Limes Grenzwerte < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Würden Sie mir bitte noch einmal auf die Sprünge helfen ?
Schönen guten Tag Herr Baumgartner,
ich war gestern ( Donnerstag 29.08.) bei Ihnen zu Hause zur Mathe Nachhilfe.
War alles sehr gut.
Die Aufgaben die wir zusammen durchgearbeitet haben habe ich auch irgendwie wiedergeben können.
Mit einer Nachhilfestunde wird es nicht getan sein, dass wissen wir beide.
Dennoch habe ich jetzt noch eine kurze Frage zu den Limes Grenzwerten.
Und zwar bei der Nummer 4 auf dem ersten Arbeitsblatt die wir übersrpungen haben.
Also bei der Nummer 3 war die Aufgabe ähnlich:
x²+2x-3 / x²+x-2
Sie hatten mir erklärt man muss den Limes x-> (-1) und x-> 1 berechnen. Unter dem Bruchstrich kommt (irgendwie) bei beiden varianten 0 heraus aber einmal +0 und einmal -0 .
Okay da fehlt mir jetzt leider der einblick in den Rechenweg...
Dann bei der Nummer 4 a) muss ich berechnen: lim x->+/- °° (unendlich) x²+3x+4 / x³-5
Da fehlt mir jetzt der totale Ansatz.
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Muss ich zuerst die Polstellen bestimmen ?
Laut Geograph hat die Funktion nur eine horizontale Asymptote bei y=0 was würde das heissen ?
Oder muss ich oben und unten mit der Mitternachtsformel die Nullstellen errrechnen ?
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Ich würde ja so vorgehen wollen bei der Rechnung:
(x²+3x+4) / (x³-5 )| :x²
=> (1+3/x+4/x²)/ (x-5/x²)
Dann setze ich für x= 1 millionen ein 1.000.000
oben kommt dann ca. 1 heraus und unten 999.999 ?
================================================================
Ich weiss da stimmt was nicht aber wie ist den der konkrete Ansatz in der Vorgehensweise ?
Bitte um eine kurze Mail.
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen
Alexander Gundlach
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Außer an meinen Nachhilfe Lehrer per Email gesendet der mir nicht antwortet :(
Bitte hilft mir doch mal jemand hier auf die Sprünge :)
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Hallo Alex,
> Würden Sie mir bitte noch einmal auf die Sprünge helfen ?
>
> Schönen guten Tag Herr Baumgartner,
>
> ich war gestern ( Donnerstag 29.08.) bei Ihnen zu Hause zur
> Mathe Nachhilfe.
> War alles sehr gut.
>
> Die Aufgaben die wir zusammen durchgearbeitet haben habe
> ich auch irgendwie wiedergeben können.
> Mit einer Nachhilfestunde wird es nicht getan sein, dass
> wissen wir beide.
>
> Dennoch habe ich jetzt noch eine kurze Frage zu den Limes
> Grenzwerten.
>
> Und zwar bei der Nummer 4 auf dem ersten Arbeitsblatt die
> wir übersrpungen haben.
>
> Also bei der Nummer 3 war die Aufgabe ähnlich:
>
> [mm] \frac{x²+2x-3}{ x²+x-2} [/mm]
>
> Sie hatten mir erklärt man muss den Limes x-> (-1) und x->
> 1 berechnen. Unter dem Bruchstrich kommt (irgendwie) bei
> beiden varianten 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") heraus aber einmal +0 und einmal -0 .
Der [mm] $\lim\limits_{x\to \red{-}1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$ [/mm] ist doch völlig unspektakulär 
Es gibt bei $x=-1$ keine NST für denn Nenner, also kannst du gefahrlos einsetzen:
[mm] $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\frac{(-1)^2+2(-1)-3}{(-1)^2+(-1)-2}=\frac{-4}{-2}=2$
[/mm]
Der [mm] $\lim\limits_{x\to\red{+}1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$ [/mm] ist da schon spannender, denn $x=1$ ist Nullstelle von Zähler und Nenner, das würde bei direktem Einsetzen den furchtbaren, weil unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] ergeben - rechne es nach
>
> Okay da fehlt mir jetzt leider der einblick in den
> Rechenweg...
Du kannst Zähler und Nenner faktorisieren:
Es ist [mm] $\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\frac{(x+3)\cdot{}\red{(x-1)}}{(x+2)\cdot{}\red{(x-1)}}=\frac{x+3}{x+2}$
[/mm]
Hier kannst du nun gefahrlos [mm] $x\to [/mm] 1$ laufen lassen und bekommst:
[mm] $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x+3}{x+2}=\frac{1+3}{1+2}=\frac{4}{3}$
[/mm]
Hier ist die Stelle [mm] $x=\red{+}1$ [/mm] also eine hebbare Definitionslücke
Der Graph der Funktion [mm] $f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$ [/mm] hat bei $x=1$ nur ein kleines Löchlein
Anders an der Stelle $x=-2$, dort ist eine NST den Nenners, die nicht glz. NST des Zählers ist.
Dort gibt's also eine Polstelle.
Schaue dir mal den [mm] $\lim\limits_{x\to -2^{+}}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$ [/mm] und den [mm] $$\lim\limits_{x\to -2^{-}}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}$, [/mm] also den rechts-
und den linksseitigen Limes bei -2 an
>
> Dann bei der Nummer 4 a) muss ich berechnen: lim x->+/- °°
> (unendlich) x²+3x+4 / x³-5
>
> Da fehlt mir jetzt der totale Ansatz.
>
>
> ==============================================================
> Muss ich zuerst die Polstellen bestimmen ?
> Laut Geograph hat die Funktion nur eine horizontale
> Asymptote bei y=0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") was würde das heissen ?
Das heißt, dass sich für betragsmäßig sehr große x der Funktionsgraph immer mehr der Asymptote y=0 (das ist die x-Achse) annähert
Also [mm] $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\frac{x^2+3x+4}{x^3-5}=0$
[/mm]
>
> Oder muss ich oben und unten mit der Mitternachtsformel die
> Nullstellen errrechnen ?
Nö, nicht für die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\to\pm\infty$
[/mm]
(Die ist auch nicht so sehr spannend, interessanter wäre es, sich mal die NST(en) des Nenners zu berechnen, das ist [mm] $x=\sqrt[3]{5}$ [/mm] und den [mm] $\lim\limits_{x\to\sqrt[3]{5}}\frac{x^2+3x+4}{x^3-5}$ [/mm] anzusehen)
>
> ================================================================
>
> Ich würde ja so vorgehen wollen bei der Rechnung:
>
> (x²+3x+4) / (x³-5 )| :x²
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau richtig !!
Die höchste gemeinsame Potenz von x, also [mm] x^2 [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen
>
> => (1+3/x+4/x²)/ (x-5/x²)
>
> Dann setze ich für x= 1 millionen ein 1.000.000
>
> oben kommt dann ca. 1 heraus und unten 999.999 ?
Hmm, ja das stimmt heuristisch, du kannst "mathematischer" die Grenzwertsätze benutzen.
Für [mm] $x\to\infty$ [/mm] strebt der Zähler gegen $1+0+0=0$ und der Nenner gegen [mm] $\infty-0=\infty$
[/mm]
Der Bruch also gegen [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Wie sieht's mit [mm] $x\to\red{-}\infty$ [/mm] aus?
>
> ================================================================
>
> Ich weiss da stimmt was nicht aber wie ist den der konkrete
> Ansatz in der Vorgehensweise ?
Das stimmt schon weitgehend!
Du kannst es eigentlich direkt "sehen", denn eine gebrochen-rationale Funktion, also [mm] $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ [/mm] mit $p,q$ Polynome, wo der Nennergrad, das ist die höchste Potenz von x imi Nenner(polynom) größer ist als der Zählergrad (=höchste Potenz von x im Zählerpolynom), strebt für [mm] $x\to\infty$ [/mm] immer gegen 0
>
> Bitte um eine kurze Mail.
>
> Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen
>
> Alexander Gundlach
LG
schachuzipus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Außer an meinen Nachhilfe Lehrer
> per Email gesendet der mir nicht antwortet :(
>
> Bitte hilft mir doch mal jemand hier auf die Sprünge :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 08.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Der [mm]\lim\limits_{x\to \red{-}1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm] ist
> doch völlig unspektakulär
>
> Es gibt bei [mm]x=-1[/mm] keine NST für denn Nenner, also kannst du
> gefahrlos einsetzen:
>
> [mm]\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\frac{(-1)^2+2(-1)-3}{(-1)^2+(-1)-2}=\frac{-4}{-2}=2[/mm]
mal eine kurze frage: was soll NST bedeuten?
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Hallo dicentra,
> > Der [mm]\lim\limits_{x\to \red{-}1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm] ist
> > doch völlig unspektakulär
> >
> > Es gibt bei [mm]x=-1[/mm] keine NST für denn Nenner, also kannst du
> > gefahrlos einsetzen:
> >
> > [mm]\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\frac{(-1)^2+2(-1)-3}{(-1)^2+(-1)-2}=\frac{-4}{-2}=2[/mm]
>
> mal eine kurze frage: was soll NST bedeuten?
Nullstelle
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 08.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Der [mm]\lim\limits_{x\to\red{+}1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm] ist
> da schon spannender, denn [mm]x=1[/mm] ist Nullstelle von Zähler und
> Nenner, das würde bei direktem Einsetzen den furchtbaren,
> weil unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm] ergeben - rechne es
> nach
hier könnte man doch auch nach l'hospital weiter vorgehen, oder?
weil wir die [mm]\frac{0}{0}[/mm] situation vorliegen haben.
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Hallo nochmal,
> > Der [mm]\lim\limits_{x\to\red{+}1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm] ist
> > da schon spannender, denn [mm]x=1[/mm] ist Nullstelle von Zähler und
> > Nenner, das würde bei direktem Einsetzen den furchtbaren,
> > weil unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm] ergeben - rechne es
> > nach
>
> hier könnte man doch auch nach l'hospital weiter vorgehen,
> oder?
> weil wir die [mm]\frac{0}{0}[/mm] situation vorliegen haben.
ja, das könnte man
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 09.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Du kannst Zähler und Nenner faktorisieren:
>
> Es ist
> [mm]\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\frac{(x+3)\cdot{}\red{(x-1)}}{(x+2)\cdot{}\red{(x-1)}}=\frac{x+3}{x+2}[/mm]
>
> Hier kannst du nun gefahrlos [mm]x\to 1[/mm] laufen lassen und
> bekommst:
>
> [mm]\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x+3}{x+2}=\frac{1+3}{1+2}=\frac{4}{3}[/mm]
>
> Hier ist die Stelle [mm]x=\red{+}1[/mm] also eine hebbare
> Definitionslücke
eine frage zum faktorisieren. woher weiß ich wann ich einen ausdruck faktorisieren kann?
oder kann man jeden quadratischen ausdruck der form [mm] x^2 [/mm] + yx [mm] \pm [/mm] z faktorisieren?
und hierbei handelt es sich um eine hebbare definitionslücke, da ich durch umstellen zu einem grenzwert gelange?
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Hallo dicentra,
> eine frage zum faktorisieren. woher weiß ich wann ich einen
> ausdruck faktorisieren kann?
Bestimme zum Faktorisieren die Nullstellen des Polynoms (etwa desjenigen im Nenner, nennen wir es f).
Eenn du eine NST [mm] $x_0$ [/mm] gefunden hast, kannst du mit der Polynomdivision [mm] $f(x):(x-x_0)$ [/mm] eben diesen Linearfaktor [mm] $(x-x_0)$ [/mm] abspalten.
Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung [mm] $f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)$, [/mm] wobei $q$ ein Polynom ist, dessen Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
> oder kann man jeden quadratischen ausdruck der form [mm]x^2[/mm] + yx [mm]\pm[/mm] z faktorisieren?
Nein, zumindest im Reellen geht das nicht, nimm zB. [mm] $p(x)=x^2+x+1$, [/mm] das hat keine reelle NST, da kannst du folglich reell nix zerlegen
Im Komplexen geht das aber sehr wohl, dort kannst du jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen: [mm] $P(z)=(z-z_0)^{\alpha_0}\cdot{}(z-z_1)^{\alpha_1}\cdot{}.....\cdot{}(z-z_k)^{\alpha_k}$
[/mm]
>
> und hierbei handelt es sich um eine hebbare
> definitionslücke, da ich durch umstellen zu einem grenzwert
> gelange?
Genau, die NST taucht ja jeweils einmal im Zähler und Nenner auf, du kannst sie also (ggfs. nach der Zerlegung) wegkürzen und so die Lücke heben.
Der linksseitige und rechtsseitige Limes von f(x) für [mm] $x\to [/mm] 1$ existieren hier, und sie stimmen überein
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 09.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> > eine frage zum faktorisieren. woher weiß ich wann ich einen
> > ausdruck faktorisieren kann?
>
> Bestimme zum Faktorisieren die Nullstellen des Polynoms
> (etwa desjenigen im Nenner, nennen wir es f).
>
> Eenn du eine NST [mm]x_0[/mm] gefunden hast, kannst du mit der
> Polynomdivision [mm]f(x):(x-x_0)[/mm] eben diesen Linearfaktor
> [mm](x-x_0)[/mm] abspalten.
>
> Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
also nullstellen suchen. was mach ich denn dabei schon falsch?
[mm]x^2+x-2+(1/2)^2-(1/2)^2=0[/mm]
[mm](x+1/2)^2=2+(1/2)^2[/mm]
[mm]x+1/2=\pm(3/2)[/mm]
[mm]x_1=1[/mm]
[mm]x_2=-2[/mm]
setz ich die -2 ein kommt nicht 0 sondern 4 raus??
aber die 1 stimmt ja. wenn ich das ![[]](/images/popup.gif) hier einsetze kommt da aber x-2 raus? ich hatte damit gerechnet, dass da x-1 rauskommt.
bin irgendwie verwirrt.
wir haben ja auch noch das über dem bruchstrich, das muss ich doch auch faktorisieren und dann noch mit dem selben und da kommt dann auch (x-1) raus?
ich habe das nun auch mit dem zähler gemacht, die zwei lösungen sind 1 und 3.
wobei mir auch hier nicht klar, ist warum da drei rauskommt, da doch 3 eingesetz nicht 0 ergibt.
muss ich hoffen dass zwei die gleichen lösungen rauskommen? hier 2x die 1.
mmh, was passiert wenn ich die polynomdivision für den zähler durchführe?
ich gebe nun folgendes bei dem link ein:
[mm] x^2+x-2 [/mm] / x-1
mmh, kommt das selbe wie beim nenner raus x-2...
was nun?
> > und hierbei handelt es sich um eine hebbare
> > definitionslücke, da ich durch umstellen zu einem grenzwert
> > gelange?
>
> Genau, die NST taucht ja jeweils einmal im Zähler und
> Nenner auf, du kannst sie also (ggfs. nach der Zerlegung)
> wegkürzen und so die Lücke heben.
>
> Der linksseitige und rechtsseitige Limes von f(x) für [mm]x\to 1[/mm]
> existieren hier, und sie stimmen überein
woran erkenne ich denn, dass es den links und rechtsseitigen grenzwert gibt?
also, ich meine, woran erkenne ich es, dass es sich um einen links- oder rechtsseitigen handelt?
irgendwie macht es sinn, dass ich bei einer lücke einen von links und rechts habe.
oder habe ich für jeden punkt einen? dann müsste ich doch immer zwei ausrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo dicentra,
> also nullstellen suchen. was mach ich denn dabei schon
> falsch?
Zunächst nichts.
> [mm]x^2+x-2+(1/2)^2-(1/2)^2=0[/mm]
>
> [mm]x_1=1[/mm]
>
> [mm]x_2=-2[/mm]
> setz ich die -2 ein kommt nicht 0 sondern 4 raus??
Du hast Dich beim Einsetzen verrechnet (Vorzeichenfehler?). Es kommt ganz ardik, äh, ganz artig null raus.
> aber die 1 stimmt ja. wenn ich das
> hier
> einsetze kommt da aber x-2 raus?
Wenn Du dies [mm] ($\frac{x^2+x-2}{x-1}$) [/mm] dort einsetzt, kommt [mm] x\red{+}2 [/mm] raus. Und das entspricht ja bestens Deinem obigen Ergebnis.
> ich hatte damit gerechnet, dass da x-1 rauskommt.
Hm, das hattest Du doch wohl eingesetzt. Dann erhältst Du als Ergebnis doch die andere Nullstelle.
> wir haben ja auch noch das über dem bruchstrich, das muss
> ich doch auch faktorisieren und dann noch mit dem selben
> und da kommt dann auch (x-1) raus?
Als einer der Faktoren, ja.
> ich habe das nun auch mit dem zähler gemacht, die zwei
> lösungen sind 1 und 3.
Vorzeichenfehler. Die zweite Lösung lautet -3.
> muss ich hoffen dass zwei die gleichen lösungen rauskommen?
> hier 2x die 1.
Naja, „hoffen“ ist gut...
In diesem Fall kommt es eben raus. Und, ja, es kann sich lohnen darauf zu untersuchen, da es u.U. die Rechnung deutlich vereinfacht.
> mmh, was passiert wenn ich die polynomdivision für den
> zähler durchführe?
> ich gebe nun folgendes bei dem link ein:
> [mm]x^2+x-2[/mm] / x-1
>
> mmh, kommt das selbe wie beim nenner raus x-2...
Ähem. Das ist der Nenner, was Du hier zwei Zeilen weiter oben geschrieben hast ...
Wenn Du dort [mm] $\frac{x^2 + 2x - 3}{x-1}$ [/mm] eingibst, erhältst Du als Ergebnis x+3, also [mm] $x_2=-3$.
[/mm]
> > Der linksseitige und rechtsseitige Limes von f(x) für [mm]x\to 1[/mm]
> > existieren hier, und sie stimmen überein
> woran erkenne ich denn, dass es den links und
> rechtsseitigen grenzwert gibt?
> also, ich meine, woran erkenne ich es, dass es sich um
> einen links- oder rechtsseitigen handelt?
Nunja, daran, dass es dabeisteht und Du scharf nachdenkst, was passiert, wenn x sich von unten oder von oben der 1 nähert.
Etwas korrekter kannst Du es bestimmen, indem Du folgendermaßen herangehst:
[mm] $\operatorname{l-}\limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(x-h)$
bzw.
[mm] $\operatorname{r-}\limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(x+h)$
l-lim und r-lim sollen hier linkseitiger bzw. rechtsseitiger Limes bedeuten.
> irgendwie macht es sinn, dass ich bei einer lücke einen
> von links und rechts habe.
Ja!
> oder habe ich für jeden punkt einen? dann müsste ich doch
> immer zwei ausrechnen?
Im Grunde genommen ja.
Wenn Du allerdings anderweitig weißt, dass eine Funktion in einem Punkt stetig ist, kannst Du Dir das sparen. Letztlich ist dort dann die ganze Grenzwertbetrachtung überflüssig.
Umgekehrt kann man freilich die Stetigkeit an einem Punkt nachweisen, indem man die beiden Grenzwerte und den Funktionswert selbst berechnet. Wenn alle drei identisch sind, ist die Funktion an dieser Stelle stetig.
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 11.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
>
> > eine frage zum faktorisieren. woher weiß ich wann ich einen
> > ausdruck faktorisieren kann?
>
> Bestimme zum Faktorisieren die Nullstellen des Polynoms
> (etwa desjenigen im Nenner, nennen wir es f).
>
> Eenn du eine NST [mm]x_0[/mm] gefunden hast, kannst du mit der
> Polynomdivision [mm]f(x):(x-x_0)[/mm] eben diesen Linearfaktor
> [mm](x-x_0)[/mm] abspalten.
>
> Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
>
> > oder kann man jeden quadratischen ausdruck der form [mm]x^2[/mm] +
> yx [mm]\pm[/mm] z faktorisieren?
>
> Nein, zumindest im Reellen geht das nicht, nimm zB.
> [mm]p(x)=x^2+x+1[/mm], das hat keine reelle NST, da kannst du
> folglich reell nix zerlegen
>
> Im Komplexen geht das aber sehr wohl, dort kannst du jedes
> Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen:
> [mm]P(z)=(z-z_0)^{\alpha_0}\cdot{}(z-z_1)^{\alpha_1}\cdot{}.....\cdot{}(z-z_k)^{\alpha_k}[/mm]
ich glaube das habe ich verstanden. hier kann man festhalten:
ich kann einen quadratischen ausdruck immer faktorisieren, wenn ich zwei nullstellen habe?
d.h. ich suche die nullstellen und kann direkt [mm] (x-x_0_1)(x-x_0_2) [/mm] hinschreiben, wobei sich die vorzeichen von [mm] x_0 [/mm] drehen.
> > und hierbei handelt es sich um eine hebbare
> > definitionslücke, da ich durch umstellen zu einem grenzwert
> > gelange?
>
> Genau, die NST taucht ja jeweils einmal im Zähler und
> Nenner auf, du kannst sie also (ggfs. nach der Zerlegung)
> wegkürzen und so die Lücke heben.
und hier nochmal mit meinen worten: die definitionslücke ist hebbar, da ich in zähler und nenner eine gemeinsame nullstelle (nämlich [mm] x_0=+1) [/mm] habe.
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Hallo nochmal,
> > Hallo dicentra,
> >
> >
> > > eine frage zum faktorisieren. woher weiß ich wann ich einen
> > > ausdruck faktorisieren kann?
> >
> > Bestimme zum Faktorisieren die Nullstellen des Polynoms
> > (etwa desjenigen im Nenner, nennen wir es f).
> >
> > Eenn du eine NST [mm]x_0[/mm] gefunden hast, kannst du mit der
> > Polynomdivision [mm]f(x):(x-x_0)[/mm] eben diesen Linearfaktor
> > [mm](x-x_0)[/mm] abspalten.
> >
> > Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> > [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> > Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
> >
> > > oder kann man jeden quadratischen ausdruck der form [mm]x^2[/mm] +
> > yx [mm]\pm[/mm] z faktorisieren?
> >
> > Nein, zumindest im Reellen geht das nicht, nimm zB.
> > [mm]p(x)=x^2+x+1[/mm], das hat keine reelle NST, da kannst du
> > folglich reell nix zerlegen
> >
> > Im Komplexen geht das aber sehr wohl, dort kannst du jedes
> > Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen:
> >
> [mm]P(z)=(z-z_0)^{\alpha_0}\cdot{}(z-z_1)^{\alpha_1}\cdot{}.....\cdot{}(z-z_k)^{\alpha_k}[/mm]
>
> ich glaube das habe ich verstanden. hier kann man
> festhalten:
> ich kann einen quadratischen ausdruck immer faktorisieren,
> wenn ich zwei nullstellen habe?
> d.h. ich suche die nullstellen und kann direkt
> [mm](x-x_0_1)(x-x_0_2)[/mm] hinschreiben, wobei sich die vorzeichen
> von [mm]x_0[/mm] drehen.
Wenn du eine NST [mm] $x_N$ [/mm] hast, kannst du den Linearfaktor [mm] $(x-x_N)$ [/mm] abspalten, genau
>
>
> > > und hierbei handelt es sich um eine hebbare
> > > definitionslücke, da ich durch umstellen zu einem grenzwert
> > > gelange?
> >
> > Genau, die NST taucht ja jeweils einmal im Zähler und
> > Nenner auf, du kannst sie also (ggfs. nach der Zerlegung)
> > wegkürzen und so die Lücke heben.
>
> und hier nochmal mit meinen worten: die definitionslücke
> ist hebbar, da ich in zähler und nenner eine gemeinsame
> nullstelle (nämlich [mm]x_0=+1)[/mm] haben.
Ja, und zwar in derselben Vielfachheit (dh. gleich oft), wenn der Zähler die 1 als einfache NST hätte, der Nenner aber zB. als zweifache, so könntest du nur einmal kürzen und es bliebe die 1 als einfache NST im Nenner, also eine Polstelle.
Wenn die NST aber in Zähler und Nenner gleich oft auftritt, kannst du durch Kürzen die Lücke heben
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 11.01.2009 | | Autor: | dicentra |
super, vielen dank. 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 11.01.2009 | | Autor: | dicentra |
hi, hier auch noch mal ne frage.
wenn ich eine definitionslücke habe, dann ist das gleich einer polstelle?
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Hallo nochmal,
> hi, hier auch noch mal ne frage.
> wenn ich eine definitionslücke habe, dann ist das gleich
> einer polstelle? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Davon, dass das nicht der Fall ist, handelt doch der ganze thread hier, lies mal nach, was alles oben steht! ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Es steht mindestens ein dutzend mal hier, wie es sich verhält mit den Nullstellen und Hebbarkeit/Polstelle ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 11.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Bestimme zum Faktorisieren die Nullstellen des Polynoms
> (etwa desjenigen im Nenner, nennen wir es f).
>
> Eenn du eine NST [mm]x_0[/mm] gefunden hast, kannst du mit der
> Polynomdivision [mm]f(x):(x-x_0)[/mm] eben diesen Linearfaktor
> [mm](x-x_0)[/mm] abspalten.
>
> Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
---
hallo schachuzipus,
habe doch noch eine unklarheit.
du hast geschrieben:
> Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
wofür steht denn q(x) genau?
im beispiel haben wir zwei nullstellen. es kommt raus (x+3)(x-1)
das wäre doch zweimal der faktor [mm] (x-x_0), [/mm] aber was ist der q(x)-faktor?
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Hallo dicentra,
> > Bestimme zum Faktorisieren die Nullstellen des Polynoms
> > (etwa desjenigen im Nenner, nennen wir es f).
> >
> > Eenn du eine NST [mm]x_0[/mm] gefunden hast, kannst du mit der
> > Polynomdivision [mm]f(x):(x-x_0)[/mm] eben diesen Linearfaktor
> > [mm](x-x_0)[/mm] abspalten.
> >
> > Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> > [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> > Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
>
> ---
>
> hallo schachuzipus,
>
> habe doch noch eine unklarheit.
>
> du hast geschrieben:
>
> > Die Polynomdivision "geht auf", und du hast die Darstellung
> > [mm]f(x)=(x-x_0)\cdot{}q(x)[/mm], wobei [mm]q[/mm] ein Polynom ist, dessen
> > Grad im Vergleich zum Grad von f um 1 kleiner ist
>
> wofür steht denn q(x) genau?
Stelle doch mal nach $q(x)$ um, dann steht da [mm] $q(x)=f(x):(x-x_0)$
[/mm]
$q(x)$ ist also dasjenige Ploynom, das du als Ergebnis der Polynomdivision [mm] $f(x):(x-x_0)$ [/mm] erhältst
Hier im Bsp. ist [mm] $f(x)=x^2+2x-3$, [/mm] eine Nullstelle ist [mm] $x_0=1$, [/mm] machen wir also die Polynomdivision $f(x):(x-1)$
[mm] $(x^2+2x-3):(x-1)=x+3=:q(x)$
[/mm]
Du siehst, q hat den Grad 1, der ist also genau um 1 kleiner als der Grad von f, der 2 ist
Umgeschrieben [mm] $x^2+2x-3=(x-1)\cdot{}q(x)$
[/mm]
>
> im beispiel haben wir zwei nullstellen. es kommt raus
> (x+3)(x-1)
> das wäre doch zweimal der faktor [mm](x-x_0),[/mm] aber was ist der
> q(x)-faktor?
Das Ergebnis der Polynomdivision
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 So 11.01.2009 | | Autor: | dicentra |
ach so, klar, danke dir nochmal.
dic
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