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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Lemma von DuBois-Reymond
Lemma von DuBois-Reymond < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lemma von DuBois-Reymond: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Fr 16.05.2014
Autor: Frosch20

Aufgabe
Ich versuche grade den Beweis zu folgenden Lemma zu verstehen:

Sei I=[a,b], [mm] \mathring{I}=(a,b), f\inC^0(I) [/mm] und

(1) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\varphi'(x) dx}=0 [/mm] für alle [mm] \varphi\in C^1_c(\mathring{I}) [/mm]

Dann folgt [mm] f(x)\equiv [/mm] const.

Der Beweis sieht nun wie folgt aus.

Wir wählen Punkte [mm] a_1,b_1,a_2,b_2\in \IR [/mm] mit [mm] a
Dann konstruieren wir eine Funktion [mm] \varphi\in C^1(I) [/mm] mit folgenden Eigenschaften:

(i) [mm] \varphi(x)\equiv [/mm]  1 auf [mm] [b_1,a_2]; [/mm]
(ii) [mm] \varphi(x)\equiv [/mm]  0 auf [mm] [a,a_1]\cup [b_2,b]; [/mm]
(iii) [mm] \varphi'(x) [/mm] > 0 in [mm] (a_1,b_1), \varphi'(x)<0 [/mm] in [mm] (a_2,b_2) [/mm]

Diese Funktion ist eine zulässige Testfunktion für (1), und wegen [mm] \varphi'(x)\equiv [/mm] 0 auf [mm] [a,a_1]\cup [b_1,a_2]\cup [b_2,b] [/mm] folgt

(2) 0= [mm] \integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx} [/mm]

Hier ist mein erstes Problem, warum sollte das gelten?

Ich meine nur weil die Ableitung einer Funktion Null ist, muss doch das Integral nicht Null sein. Wieso also gilt die Gleichung bei (2) ?

        
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Sa 17.05.2014
Autor: Teufel

Hi!

Na, du kannst das Integral doch in 5 Teilintegrale aufteilen, genau wie dein Intervall [a,b] aufgeteilt ist. Auf 3 dieser Summanden ist [mm] \varphi' [/mm] aber 0, also verschwinden diese 3 Summanden und übrig bleibt Gleichung 2.

Das gilt doch z.B. wegen [mm] \integral_{a}^{a_1}{f(x)\varphi'(x) dx}=\integral_{a}^{a_1}{f(x)0 dx}=\integral_{a}^{a_1}{0 dx}=0. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Sa 17.05.2014
Autor: hippias


>
> (2) 0= [mm]\integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx}[/mm]
>  
> Hier ist mein erstes Problem, warum sollte das gelten?
>  

Dass das Integral $0$ ergibt, ist doch die Voraussetzung (fuer alle gilt [mm] $\int\ldots [/mm] = 0$).

Bezug
                
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Sa 17.05.2014
Autor: Frosch20

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hi vielen dank, da war ich wohl etwas blind :S

Ich bin nun etwas weiter im Beweis, der wie folgt weiter geht:

Wir sind zuletzt bei folgenden Integral stehen geblieben:

0= $ 0= $ \integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx} $}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx} $

Nun wird gesagt:

Wir erhalten für geeignete Punkte \xi_1\in (a_1,b_1), \xi_2\in (a_2,b_2) die Gleichung:

\integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}=f(\xi_1)\integral_{a_1}^{b_1}\varphi'(x)dx

\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx}=f(\xi_2)\integral_{a_2}^{b_2}\varphi'(x)dx

Dann folgt:

0=f(\xi_1)-f(\xi_2).

Bis hierhin komme ich noch mit. Nun wird aber gesagt:

Mit b_1\to a_1+0 und b_2\to a_2+0 folgt \xi_1\to a_1 und \xi_2\to a_2 und wir bekommen:

f(a_1)=f(a_2) \forall a_1,a_2 \in (a,b) mit a_1<a_2

woraus letztendlich die Behauptung folgt.

Warum wird nun b_1\to a_1 + 0 betrachtet und woher kommt die 0?
Könnte ich nich acuh a_1\to b_1 betrachten?

Also da die funktion \varphi(x) stetig im offenen Intervall ist dürfte eine Grenzwert betrachtung eigentlich keine großen probleme machen, ich dachte schon das wir vll einfach einen punkt etwas weiter rechts, also

a_1+\frac{1}{n} betrachten wofür es eben gegen a_1 gehen würde nur macht das in meinen Augen grade nicht so richtig Sinn.

mfg. Lé Frog

Bezug
                        
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 17.05.2014
Autor: hippias

  > Dann folgt:
>  
> [mm]0=f(\xi_1)-f(\xi_2).[/mm]
>  
> Bis hierhin komme ich noch mit. Nun wird aber gesagt:
>  
> Mit [mm]b_1\to a_1+0[/mm] und [mm]b_2\to a_2+0[/mm] folgt [mm]\xi_1\to a_1[/mm] und
> [mm]\xi_2\to a_2[/mm] und wir bekommen:
>  
> [mm]f(a_1)=f(a_2) \forall a_1,a_2 \in[/mm] (a,b) mit [mm]a_1
>
> woraus letztendlich die Behauptung folgt.
>  
> Warum wird nun [mm]b_1\to a_1[/mm] + 0 betrachtet

Weil das die Behauptung beweist.

> und woher kommt
> die 0?

Welche?

>  Könnte ich nich acuh [mm]a_1\to b_1[/mm] betrachten?

Ja.

>  
> Also da die funktion [mm]\varphi(x)[/mm] stetig im offenen Intervall
> ist dürfte eine Grenzwert betrachtung eigentlich keine
> großen probleme machen, ich dachte schon das wir vll
> einfach einen punkt etwas weiter rechts, also
>  
> [mm]a_1+\frac{1}{n}[/mm] betrachten wofür es eben gegen [mm]a_1[/mm] gehen
> würde nur macht das in meinen Augen grade nicht so richtig
> Sinn.
>  
> mfg. Lé Frog


Bezug
                                
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Sa 17.05.2014
Autor: Frosch20


> > Warum wird nun [mm]b_1\to a_1[/mm] + 0 betrachtet
>  Weil das die Behauptung beweist.
>  > und woher kommt

> > die 0?
>  Welche?

Ich meine die bei

[mm] b_1\to a_1+0 [/mm]  <- diese 0 verwirrt mich etwas

Bezug
                                        
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Sa 17.05.2014
Autor: hippias

Dies ist eine ganz uebliche Schreibweise fuer den Grenzwert [mm] $b\to [/mm] a$, wobei zusaetzlich $b>a$ gilt. [mm] $b\to [/mm] a-0$ ist dementsprechend [mm] $b\to [/mm] a$ mit $b<a$. Du findest dies in Analysis-Lehrbuechern.

Bezug
                                                
Bezug
Lemma von DuBois-Reymond: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Sa 17.05.2014
Autor: Frosch20

Achso wir hatten das bislang immer anders geschrieben (mithilfe von Konvrgenz pfeilen nach oben bzw. unten), vielen dank für deine Hilfe,
mfg. Lé Frog :)

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