Limes ( Eigensch. von Folgen ) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ich bin neu hier und habe auch gerade mal angefangen mit diesem Thema.
Ich habe mehrere Folgen untersucht . und mittels Grenzwertsätze
fand ich heraus dass sie einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert haben , also nur einen einseitigen. Nennt man diese Folgen auch konvergent ?
Ich nahm das an und schrieb :
Die Folge hat einen einseitigen Grenzwert .
Daraus folgt : Die Folge ist konvergent.
Daraus folgt : Die Folge ist beschränkt
Ist das korrekt ?
danke für Antwort
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Mi 20.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
was verstehst du denn unter einem rechts- und linksseitigen grenzwert einer folge. bei folgen kenne ich immer nur einen grenzwert und zwar den, wenn man [m] n \to \infty [/m] streben lässt?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mi 20.10.2004 | | Autor: | informix |
Hallo Tommylee,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Könntest du uns ein oder zwei Beispiele aufschreiben, die solche einseitigen Grenzwerte haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ich habe ausversehen die seite für die Antwort geschlossen. Die Funktion ist nun nicht mehr verfügbar. Also hier ein Beispiel über die Mitteilungsfunktion :
Folge : [ ((-1)^ (n+1)) + [mm] ((-1)^n) [/mm] / (n+1)) ]
Folgenglieder : 1/2 , - 2/3 , 3/4 , -4/5 , 5/6 , -6/7
Folge ist alternierend. Und ein Blick lässt schon darauf schließen , daß
die negativen Glieder gegen -1 streben und die positiven gegen 1
Dann habe ich die grenzwertsätze angewendet :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ ((-1)^(n+1)) + [mm] ((-1)^n) [/mm] / (n+1)) ]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [(-1)^(n+1)]
r [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [(-1)^(n+1)] = 1
l [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [(-1)^(n+1)] = -1
linker Grenzwert : -1
rechter Grenzwert : +1
Wenn die Definition des einseitigen Grenzwert hier nicht zutrifft ,
wie sind dann die Eigenschaften der Folge.
ein dankeschön für Eure Antwort
Gruß
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo TommylLee,
> Hallo ich habe ausversehen die seite für die Antwort
> geschlossen. Die Funktion ist nun nicht mehr verfügbar.
> Also hier ein Beispiel über die Mitteilungsfunktion :
>
> Folge : [ ((-1)^ (n+1)) + [mm]((-1)^n)[/mm] / (n+1)) ]
>
> Folgenglieder : 1/2 , - 2/3 , 3/4 , -4/5 , 5/6 , -6/7
>
> Folge ist alternierend. Und ein Blick lässt schon darauf
> schließen , daß
> die negativen Glieder gegen -1 streben und die positiven
> gegen 1
> Dann habe ich die grenzwertsätze angewendet :
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [ ((-1)^(n+1)) + [mm]((-1)^n)[/mm] /
> (n+1)) ]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [(-1)^(n+1)]
>
> r [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [(-1)^(n+1)] = 1
>
> l [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [(-1)^(n+1)] = -1
>
> linker Grenzwert : -1
> rechter Grenzwert : +1
Also, mit den exakten mathematischen Ausdrücken gilt hier:
1.) Die Folge ist beschränkt. (Warum?)
2.) Damit kann man man für die Folge den [mm] $\overline{lim}$ [/mm] und den [m]\underline{lim}[/m] bestimmen (du hast sie, ohne Beweis, angegeben:
[mm] $\overline{\lim_{n \to \infty}}(a_n)=1$;[/mm] [m]\underline{\lim}_{n \to \infty}(a_n)=-1[/m]).
Es ist also [m]\lim_{n \to \infty}}(a_n)=1\not=-1=\underline{\lim}_{n \to \infty}(a_n)[/m], also ist die Folge nicht konvergent.
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tommy,
also, wenn ich deine letzte Mitteilung richtig verstehe, dann meinst du eigentlich den $limsup$ (auch in der Schreibweise [mm] $\overline{lim}$ [/mm] bekannt) bzw. den liminf (auch in der Schreibweise [mm] $\underline{lim}$ [/mm] bekannt).
> Die Folge hat einen einseitigen Grenzwert .
Wenn ich das mit diesen Ausdrücken richtig interpretiert habe, dann meinst du:
Wenn gilt $limsup=liminf$, dann ist die Folge konvergent. Das ist richtig und sogar eine 'Genau dann wenn"-Aussage für (beschränkte) reellwertige Folgen.
> Daraus folgt : Die Folge ist konvergent.
> Daraus folgt : Die Folge ist beschränkt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , weil konvergent Folgen beschränkt sind.
> Ist das korrekt ?
Wie gesagt, wenn ich deine Formulierungen richtig übertragen habe, dann ja. Du kannst dir das ganze auch hier mal durchlesen:
![[]](/images/popup.gif) Analysis-Skript
[mm] $\to$ [/mm] Kapitel 5, insbesondere Satz 5.4, S.35 (skriptinterne Zählung oben rechts); Definition 5.18, S.44 ; Satz 5.21, S.45
So, so ganz zufrieden bin ich nicht mit meiner Antwort, denn wenn du dir die Voraussetzungen von Def. 5.18 bzw. Satz 5.21 anguckst, so stellst du fest, dass dort die Folge schon als beschränkt vorausgesetzt wird und du deine Folgerung gar nicht bräuchtest.
Die Voraussetzung dort ist aber notwendig, wenn man nicht [mm] $\pm\infty$ [/mm] als Grenzwert für $limsup$ (bzw. $liminf$) zulassen will, und ich denke, dass du das bei dir zulassen willst.
Wenn du aber eine Folge hättest, wobei $limsup$ (oder $liminf$) [mm] $\infty$ [/mm] (bzw. [mm] $-\infty$) [/mm] wäre (eigentlich macht das keinen Sinn, denn nach Definition ist das ja gar nicht möglich), dann wäre die Folge ja unbeschränkt und damit wegen Satz 5.4 nicht konvergent!
Es ist also schwierig, deine Frage genau zu beantworten, wenn du deine Begriffe nicht exakter formulierst! (Definiere mal bitte genauer: Linker Grenzwert einer Folge bzw. rechter Grenzwert einer Folge)!
PS: Zur Information, wann man eine Folge konvergent gegen [mm] $\infty$ [/mm] nennt, kannst du dir ja mal Bemerkung und Definition 5.9 auf S.38 durchlesen! 
Liebe Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo und danke für Antwort
Limsub , Liminf war bisher noch kein Thema im Unterricht . Ich sollte einfach die Eigenschaften der Folge bestimmen und da wollte ich bestimmen ob konvergent oder nicht und daraus schließen ob beschränkt oder nicht.
Ein weiteres Beispiel :
Folge :
[1+(-1)^(n+1)] * (1 - [mm] 1/n^2)
[/mm]
Folgenglieder : 0 , 0, 8/9 , 0 , 24/25 , 0
Hier wird 0 nicht unterschritten und 1 nicht erreicht .
Ist die Folge konvergent ?
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Hallo Tommylee,
> Hallo und danke für Antwort
>
> Limsub , Liminf war bisher noch kein Thema im Unterricht .
> Ich sollte einfach die Eigenschaften der Folge bestimmen
> und da wollte ich bestimmen ob konvergent oder nicht und
> daraus schließen ob beschränkt oder nicht.
>
> Ein weiteres Beispiel :
>
> Folge :
>
> [1+(-1)^(n+1)] * (1 - [mm]1/n^2)
[/mm]
>
> Folgenglieder : 0 , 0, 8/9 , 0 , 24/25 , 0
>
> Hier wird 0 nicht unterschritten und 1 nicht erreicht .
>
> Ist die Folge konvergent ?
Nein. Bei konvergenten Folgen müssen ab einem bestimmten [mm] $n_0$ [/mm] alle weiteren Folgenglieder in der Nähe des Grenzwerts liegen; aber bei dieser Folge liegt jedes 2. Glied immer bei 0 und damit "weit entfernt" von 1.
Schau mal in unserer Mathebank unter  Konvergenz nach, da steht die Definition des Grenzwertes noch genauer.
Was du hier als einseitige Grenzwerte beschreibst, nennt man im allgemeinen "Häufungspunkte".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:43 Do 21.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo informix ,
ich habe logisch nachvollzogen , das die Definition des Grenzwertes nicht zutrifft. In meiner mathematischen Laufbahn , die ich anstrebe habe ich bald vielleicht nor komplexere Probleme. Stehe ja noch am Anfang.
Dankeschön
Tschüss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tommy,
also wie gesagt, das ganze so zu formulieren, dass man nur dein Wissen benutzt, ist für mich insofern schwierig, da ich nicht weiß, was du schon weißt! 
Kennst du denn den Satz, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn jede Teilfolge konvergiert und die Grenzwerte der Teilfolgen alle gleich sind?
Du hattest bei der anderen Aufgabe (https://matheraum.de/read?i=20347) zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten. Das wäre eine andere Begründung, warum die Folge nicht konvergent ist...
Oder darfst du nur das [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] benutzen? Übrigens, wenn du keine Konvergenz nachweisen kannst, dann heißt das noch lange nicht, dass die Folge unbeschränkt ist. Es gilt nur:
Folge konvergent [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Folge beschränkt.
Beachte aber:
Folge nicht konvergent [mm] $\stackrel{\mbox{i.A.}}{\not\Longrightarrow}$ [/mm] Folge nicht beschränkt
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Do 21.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo Marcel
ich habe mir die genaue Definition des Grenzwertes noch mal vor Augen gehalten und logisch nachvollzogen , daß sie bei meinen Aufgaben nicht zutrifft. in jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung des Grenzwertes befinden sich nicht unendlich sondern nur jedes zweite Folgenglied
Es besteht also keine Konvergenz. Ganz klare Sache.
Zu meinem Wissen :
Ich bin kurz vor der ersten Klausur Mathe LK am Abendgymnasium
Angefangen mit den grundlegenden Eigenschaften von Zahlenfolgen
sind wir jetzt bei dem Grenzwertbegriff für Funktionen angekommen
Direkt nach der Klausur geht es mit dem Begriff der Ableitung weiter.
Ich bedanke mich fürs Bemühen
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tommy,
> Hallo Marcel
>
>
> ich habe mir die genaue Definition des Grenzwertes noch mal
> vor Augen gehalten und logisch nachvollzogen , daß sie bei
> meinen Aufgaben nicht zutrifft. in jeder [mm]\varepsilon[/mm]
> Umgebung des Grenzwertes befinden sich nicht unendlich
> sondern nur jedes zweite Folgenglied
> Es besteht also keine Konvergenz. Ganz klare Sache.
So, wie du das hier formulierst, kannst du es nur falsch verstanden haben. Wenn jedes zweite Folgenglied ab einem gewissen [mm] $N_{\varepsilon}$ [/mm] in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] (mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) eines Elementes/einer Zahl g liegen würde, dann gäbe es ja in jeder [m]\varepsilon[/m]-Umgebung von g stets unendlich viele Folgenglieder.
Ich denke, du schmeißt hier aber auch die Begriffe Häufungspunkt und Grenzwert irgendwie durcheinander (oder ich missverstehe dich, was natürlich auch sein kann).
(Vielleicht wolltest du auch nur sagen, dass man nicht zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N_{\varepsilon}$ [/mm] angeben kann, so dass für alle [mm] $a_n$ [/mm] mit [m]n > N_{\varepsilon}[/m] gilt: [m]|a_n-g| < \varepsilon[/m], weil man (z.B. für ein gewisses festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ) immer gewisse $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n > [mm] N_{\varepsilon}$ [/mm] findet, die, grob gesprochen, aus der Reihe tanzen bzw. aus der Umgebung (ohne Rand) springen!! (Das grob gesprochene ist natürlich mathematisch nicht korrekt!).
Dann solltest du aber genau auf deine Worte achten! )
Ich gebe dir mal ein ganz einfaches Beispiel einer Folge an, die zwei Häufungspunkte hat, aber nicht konvergent ist:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n:=(-1)^n$ [/mm] hat zwei Häufungspunkte, ist aber nicht konvergent. (Beschränkt ist sie aber schon!)
Es ist wirklich unerläßlich in der Mathematik, dass man sich die Begriffe/Definition/Sätze etc. ganz genau (Wort für Wort) durchliest und sich das ganze vielleicht auch noch anhand von einigen Beispielen verdeutlicht!
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:43 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
> (Vielleicht wolltest du auch nur sagen, dass man nicht zu
> jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]N_{\varepsilon}[/mm] angeben kann, so
> dass für alle [mm]a_n[/mm] mit [m]n > N_{\varepsilon}[/m] gilt: [m]|a_n-g| < \varepsilon[/m],
> weil man (z.B. für ein gewisses festes [mm]\varepsilon > 0[/mm] )
> immer gewisse [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n > N_{\varepsilon}[/mm] findet,
> die, grob gesprochen, aus der Reihe tanzen bzw. aus der
> Umgebung (ohne Rand) springen!! (Das grob
> gesprochene ist natürlich mathematisch nicht
> korrekt!).
> Dann solltest du aber genau auf deine Worte achten! )
Puh, das nehme ich mir aber auch nochmal vor, denn so, wie ich das zuerst formuliert hatte, wäre es falsch gewesen (hoffentlich stimmt es jetzt?).
So, nochmal zur Ergänzung:
Sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$. [/mm]
Dann heißt [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent, falls ein $g [mm] \in \IR$ [/mm] existiert, so dass für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt:
Es existiert ein [mm] $N=N_{\varepsilon}$, [/mm] so dass für alle $n > N$ gilt: [mm] $|a_n-g|<\varepsilon$.
[/mm]
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] heißt also divergent (oder nicht konvergent), falls für alle $d [mm] \in \IR$ [/mm] gilt: Es gibt ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon_d>0$, [/mm] so dass gilt: für alle $N' [mm] \in \IN$ [/mm] existiert ein $n' > N'$, so dass [mm] $|a_{n'}-d\,|\ge \varepsilon$.
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Do 21.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
ich habe die Defininition total falsch in Worte gefasst. Denn jedes zweite von unendlich ergeben auch unendlich.
Es muß für jede [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von g einen Index N geben ,
so daß gilt , wenn n > N [mm] \Rightarrow [/mm] |an | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dann hat die Folge an den Grenzwert g.
Daß heißt alle Folgenglieder müssen wenn n > N in der Nähe des Grenzwertzes liegen . Wenn jedes zweite dort liegt , liegen dort zwar unendlich , aber nicht alle. und die Bedingung wäre nicht erfüllt.
Danke für deine Korrektur.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Do 21.10.2004 | | Autor: | Tommylee |
und nochmal hallo,
ich muss mich korrigieren :
Es muß für jede [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von g einen Index N geben ,
so daß gilt , wenn n > N [mm] \Rightarrow [/mm] an [mm] \in \varepsilon [/mm] U(g)
so ist es denke ich richtig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Do 21.10.2004 | | Autor: | informix |
Hallo,
> ich muss mich korrigieren :
>
> Es muß für jede [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von g einen
> Index N geben ,
> so daß gilt , wenn n > N [mm]\Rightarrow[/mm] an [mm]\in \varepsilon[/mm]
> U(g)
>
> so ist es denke ich richtig
man kann es auch mit der Ungleichung schreiben:
für alle $n>N$ gilt: [mm] $|a_n [/mm] - g|< [mm] \epsilon$
[/mm]
das heißt:
höchstens endlich viele Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] liegen nicht in der [mm] \epsilon- [/mm] Umgebung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tommy,
> Hallo ,
>
> ich habe die Defininition total falsch in Worte gefasst.
> Denn jedes zweite von unendlich ergeben auch unendlich.
>
> Es muß für jede [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung von g einen Index N
> geben ,
> so daß gilt , wenn n > N [mm]\Rightarrow[/mm] |an | <
> [mm]\varepsilon.
[/mm]
> Dann hat die Folge an den Grenzwert g.
> Daß heißt alle Folgenglieder müssen wenn n > N in der
> Nähe des Grenzwertzes liegen . Wenn jedes zweite dort liegt
> , liegen dort zwar unendlich , aber nicht alle. und die
> Bedingung wäre nicht erfüllt.
> Danke für deine Korrektur.
Okay, Informix hat das ganze ja nochmal verbessert (anstatt |an| < [mm] \varepsilon [/mm] muss [mm] $|a_n-g|<\varepsilon$ [/mm] stehen). Aber in deiner Korrektur hast du es etwas anders formuliert, und das ist richtig (zumindest habe ich auf die Schnelle keinen Fehler sehen können, allerdings bin ich in Eile ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") ; Informix scheint es aber auch kontrolliert zu haben! ). Ich denke, dann hast du es verstanden. Aber du siehst: Die Wortwahl kann entscheidend sein (was ich gestern auch mal wieder feststellen musste )!
> mfg
Liebe Grüße
Marcel
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