Lemma über Ultrafilter < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe hier ein Lemma das Folgendes besagt:
Sei X eine Menge und [mm] \phi \in \mathcal{F}(X). [/mm] Dann sind äquivalent:
(1) [mm] \phi [/mm] ist ein Ultrafilter
(2) [mm] \forall [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X: (A [mm] \in \phi [/mm] ) [mm] \vee [/mm] (X \ A [mm] \in \phi)
[/mm]
Den dritten Teil lass ich mal weg. Der ist gerade nicht mein Problem.
Ich habe also versucht mir ein Beispiel zu konstruieren.
Meine Menge X= {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
Jetzt wäre ein Ultrafilter doch:
[mm] \phi [/mm] = {{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
Aber A = {1} ist nicht in [mm] \phi [/mm] und X \ A ist auch nicht in [mm] \phi. [/mm] Also habe ich irgendetwas falsch verstanden.
Vielen Dank
Grüße
Küken
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Hallo,
> Sei X eine Menge und [mm]\phi \in \mathcal{F}(X).[/mm] Dann sind
> äquivalent:
> (1) [mm]\phi[/mm] ist ein Ultrafilter
> (2) [mm]\forall[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] X: (A [mm]\in \phi[/mm] ) [mm]\vee[/mm] (X \ A [mm]\in \phi)[/mm]
> Ich habe also versucht mir ein Beispiel zu konstruieren.
> Meine Menge X= {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
> Jetzt wäre ein Ultrafilter doch:
> [mm]\phi[/mm] = {{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
Nein, das passt nicht zusammen. Ein Ultrafilter ist doch eine Menge von Teilmengen von $X$ !
Bei dir besteht [mm] $\phi$ [/mm] aus ELEMENTEN von $X$.
D.h. damit [mm] $\phi$ [/mm] ein Ultrafilter ist, müsstest du als Grundmenge $X = [mm] \{1,2,3\}$ [/mm] wählen.
> Aber A = {1} ist nicht in [mm]\phi[/mm] und X \ A ist auch nicht in
> [mm]\phi.[/mm]
Aber $A = [mm] \{1\}$ [/mm] ist doch in [mm] $\phi$ [/mm] (das erste Element von [mm] $\phi$ [/mm] ist doch [mm] $\{1\}$)? [/mm] Ich sehe das Problem leider noch nicht.
Viele Grüße,
Stefan
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