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Limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mo 09.02.2009
Autor: waruna

Zeigen Sie: für alle k [mm] \in [/mm] N, z [mm] \in [/mm] C mit |z| > 1 gilt:

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{k}}{z^{n}}=0 [/mm]

Ich weiss, dass man binomischen Satz benutzen muss, aber wie genau, konnte ich nicht ausdenken.

Kleiner Hinweis wird bestimmt helfen :).  

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Limes: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Di 10.02.2009
Autor: Loddar

Hallo waruna!


Ersetze im Nenner $z \ := \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$ [/mm] bzw. gemäß MBMoivre-Formel [mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$ [/mm] .

Anschließend den Bruch zerlegen ...


Gruß
Loddar


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Limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:48 Di 10.02.2009
Autor: waruna

Ich habe also sowas ausgedacht:

Ich werde zeigen, dass    

[tex]n^{k}/r^{n}[/tex] gegen 0 konvergieren, und weil diese Reste mit sin und cos konwergiert nicht (lim ex. nicht), ein Produnkt geht auch gegen 0.
Das kann man zeigen, wenn man nutzt: [tex]n^{k} = e^{klogn}[/tex].

Darf man so machen?


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Limes: vorrechnen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:07 Di 10.02.2009
Autor: Loddar

Hallo waruna!


Da kann ich Dir gerade leider nicht ganz folgen ... bitte rechen das doch mal vor, wie Du das meinst.


Gruß
Loddar


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Limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Di 10.02.2009
Autor: fred97

Setze [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^k}{z^n}. [/mm]

Dann:  [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel[n]{n})^k}{|z|} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{|z|} [/mm] <1

Nach dem Wurzelkriterium ist   [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm]  konvergent, also ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.

FRED

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Limes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Di 10.02.2009
Autor: angela.h.b.

Moin,

das find' ich in seiner Einfachheit so richtig raffiniert.

Gruß v. Angela

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Limes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Di 10.02.2009
Autor: fred97


> Moin,
>  
> das find' ich in seiner Einfachheit so richtig raffiniert.
>  
> Gruß v. Angela


Moin, moin

Danke

Gruß FRED

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