Lemma Riesz, Norm Lip.-stetig < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Fr 04.05.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei X ein normierter Vektorraum und A [mm] \subseteq [/mm] X abgeschlossen mit A [mm] \not= \emptyset. [/mm] Für x [mm] \in [/mm] X sei d(x,A) = [mm] inf_{a\in A}\parallel x-a\parallel [/mm]
Zeige:
a.) Die Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) ist Lipschitz-stetig und [mm] A=\{x \in X : d(x,A) = 0\}. [/mm]
b.) Ist dim X < [mm] \infty, [/mm] so darf im Lemma von Riesz auch [mm] \delta [/mm] = 0 zugelassen werden |
Hallo ihr Lieben,
zur a)
sehe ich das richtig, dass die Abb. x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) eine Abbildung von X [mm] \to [/mm] X ist?
so meine überlegung dazu:
d(x,A)-d(y,A) [mm] \le| d(x,A)-d(y,A)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A}\parallel y-a\parallel |\le |inf_{a \in A}(\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel) [/mm] | [mm] \le inf_{a \in A}|\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel| \le inf_{a \in A}(\parallel x-a-y+a\parallel [/mm] ) = [mm] inf_{a \in A}(\parallel x-y\parallel [/mm] ) =d(x,y)
Ginge das so?
zur b)
Lemma von Riesz:
[mm] (X,\parallel \cdot \parallel) [/mm] normierter Vektorraum, U abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge von X), Dann gilt:
[mm] \forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\}, [/mm] so dass [mm] d(x_1,U)\le1-\delta
[/mm]
Da weiß ich gart nicht wie ich vorgehen soll. Hat da jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank und einen schönen Tag noch
Noya 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Sa 05.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein normierter Vektorraum und A [mm]\subseteq[/mm] X
> abgeschlossen mit A [mm]\not= \emptyset.[/mm] Für x [mm]\in[/mm] X sei
> d(x,A) = [mm]inf_{a\in A}\parallel x-a\parallel[/mm]
> Zeige:
> a.) Die Abbildung x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) ist Lipschitz-stetig
> und [mm]A=\{x \in X : d(x,A) = 0\}.[/mm]
> b.) Ist dim X < [mm]\infty,[/mm] so darf im Lemma von Riesz auch
> [mm]\delta[/mm] = 0 zugelassen werden
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> zur a)
> sehe ich das richtig, dass die Abb. x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) eine
> Abbildung von X [mm]\to[/mm] X ist?
> so meine überlegung dazu:
> d(x,A)-d(y,A) [mm]\le| d(x,A)-d(y,A)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A}\parallel y-a\parallel |\le |inf_{a \in A}(\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel)[/mm]
> | [mm]\le inf_{a \in A}|\parallel x-a\parallel-\parallel y-a\parallel| \le inf_{a \in A}(\parallel x-a-y+a\parallel[/mm]
> ) = [mm]inf_{a \in A}(\parallel x-y\parallel[/mm] ) =d(x,y)
> Ginge das so?
Ehrlich gesagt nicht. Da oben sind einige nicht begründete Abschätungen !
Sei a [mm] \in [/mm] A. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung bekommen wir:
d(x,a)-d(y,a) [mm] \le [/mm] d(x,y), also d(x,a) [mm] \le [/mm] d(y,a) +d(x,y). Gehen wir links zum Infimum über, so liefert dies:
d(x,A) [mm] \le [/mm] d(y,a) +d(x,y),
also
d(x,A)-d(x,y) [mm] \le [/mm] d(y,a).
Gehen wir nun rechts zum Infimum über, so ergibt das d(x,A)-d(x,y) [mm] \le [/mm] d(y,A), also
d(x,A)-d(y,A) [mm] \le [/mm] d(x,y).
Vertauscht man die Rollen von x und y , so ergubt sich analog
d(y,A)-d(x,A) [mm] \le [/mm] d(x,y).
Fazit: |d(x,A)-d(y,A)| [mm] \le [/mm] d(x,y).
>
> zur b)
> Lemma von Riesz:
> [mm](X,\parallel \cdot \parallel)[/mm] normierter Vektorraum, U
> abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge
> von X), Dann gilt:
> [mm]\forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\},[/mm]
Was soll [mm] S_x [/mm] sein, Du meinst vielleicht [mm] S_1 [/mm] ??
> so dass [mm]d(x_1,U)\le1-\delta[/mm]
So lautet das Lemma aber nicht !! Sondern:
.......... so dass [mm]d(x_1,U)\ge1-\delta[/mm]
(Mit [mm] \le [/mm] wärs doch eine Trivialität ! Man müsste nur ein x [mm] \in [/mm] U mit ||x||=1 wählen !)
> Da weiß ich gart nicht wie ich vorgehen soll. Hat da
> jemand einen Tipp für mich?
Hab ich. Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es nach Riesz ein [mm] x_n [/mm] mit [mm] ||x_n||=1 [/mm] und
(*) [mm] d(x_n,U) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n}.
[/mm]
Da [mm] \dim [/mm] X < [mm] \infty [/mm] ist die abgeschlossene Einheitskugel in X kompakt, also enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}). [/mm] Sei [mm] x_0 [/mm] ihr Limes. Dann ist [mm] ||x_0||=1 [/mm] und, wegen (*) , haben wir
[mm] d(x_{n_k},U) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n_k} [/mm] für alle k.
Nun lassen wir k [mm] \to \infty [/mm] gehen, beachten Aufgabenteil a) und Bingo !
[mm] d(x_{0},U) \ge [/mm] 1 .
>
> Vielen Dank und einen schönen Tag noch
>
> Noya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Sa 05.05.2018 | | Autor: | Noya |
zz. habe ich doch [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] L*|x-y| mit einer Konstante L [mm] \ge [/mm] 0
wobei [mm] f(x)=d(x,A)=inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel, f(y)=d(y,A)=inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel [/mm] und x,y [mm] \in [/mm] X
Möchte deins gerne irgendwie als Ungleichungskette schreiben und auch alles wirklich verstehen.
[mm] |f(x)-f(y)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel|
[/mm]
> Sei a [mm]\in[/mm] A. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
> bekommen wir:
>
> d(x,a)-d(y,a) [mm]\le[/mm] d(x,y), also d(x,a) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y).
> Gehen wir links zum Infimum über, so liefert dies:
>
> d(x,A) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y),
>
> also
>
> d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,a).
>
> Gehen wir nun rechts zum Infimum über, so ergibt das
> d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,A), also
>
> d(x,A)-d(y,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
>
> Vertauscht man die Rollen von x und y , so ergubt sich
> analog
>
> d(y,A)-d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
>
> Fazit: |d(x,A)-d(y,A)| [mm]\le[/mm] d(x,y).
Mit L=1 oder?
Kann den sachritten folgen. Aber man müsste das ja auch irgendwie als Ungleichunsgkette schreiben können + anmerkungen an den Ungleichungen?
Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D
>
>
>
> > zur b)
> > Lemma von Riesz:
> > [mm](X,\parallel \cdot \parallel)[/mm] normierter Vektorraum, U
> > abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge
> > von X), Dann gilt:
> > [mm]\forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\},[/mm]
>
>
> Was soll [mm]S_x[/mm] sein, Du meinst vielleicht [mm]S_1[/mm] ??
Im Skript steht [mm] S_x...
[/mm]
> So lautet das Lemma aber nicht !! Sondern:
>
> .......... so dass [mm]d(x_1,U)\ge1-\delta[/mm]
Stimmt. Tippfehler. Sorry
> Hab ich.
Danke 
>Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es nach Riesz ein [mm]x_n[/mm] mit
> [mm]||x_n||=1[/mm] und
>
> (*) [mm]d(x_n,U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n}.[/mm]
Wieso [mm] 1-\bruch{1}{n}?
[/mm]
>
> Da [mm]\dim[/mm] X < [mm]\infty[/mm] ist die abgeschlossene Einheitskugel in
> X kompakt, also enthält [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](x_{n_k}).[/mm] Sei [mm]x_0[/mm] ihr Limes. Dann ist [mm]||x_0||=1[/mm] und,
ok.
wegen
> (*) , haben wir
>
>
> [mm]d(x_{n_k},U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n_k}[/mm] für alle k.
okay.
> Nun lassen wir k [mm]\to \infty[/mm] gehen,
[mm] \frac{1}{n_k} \to [/mm] 0
dann beachten Aufgabenteil a)
Inwieweit benötigt man dann hier die Lipschitzstetigkeit?
> und Bingo !
>
>
> [mm]d(x_{0},U) \ge[/mm] 1 .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Sa 05.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> zz. habe ich doch [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] L*|x-y| mit einer
> Konstante L [mm]\ge[/mm] 0
>
> wobei [mm]f(x)=d(x,A)=inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel, f(y)=d(y,A)=inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel[/mm]
> und x,y [mm]\in[/mm] X
> Möchte deins gerne irgendwie als Ungleichungskette
Meins? Warum das ?
> schreiben und auch alles wirklich verstehen.
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|inf_{a\in A} \parallel x-a\parallel-inf_{a\in A} \parallel y-a\parallel|[/mm]
>
> > Sei a [mm]\in[/mm] A. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
> > bekommen wir:
> >
> > d(x,a)-d(y,a) [mm]\le[/mm] d(x,y), also d(x,a) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y).
> > Gehen wir links zum Infimum über, so liefert dies:
> >
> > d(x,A) [mm]\le[/mm] d(y,a) +d(x,y),
> >
> > also
> >
> > d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,a).
> >
> > Gehen wir nun rechts zum Infimum über, so ergibt das
> > d(x,A)-d(x,y) [mm]\le[/mm] d(y,A), also
> >
> > d(x,A)-d(y,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
> >
> > Vertauscht man die Rollen von x und y , so ergubt sich
> > analog
> >
> > d(y,A)-d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y).
> >
> > Fazit: |d(x,A)-d(y,A)| [mm]\le[/mm] d(x,y).
> Mit L=1 oder?
Ja.
> Kann den sachritten folgen. Aber man müsste das ja auch
> irgendwie als Ungleichunsgkette schreiben können +
> anmerkungen an den Ungleichungen?
> Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das
> sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D
Und ? Was ist daran so schlimm?
Wenn es dir nicht gefällt, so lass es bleiben.
> >
> >
> >
>
> > > zur b)
> > > Lemma von Riesz:
> > > [mm](X,\parallel \cdot \parallel)[/mm] normierter Vektorraum,
> U
> > > abgeschlossener Untervektorraum von X ( U echte Teilmenge
> > > von X), Dann gilt:
> > > [mm]\forall 0<\delta<1, \exists x_1 \in S_x=\{x \in X: \parallel x \parallel=1\},[/mm]
> >
> >
> > Was soll [mm]S_x[/mm] sein, Du meinst vielleicht [mm]S_1[/mm] ??
> Im Skript steht [mm]S_x...[/mm]
>
> > So lautet das Lemma aber nicht !! Sondern:
> >
> > .......... so dass [mm]d(x_1,U)\ge1-\delta[/mm]
> Stimmt. Tippfehler. Sorry
>
>
> > Hab ich.
> Danke
>
> >Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es nach Riesz ein [mm]x_n[/mm] mit
> > [mm]||x_n||=1[/mm] und
> >
> > (*) [mm]d(x_n,U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n}.[/mm]
> Wieso [mm]1-\bruch{1}{n}?[/mm]
Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so wende ich Riesz auf [mm] \delta=1/n [/mm] an.
> >
> > Da [mm]\dim[/mm] X < [mm]\infty[/mm] ist die abgeschlossene Einheitskugel in
> > X kompakt, also enthält [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> > [mm](x_{n_k}).[/mm] Sei [mm]x_0[/mm] ihr Limes. Dann ist [mm]||x_0||=1[/mm] und,
>
> ok.
>
> wegen
> > (*) , haben wir
> >
> >
> > [mm]d(x_{n_k},U) \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{1}{n_k}[/mm] für alle k.
> okay.
> > Nun lassen wir k [mm]\to \infty[/mm] gehen,
> [mm]\frac{1}{n_k} \to[/mm] 0
> dann beachten Aufgabenteil a)
> Inwieweit benötigt man dann hier die Lipschitzstetigkeit?
Eigentlich brauche ich nur die Stetigkeit :
$d [mm] (x_{n_k},U) \to [/mm] d [mm] (x_0,U)$
[/mm]
> > und Bingo !
> >
> >
> > [mm]d(x_{0},U) \ge[/mm] 1 .
>
Danke fürs Danke !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Sa 05.05.2018 | | Autor: | Noya |
> > Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das
> > sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D
>
> Und ? Was ist daran so schlimm?
>
Nichts. Wollte im endeffekt nur wissen, ob das auch irgendwie geht
> Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so wende ich Riesz auf [mm]\delta=1/n[/mm] an.
Und wie kommst du darauf [mm] \delta=1/n [/mm] zu betrachten?
>
>
> Eigentlich brauche ich nur die Stetigkeit :
>
> [mm]d (x_{n_k},U) \to d (x_0,U)[/mm]
dem kann ich nicht folgen.
Wärest du so nett und würdest mir das genauer erklären?
wir wissen [mm] x_{n_k} \to x_0 [/mm] für k [mm] \to \infty.
[/mm]
und mit der Stetigkeit folgt dann, dass auch d [mm] (x_{n_k},U) \to d(x_0,U) [/mm] für k [mm] \to \infty?
[/mm]
Vielen Dank und einen schönen Abend noch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Sa 05.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich verstehe was du da machst mit dem Infimum. aber das
> > > sieht aus wie "hin und hergeschubse" :D
> >
> > Und ? Was ist daran so schlimm?
> >
> Nichts. Wollte im endeffekt nur wissen, ob das auch
> irgendwie geht
>
>
> > Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so wende ich Riesz auf [mm]\delta=1/n[/mm] an.
> Und wie kommst du darauf [mm]\delta=1/n[/mm] zu betrachten?
> >
Erfahrung, Intuition, gute Idee. Wie Du siehst funktioniert es.
>
> >
> > Eigentlich brauche ich nur die Stetigkeit :
> >
> > [mm]d (x_{n_k},U) \to d (x_0,U)[/mm]
> dem kann ich nicht folgen.
> Wärest du so nett und würdest mir das genauer
> erklären?
> wir wissen [mm]x_{n_k} \to x_0[/mm] für k [mm]\to \infty.[/mm]
> und mit der
> Stetigkeit folgt dann, dass auch d [mm](x_{n_k},U) \to d(x_0,U)[/mm]
> für k [mm]\to \infty?[/mm]
Ja, das bedeutet doch gerade Stetigkeit.
>
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 06.05.2018 | | Autor: | Noya |
Super!
Vielen Dank!
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