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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Das Levi Civita Symbol sei gegeben durch:
[mm] \varepsilon_{ijk}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } ijk \mbox{ gerade Permutation von (123)} \\ -1, & \mbox{falls } ijk \mbox{ ungerade Permutation von 123} \\ 0, & \mbox{sonst }\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie folgende Relationen: [mm] \varepsilon_{ijk}*\varepsilon{imn} [/mm] = [mm] \Delta_{jm}*\Delta_{kn} [/mm] - [mm] \Delta_{jn}*\Delta_{km}
[/mm]
..... |
Mein erstes Problem: was soll ich mit m und n und so weiter anfangen?
Ist das üblich, dass die "Reihenfolge" einfach alphabetisch ist? Also wäre zum Beispiel nijklm gerade Permutation? Und was ist mit imn...? Die Reihenfolge würde stimmen, aber es würden dann Buchstaben dazwischen fehlen, ist das dann trotzdem gerade Permutation? Oder ist [mm] \varepsilon [/mm] dann 0?
Ist das eine WIssenslücke meinersteits, oder sollte so etwas normalerweise in der Aufgabe definiert werden?
[mm] \Delta [/mm] soll das Kronecker Symbol sein.
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Moin,
eigentlich ist alles klar. Die Indizes sind natürliche Zahlen. Und zwar: 1, 2 oder 3.
Also [mm] i,j,k,m,n\in\{1,2,3\}.
[/mm]
Ist dir denn klar, wie der Tensor definiert ist?
Mal ein paar Beispiele:
[mm] \epsilon_{123}=1
[/mm]
[mm] \epsilon_{213}=-1
[/mm]
[mm] \epsilon_{112}=0
[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass
[mm] \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}
[/mm]
Was ist hier noch zu beachten? Es wird über den Index i summiert. Hier gilt also die Einsteinsche Summenkonvention.
Vor gar nicht so langer Zeit hatten wir die frage auch schon einmal.
Siehe hier: https://matheraum.de/read?t=1019577
Bei weiteren Frage, einfach wieder melden.
Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, der Artikel ist schonmal super! Ich habe dazu erstmal zwei Fragen:
Ich weiß, dass gilt: [mm] \varepsilon_{ijk} [/mm] = [mm] \vmat{ e_{i1} & e_{j1} & e_{k1} \\ e_{i2} & e_{j2} & e_{k2} \\ e_{i3} & e_{j3} & e_{k3} }.
[/mm]
Und ich das Det(A) * Det(B) = Det(A*B)
Aber wie kommst du zu der Schreibweise mit den [mm] \Delta [/mm] in der Determinante?
(..."für die zweite Lösung würde dann folgen:....")
Und dann setzt du k=n, wieso?
vielen Dank schonmal...
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Hi,
schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita-Symbol
da findest du die Zusammenhänge von Kronecker-Symbol, Determinante und Epsilon-Tensor.
> Ah, der Artikel ist schonmal super! Ich habe dazu erstmal
> zwei Fragen:
>
> Ich weiß, dass gilt: [mm]\varepsilon_{ijk}[/mm] = [mm]\vmat{ e_{i1} & e_{j1} & e_{k1} \\ e_{i2} & e_{j2} & e_{k2} \\ e_{i3} & e_{j3} & e_{k3} }.[/mm]
>
> Und ich das Det(A) * Det(B) = Det(A*B)
> Aber wie kommst du zu der Schreibweise mit den [mm]\Delta[/mm] in
> der Determinante?
> (..."für die zweite Lösung würde dann folgen:....")
>
> Und dann setzt du k=n, wieso?
Weil das ja gerade unsere Aufgabe ist. Ausgangspunkt war in dem Artikel war ja:
[mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|
[/mm]
Wir wollen ja aber, dass zwei Indizes gleich sind. Daher setzen wir k=n. Man kann auch genauso gut, j=m oder i=l setzen. Das macht keinen Unterschied, wenn wir wissen ja, dass
[mm] \epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij}
[/mm]
gilt. (wegen zyklischer Vertauschung).
>
> vielen Dank schonmal...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Also, wenn cih das in meiner Aufgabe verwende, erhalte ich:
[mm] \varepsilon_{ijk} [/mm] * [mm] \varepsilon_{imn} [/mm] = .....= [mm] \Delta_{ii}\Delta_{jm}\Delta_{kn} [/mm] + [mm] \Delta_{im}\Delta_{jn}\Delta_{ki}+\Delta_{in}\Delta_{ji}\Delta_{km}-\Delta_{ki}\Delta_{jm}\Delta_{in}-\Delta_{km}\Delta_{jn}\Delta_{ii}-\Delta_{kn}\Delta_{ji}\Delta_{im}
[/mm]
Aber das ist doch Null, denn das Kronecker Delta ist ja immer Null wenn die Indizes unterschiedlich sind, oder?
Oder muss ich über die Sumanden mit doppelten Indizes noch summieren? Aber auch dann ist doch immer ein Delta im Produkt Null, oder nicht?
Und ich muss mir denke ich auch noch mal anschauen, wieso man das Levi-Civita als Determinante darstellen kann...
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Hi,
> Also, wenn cih das in meiner Aufgabe verwende, erhalte
> ich:
>
> [mm]\varepsilon_{ijk}[/mm] * [mm]\varepsilon_{imn}[/mm] = .....=
> [mm]\Delta_{ii}\Delta_{jm}\Delta_{kn}[/mm] +
> [mm]\Delta_{im}\Delta_{jn}\Delta_{ki}+\Delta_{in}\Delta_{ji}\Delta_{km}-\Delta_{ki}\Delta_{jm}\Delta_{in}-\Delta_{km}\Delta_{jn}\Delta_{ii}-\Delta_{kn}\Delta_{ji}\Delta_{im}[/mm]
>
> Aber das ist doch Null, denn das Kronecker Delta ist ja
> immer Null wenn die Indizes unterschiedlich sind, oder?
> Oder muss ich über die Sumanden mit doppelten Indizes
> noch summieren? Aber auch dann ist doch immer ein Delta im
> Produkt Null, oder nicht?
Ja, sowas muss man sich z.B. genau überlegen.
Beispiele:
a) [mm] \delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=1+1+1=3
[/mm]
b) [mm] \delta_{ij}\delta_{ik}=\delta_{1j}\delta_{1k}+\delta_{2j}\delta_{2k}+\delta_{3j}\delta_{3k}
[/mm]
Nun zwei Fälle: j=k und [mm] j\not=k.
[/mm]
i) j=k: Dann haben wir [mm] \delta_{ij}\delta_{ij}=3
[/mm]
ii) [mm] j\not=k: \delta_{ij}\delta_{ik}=\delta_{jk}
[/mm]
Gerade die Verjüngung der Kronecker-Symbole ist hier also entscheidend und nützlich!
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>
> Und ich muss mir denke ich auch noch mal anschauen, wieso
> man das Levi-Civita als Determinante darstellen kann...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 18.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ist is in meinem Fall so, dass m und n einfach Variablen sind, die Werte aus {i,j,k} annehmen können? Denn dann würden ja eben die Terme wegfallen, in denen unterschiedliche Indizes aus i,j,k stehen [mm] (\Delta_{ik} [/mm] zum Besipiel)
und nur der erste und vorletzte Term bleiben, und das wäre ja genau das gewünschte Ergebnis....
Also ich hab jetzt noch mal weitere Beispiele gerechnet, und sehe, dass ichs immer noch nicht verstanden hab.
Also, zum Beispiel: ( d= [mm] \Delta [/mm] )
[mm] \varepsilon_{ijk}*\varepsilon_{ijn} [/mm] = ... = [mm] d_{ii}d_{jj}d_{kn} [/mm] + [mm] d_{ij}d_{jn}d_{ki} [/mm] + [mm] d_{in}d_{ji}d_{kj} [/mm] - [mm] d_{ki}d_{jj}d_{in} [/mm] - [mm] d_{kj}d_{jn}d_{ii}-d_{kn}d_{ji}d_{ij}
[/mm]
Das Ergebnis ist laut Zettel: [mm] 2*d_{kn}
[/mm]
Also, erste Frage, die mir noch nicht ganz klar ist:
Einsteinsche Summenkonvention heißt, dass immer dann summiert wird, wenn ein Index doppelt auftaucht. Heißt das, das ich hier jeden Summanden einzeln betrachte, und eben dann summiere, wenn zweimal der gleiche auftaucht?
Zweitens: ijk ist ja das, was in der Definition steht. und m und n, oder in der wzeiten aufgabe nur n, ist eine weitere Variable, die einen Wert aus i,j,k annimmt, richtig?
Drittens:
Gilt immer i [mm] \not= [/mm] j [mm] \not= [/mm] k ?
Vlt versteh ichs ja dann richtig..... o.o
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> Ist is in meinem Fall so, dass m und n einfach Variablen
> sind, die Werte aus {i,j,k} annehmen können? Denn dann
> würden ja eben die Terme wegfallen, in denen
> unterschiedliche Indizes aus i,j,k stehen [mm](\Delta_{ik}[/mm] zum
> Besipiel)
> und nur der erste und vorletzte Term bleiben, und das
> wäre ja genau das gewünschte Ergebnis....
>
>
> Also ich hab jetzt noch mal weitere Beispiele gerechnet,
> und sehe, dass ichs immer noch nicht verstanden hab.
> Also, zum Beispiel: ( d= [mm]\Delta[/mm] )
>
> [mm]\varepsilon_{ijk}*\varepsilon_{ijn}[/mm] = ... =
> [mm]d_{ii}d_{jj}d_{kn}[/mm] + [mm]d_{ij}d_{jn}d_{ki}[/mm] +
> [mm]d_{in}d_{ji}d_{kj}[/mm] - [mm]d_{ki}d_{jj}d_{in}[/mm] -
> [mm]d_{kj}d_{jn}d_{ii}-d_{kn}d_{ji}d_{ij}[/mm]
>
> Das Ergebnis ist laut Zettel: [mm]2*d_{kn}[/mm]
>
> Also, erste Frage, die mir noch nicht ganz klar ist:
> Einsteinsche Summenkonvention heißt, dass immer dann
> summiert wird, wenn ein Index doppelt auftaucht. Heißt
> das, das ich hier jeden Summanden einzeln betrachte, und
> eben dann summiere, wenn zweimal der gleiche auftaucht?
Ja, doppelte Indizes bedeuten Summation über diesen Index, also
[mm] a_ib_i=\sum_{n=1}^3a_nb_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
[/mm]
Die verschärfte Einsteinsche Summenkonvention ist dann:
Es wird nur summiert, wenn ein Index unten und ein Index oben steht, also
[mm] a_ib^i=\sum_{n=1}^3a_nb_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\not=a_ib_i
[/mm]
Aber diese Verschärfung ist hier nicht entscheiden. War jetzt nur ein kleines Add-on an Wissen.
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> Zweitens: ijk ist ja das, was in der Definition steht. und
> m und n, oder in der wzeiten aufgabe nur n, ist eine
> weitere Variable, die einen Wert aus i,j,k annimmt,
> richtig?
Es ist [mm] i,j,k\in\{1,2,3\}. [/mm] i=j und j=k ist dabei möglich. Gleichzeitig ist aber auch [mm] m,n,l\in\{1,2,3\}. [/mm] Oder auch [mm] x,y,z\in\{1,2,3\}. [/mm] Man muss eben nur andere Indizes wählen, weil man ja zwei verschiedene Epsilon-Tensore multipliziert.
Also wir benötigen nun einmal einen Ausgangpunkt.
Ist denn dieser Schritt
$ [mm] \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|=\delta_{il} \delta_{jm} \delta_{kn}+\delta_{im} \delta_{jn} \delta_{kl}+\delta_{in} \delta_{jl} \delta_{km}-\delta_{im} \delta_{jl} \delta_{kn}-\delta_{il} \delta_{jn} \delta_{km}-\delta_{in} \delta_{jm} \delta_{kl} [/mm] $
zunächst klar? Dann können wir das mal als Ausgangspunkt für unsere weiteren Rechnungen benutzen.
Bitte mach dir auf jeden Fall klar, dass gilt: [mm] \delta_{ij}\delta_{ik}=\delta_{jk} [/mm] und insbdesondere für j=k gilt [mm] \delta_{kk}=3.
[/mm]
Ist dir dies klar?
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> Drittens:
> Gilt immer i [mm]\not=[/mm] j [mm]\not=[/mm] k ?
>
> Vlt versteh ichs ja dann richtig..... o.o
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