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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Do 29.10.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Beweise
[mm] \mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})&=&0. [/mm] |
Hallo,
die Aussage ist relativ klar, allerdings muss ich mal wieder mein Wissen bzgl. der korrekten Grenzwertberechnung auffrischen.
Ich hab so angefangen:
[mm] \mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}(x-x\sqrt{1-\frac{c^{2}}{x^{2}}})\\=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}x(1-\sqrt{1-\frac{c^{2}}{x^{2}}})
[/mm]
Kann ich nun den Limes einfach unter die Wurzel ziehen?
Das Produkt kann ich ja erstmal in zwei Limes aufspalten. Oder brauche ich, um den Limes unter die Wurzel zu ziehen Stetigkeit?
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> Beweise
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> [mm]\mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})&=&0.[/mm]
> Hallo,
morgen!
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> die Aussage ist relativ klar, allerdings muss ich mal
> wieder mein Wissen bzgl. der korrekten Grenzwertberechnung
> auffrischen.
>
> Ich hab so angefangen:
>
> [mm]\mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}(x-x\sqrt{1-\frac{c^{2}}{x^{2}}})\\=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}x(1-\sqrt{1-\frac{c^{2}}{x^{2}}})[/mm]
dann hättest du aber für [mm] x->\infty [/mm] den fall [mm] "\infty*0" [/mm] vorliegen..
ich würde einfach die grundaufgabe mit [mm] \frac{x+\sqrt{x^2-c^2}}{x+\sqrt{x^2-c^2}} [/mm] erweitern!
>
> Kann ich nun den Limes einfach unter die Wurzel ziehen?
> Das Produkt kann ich ja erstmal in zwei Limes aufspalten.
das produkt aufspalten geht afaik nur, wenn beide grenzwerte existieren, und [mm] \infty [/mm] heisst ja, grenzwert nicht existent..
> Oder brauche ich, um den Limes unter die Wurzel zu ziehen
> Stetigkeit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Zeigen Sie weiterhin
[mm] \underset{x\rightarrow0}{\mbox{lim}}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mbox{sin}(x)})=0,
[/mm]
[mm] \underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}x^{\mbox{sin}x}=1. [/mm] |
> > Beweise
> >
> > [mm]\mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})&=&0.[/mm]
> > Hallo,
> morgen!
> >
> > die Aussage ist relativ klar, allerdings muss ich mal
> > wieder mein Wissen bzgl. der korrekten Grenzwertberechnung
> > auffrischen.
> >
> > Ich hab so angefangen:
> >
> >
> [mm]\mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}(x-x\sqrt{1-\frac{c^{2}}{x^{2}}})\\=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}x(1-\sqrt{1-\frac{c^{2}}{x^{2}}})[/mm]
> dann hättest du aber für [mm]x->\infty[/mm] den fall [mm]"\infty*0"[/mm]
> vorliegen..
> ich würde einfach die grundaufgabe mit
> [mm]\frac{x+\sqrt{x^2-c^2}}{x+\sqrt{x^2-c^2}}[/mm] erweitern!
> >
Nun jetzt habe ich im Nenner ja eine Summe stehen und im Zähler fällt das x raus. Dann muss ich doch aber im Nenner wieder irgendwie das x wegbekommen. Wie kann ich das aber sauber machen, ohne die Grenzwertsätze zu verletzen?
Jetzt einmal zu den neuen beiden Limes.
Hier [mm] \underset{x\rightarrow0}{\mbox{lim}}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mbox{sin}(x)}) [/mm] finde ich keinen Ansatz. Ich habe versucht die gleichnamig zu machen. Und dann muss ich irgendwie aufpassen, dass im Nenner keine Null auftaucht. Ich wollte es mit l'Hopital probieren. Hat nicht geklappt.
Zum zweiten:
[mm] \underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}x^{\mbox{sin}x}=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}exp(\mbox{sin}x\mbox{ln}(x)).
[/mm]
Wenn ich nun die Stetigkeit von exp ausnutze dann wird der Sinus Teil ja schonmal zu Null. Im Prinzip habe ichs dann schon.
Muss ich nochwas bei ln beachten? Wenn ich mich von rechts der Null nähere wird ln ja schon bei 1 zu Null. Wie kann ich das sauber aufschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Sa 31.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.$ [mm] \underset{x\rightarrow0}{\mbox{lim}}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mbox{sin}(x)})=0, [/mm] $
klappt, wenn man das als einen bruch schreibt und dann 2 mal L'Hopital
2. du musst erst noch zeigen dass sinx*lnx gegen 0 geht, denn lnx geht für x gegeno ja gegen [mm] -\infty, [/mm] da ist es egal,dass er bei 1 0 ist.
Das geht wieder, indem du nen Bruch draus machst und 2mal L'Hopital
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Unk |
Gut. Das erste klappt Problemlos.
Nur wie soll ichs beim 2ten zeigen.
Also ich will folgendes zeigen [mm] \underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}\mbox{sin}x\mbox{ln}(x)=0.
[/mm]
Wollte einen Bruch draus machen:
[mm] \underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}\mbox{sin}x\mbox{ln}(x)=\frac{\mbox{sin}^{2}x\mbox{ln}^{2}(x)}{sinx\mbox{ln}(x)}.
[/mm]
So hier kann ich aber nicht sagen, dass der Nenner gegen 0 geht sowie der Zähler, um l'Hopital anwenden zu können, denn ich darf die Faktoren nicht auseinanderziehen und vor jeden den Limes setzen, da lim lnx keine reelle Zahl ist. Hier versagen die Grenzwertsätze wieder.
Wie mache ich es dann?
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> Gut. Das erste klappt Problemlos.
> Nur wie soll ichs beim 2ten zeigen.
> Also ich will folgendes zeigen
> [mm]\underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}\mbox{sin}x\mbox{ln}(x)=0.[/mm]
>
> Wollte einen Bruch draus machen:
>
> [mm]\underset{x\rightarrow0^{+}}{\mbox{lim}}\mbox{sin}x\mbox{ln}(x)=\frac{\mbox{sin}^{2}x\mbox{ln}^{2}(x)}{sinx\mbox{ln}(x)}.[/mm]
>
schreibs doch mal als [mm] \frac{lnx}{\frac{1}{sinx}} [/mm] und lhopital wär anwendbar
> So hier kann ich aber nicht sagen, dass der Nenner gegen 0
> geht sowie der Zähler, um l'Hopital anwenden zu können,
> denn ich darf die Faktoren nicht auseinanderziehen und vor
> jeden den Limes setzen, da lim lnx keine reelle Zahl ist.
> Hier versagen die Grenzwertsätze wieder.
>
> Wie mache ich es dann?
gruß tee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Sa 31.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
immer wenn man das problem
[mm] \limes_{x\rightarrowx_0}f(x)*g(x) [/mm] hat und f nach [mm] \infty [/mm] und g nach 0 geht probiert man die 2 Möglichkeiten:
[mm] \bruch{f}{1/g} [/mm] oder [mm] \bruch{g}{1/f}
[/mm]
dann hat man entweder 0/0 oder [mm] \infty/\infty
[/mm]
und schlägt mit L'Hopital zu.
Das "Rezept wird dir noch oft begegnen. Eins von beiden klappt meist wenns nen GW gibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Eisfisch |
Total doofe Frage zu:
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> [mm]\mbox{lim}_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x^{2}-c^{2}})&=&0.[/mm]
>
: "Spielt es hier keine Rolle, dass die Wurzel aus einer Zahl (oder einem Ausdruck) sowohl negativ als auch positiv ist?"
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Hallo Eisfisch,
das ist keine doofe Frage. Dennoch ist die Wurzel immer positiv definiert, nicht nur in der Funktionentheorie! Wenn ich als Wurzel aus [mm] x^2=4 [/mm] die Lösung [mm] \a{}x=-2 [/mm] haben will, dann geht das nur so: [mm] x=\red{-}\wurzel{4}
[/mm]
Grüße
reverend
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