sein. Was habe ich möglicherweise übersehen?
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Fr 22.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habs auch nochmals nachgerechnet. Komme auf das gleiche, falls ich keine Vorzeichenfehler gemacht habe müsste es ja stimmen.
Das Skalarprodukt von k und H gibt ja 0. Also sollts hinhauen. Somit kann auch H gar keine Komponente in Ausbreitungsrichtung haben.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Schau mal bitte ![[]](/images/popup.gif) hier. Dort wird auch vom TE- bzw. TM-Fall geschrieben. Solche Quellen sind natürlich immer mit Vorsicht zu genießen. Hättest du diesbezüglich vielleicht eine vertraulichere Quelle? Du hast mich jetzt total verunsichert. :-/
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Fr 22.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja da steht in der Tat TM und TE. TM bedeutet ja soviel wie transversal-magnetisch und TE tranversal-elektrisch. Ich denke das ist dann dort spezifisch auf die Einfallsebene bezogen. Jedoch sind die Wellen an sich TEM-Wellen(= Ebene Wellen). TEM-Wellen sind nämlich die einzigen, die auf dauer im Freiraum vorzufinden sind. Das Nahfeld einer Antenne ist sehr kompliziert, das Fernfeld jedoch ist lediglich eine TEM-Welle. TE und TM Wellen können sich lediglich bei bestimmten Geometrischen Anordnungen von Leitfähigen Materialien bilden (z.B. der Rechteckhohlleiter).
Gruss
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