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Lim Superior: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Do 04.07.2013
Autor: Fry

Aufgabe
<br>
Sei [mm](A_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge von Ereignissen mit [mm]P(A_n)=p\in(0,1)[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm].
Dann gilt: [mm]P(\limsup_{n\to\infty}A_n)\ge p[/mm]


<br>

Hallo zusammen,

ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
Hab es so probiert
[mm]P(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{m\ge n} A_m)=1-P(\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{m\ge n} A^{c}_m) \ge 1-\sum_{n=1}^{\infty}P(\cap_{m\ge n}A^{c}_m)[/mm].
Habe dann versucht, die Wkeit passend abzuschätzen, aber das klappt nicht so recht.
Hat jemand eine Idee für mich?

Vielen Dank!
Gruß,
Christian

        
Bezug
Lim Superior: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Do 04.07.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> <br>
>  Sei [mm](A_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge von Ereignissen mit
> [mm]P(A_n)=p\in(0,1)[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm].
>  Dann gilt:
> [mm]P(\limsup_{n\to\infty}A_n)\ge p[/mm]
>  
> <br>
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
>  Hab es so probiert
>  [mm]P(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{m\ge n} A_m)=1-P(\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{m\ge n} A^{c}_m) \ge 1-\sum_{n=1}^{\infty}P(\cap_{m\ge n}A^{c}_m)[/mm].
>  
> Habe dann versucht, die Wkeit passend abzuschätzen, aber
> das klappt nicht so recht.
>  Hat jemand eine Idee für mich?


Wenn du definierst [mm] $B_n [/mm] := [mm] \bigcup_{m \ge n}A_m$, [/mm] so gilt doch [mm] $B_n \supset A_n$. [/mm] Außerdem ist [mm] $B_n$ [/mm] absteigend. Mit der Stetigkeit des W-Maßes von oben:

[mm] $\IP(\limsup_{n\to\infty}A_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\IP(B_n) \ge \limsup_{n\to\infty}\IP(A_n) \ge [/mm] p$.


Viele Grüße,
Stefan


Bezug
                
Bezug
Lim Superior: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Do 04.07.2013
Autor: Fry

Hey Stefan,

vielen Dank!
Gibt es auch ne Möglichkeit dies ohne die Stetigkeit von oben zu beweisen?
Die kommt nämlich in der Stochastik-Vorlesung nicht vor.

Gruß,
Christian

Bezug
                        
Bezug
Lim Superior: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Do 04.07.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


>  Gibt es auch ne Möglichkeit dies ohne die Stetigkeit von
> oben zu beweisen?


Ich denke, dass andere Beweise letztlich auf die Stetigkeit von oben hinauslaufen (auch wenn es nicht explizit erwähnt wird).
Deswegen rate ich dir, einfach die Stetigkeit von oben zu beweisen, das ist nicht schwer:

Sei [mm] $B_n$ [/mm] absteigend (d.h. [mm] $B_{n+1} \subset B_n$). [/mm]
Dann ist [mm] $B_n^{c}$ [/mm] aufsteigend (d.h. [mm] $B_{n}^{c} \subset B_{n+1}^{c}$). [/mm]

Definiere [mm] $V_n [/mm] := [mm] B_{n}^{c} \backslash B_{n-1}^{c}$ $(B_{0}^{c} [/mm] := [mm] \emptyset)$ [/mm]
Zeige: [mm] $B_n^{c} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}V_k$. [/mm] (disjunkte Vereinigung)

Also auch: [mm] $\bigcup_{n\in\IN}B_n^{c} [/mm] = [mm] \sum_{k \in \IN}V_k$. [/mm]

Damit: [mm] $\IP(\bigcup_{n\in\IN}B_n^{c}) [/mm] = [mm] \sum_{k \in \IN}\IP(V_k)$ [/mm]



Folgere daraus: [mm] $\IP(\bigcap_{n\in\IN}B_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\IP(B_n)$. [/mm]


>  Die kommt nämlich in der Stochastik-Vorlesung nicht vor.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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