Limes Inferior & Limes Superio < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Paul231 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
ich bereite mich grade auf die Analysis1 Klausur vor. Hab ne Frage zum Skript.
Es wurde der Limes Superior und der Limes Inferior wie folgt definiert:
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine Folge und für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}infa_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}inf\{a_{j}: j\ge n\}=:b_{n}
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}sup\{a_{j}: j\ge n\}=:c_{n}
[/mm]
Dabei soll die Folge [mm] b_{n} [/mm] monoton wachsend und die Folge [mm] c_{n} [/mm] monoton fallend sein.
Aber woran kann ich das denn sehen, dass [mm] b_{n} [/mm] mono. wachsend & [mm] c_{n} [/mm] mono. fallend ist?
Und wie soll man die beiden Folgen lesen bzw. verstehen. Wie sehen die denn aus?
Kann mir dies jemand bitte mal erklären? Einige Beweise arbeiten mit diesen Folgen, und wenn ich sie nicht verstehen, so stecke ich auch bei den Beweisen fest.
Danke Paul
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute,
>
> ich bereite mich grade auf die Analysis1 Klausur vor. Hab
> ne Frage zum Skript.
> Es wurde der Limes Superior und der Limes Inferior wie
> folgt definiert:
>
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge und für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}infa_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}inf\{a_{j}: j\ge n\}=:b_{n}[/mm]
>
>
> und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}sup\{a_{j}: j\ge n\}=:c_{n}[/mm]
>
> Dabei soll die Folge [mm]b_{n}[/mm] monoton wachsend und die Folge
> [mm]c_{n}[/mm] monoton fallend sein.
>
> Aber woran kann ich das denn sehen, dass [mm]b_{n}[/mm] mono.
> wachsend & [mm]c_{n}[/mm] mono. fallend ist?
Sei etwa [mm] $m\leq [/mm] n$. Wir wollen z.B. zeigen, dass daraus folgt, dass [mm] $b_m \leq b_n$ [/mm] d.h. dass
[mm]\inf\{a_j\mid j\geq m\}\leq \inf\{a_j\mid j\geq n\}[/mm]
gilt. Dies folgt einfach daraus, dass [mm] $\{a_j \mid j\geq m\}\supseteq \{a_j\mid j\geq n\}$: [/mm] denn in diesem Falle ist jeder noch so kleine Wert [mm] $a_j$ [/mm] aus [mm] $\{a_j \mid j\geq n\}$ [/mm] auch in [mm] $\{a_j \mid j\geq m\}$ [/mm] enthalten.
Analoge Überlegung für die Schlussweise [mm] $m\leq n\Rightarrow c_m\geq c_n$.
[/mm]
> Und wie soll man die beiden Folgen lesen bzw. verstehen.
> Wie sehen die denn aus?
Ich nehme an, es ist folgendes gemeint (aber zugegebenermassen etwas merkwürdig abgekürzt geschrieben):
[mm]b_n := \inf \{a_j\mid j\geq n\}[/mm]
bzw.
[mm]c_n := \sup\{a_j\mid j\geq n\}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Paul231 |
Hallo,
also zur analogen Schlussweise ist dann,
Sei [mm] n\le [/mm] n+1, dann ist zu zeigen [mm] c_{n} \ge c_{n+1}, [/mm] d.h. dass sup [mm] \{ a_{j}| j\ge n \} \ge [/mm] sup [mm] \{ a_{j}| j\ge n+1 \} [/mm] gilt. Dies folgt einfach daraus, dass [mm]\{a_j \mid j\geq n\}\supseteq \{a_j\mid j\geq n+1\}[/mm]:
Das ist mir soweit klar geworden.
Wenn man aber jetzt sich z.B. die Folge [mm] a_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] wählt.
Dann gilt doch
[mm] c_{n}= sup\{a_{j}| j\ge n \}
[/mm]
[mm] c_{1}= sup\{a_{j}| j\ge 1 \}= sup\{\bruch{1}{1};\bruch{1}{2};\bruch{1}{3}; ...\} [/mm] und daher [mm] c_{1}= [/mm] 1
[mm] c_{2}= sup\{a_{j}| j\ge 2 \}= sup\{\bruch{1}{2};\bruch{1}{3};\bruch{1}{4}; ...\} [/mm] und daher [mm] c_{2}= [/mm] 1/2
[mm] c_{3}= sup\{a_{j}| j\ge 3 \}= sup\{\bruch{1}{3};\bruch{1}{4};\bruch{1}{5}; ...\} [/mm] und daher [mm] c_{3}= [/mm] 1/3
usw. hier sieht man ja das [mm] c_{n} [/mm] monoton fallend ist.
Aber bei [mm] b_{n} [/mm] kann ich die monoton wachsende Folge nicht erkennen.
[mm] b_{n}= inf\{a_{j}| j\ge n \}
[/mm]
[mm] b_{1}= inf\{a_{j}| j\ge 1 \}= inf\{\bruch{1}{1};\bruch{1}{2};\bruch{1}{3}; ...\}
[/mm]
[mm] b_{2}= inf\{a_{j}| j\ge 2 \}= inf\{\bruch{1}{2};\bruch{1}{3};\bruch{1}{4}; ...\}
[/mm]
usw.
wo sehe ich denn hier das monoton wachsende ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Aber bei [mm]b_{n}[/mm] kann ich die monoton wachsende Folge nicht
> erkennen.
>
> [mm]b_{n}= inf\{a_{j}| j\ge n \}[/mm]
>
> [mm]b_{1}= inf\{a_{j}| j\ge 1 \}= inf\{\bruch{1}{1};\bruch{1}{2};\bruch{1}{3}; ...\}[/mm]
>
> [mm]b_{2}= inf\{a_{j}| j\ge 2 \}= inf\{\bruch{1}{2};\bruch{1}{3};\bruch{1}{4}; ...\}[/mm]
>
> usw.
>
> wo sehe ich denn hier das monoton wachsende ?
Das Infimum ist die größte untere Schranke.
Jetzt such die mal für [mm] \inf\{\frac{1}{j}; j \in \IN\}.
[/mm]
Dann schau, wie sich die für j [mm] \ge [/mm] n verhält. Und bedenke "monoton wachsend" [mm] \neq [/mm] "streng monoton wachsend" =)
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> Hallo,
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> also zur analogen Schlussweise ist dann,
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> Sei [mm]n\le[/mm] n+1, dann ist zu zeigen [mm]c_{n} \ge c_{n+1},[/mm] d.h.
> dass sup [mm]\{ a_{j}| j\ge n \} \ge[/mm] sup [mm]\{ a_{j}| j\ge n+1 \}[/mm]
> gilt. Dies folgt einfach daraus, dass [mm]\{a_j \mid j\geq n\}\supseteq \{a_j\mid j\geq n+1\}[/mm]:
>
> Das ist mir soweit klar geworden.
> Wenn man aber jetzt sich z.B. die Folge [mm]a_{n}= \bruch{1}{n}[/mm]
> wählt.
>
> Dann gilt doch
> [mm]c_{n}= sup\{a_{j}| j\ge n \}[/mm]
>
> [mm]c_{1}= sup\{a_{j}| j\ge 1 \}= sup\{\bruch{1}{1};\bruch{1}{2};\bruch{1}{3}; ...\}[/mm]
> und daher [mm]c_{1}=[/mm] 1
>
> [mm]c_{2}= sup\{a_{j}| j\ge 2 \}= sup\{\bruch{1}{2};\bruch{1}{3};\bruch{1}{4}; ...\}[/mm]
> und daher [mm]c_{2}=[/mm] 1/2
>
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> [mm]c_{3}= sup\{a_{j}| j\ge 3 \}= sup\{\bruch{1}{3};\bruch{1}{4};\bruch{1}{5}; ...\}[/mm]
> und daher [mm]c_{3}=[/mm] 1/3
>
>
> usw. hier sieht man ja das [mm]c_{n}[/mm] monoton fallend ist.
>
> Aber bei [mm]b_{n}[/mm] kann ich die monoton wachsende Folge nicht
> erkennen.
>
> [mm]b_{n}= inf\{a_{j}| j\ge n \}[/mm]
>
> [mm]b_{1}= inf\{a_{j}| j\ge 1 \}= inf\{\bruch{1}{1};\bruch{1}{2};\bruch{1}{3}; ...\}[/mm]
>
> [mm]b_{2}= inf\{a_{j}| j\ge 2 \}= inf\{\bruch{1}{2};\bruch{1}{3};\bruch{1}{4}; ...\}[/mm]
>
> usw.
>
> wo sehe ich denn hier das monoton wachsende ?
Vielleicht würde es Dir helfen, die [mm] $b_n$ [/mm] für [mm] $a_n [/mm] := [mm] -\frac{1}{n}$ [/mm] zu betrachten (und, wie Blech bereits geschrieben hat, daran zu denken, dass nur "schwache Monotonie" der beiden Folgen [mm] $b_n$ [/mm] und [mm] $c_n$ [/mm] gilt bzw. zu beweisen ist).
Um die Sache nochmals auf den Punkt zu bringen: Aus [mm] $A\subseteq [/mm] B$ folgt sowohl [mm] $\inf(A) \geq \inf(B)$ [/mm] als auch [mm] $\sup(A)\leq \sup(B)$.
[/mm]
[mm] $\inf(A) \geq \inf(B)$ [/mm] gilt, weil unter der Voraussetzung [mm] $A\subseteq [/mm] B$ folgt, dass alle unteren Schranken von $B$ auch untere Schranken von $A$ sind. Insbesondere ist [mm] $\inf(B)$ [/mm] eine untere Schranke von $B$ (nämlich die grösste) und daher auch von $A$, mithin [mm] $\leq$ [/mm] die grösste untere Schranke [mm] $\inf(A)$ [/mm] von $A$.
Analog: [mm] $\sup(A) \leq \sup(B)$ [/mm] gilt, weil unter der Voraussetzung [mm] $A\subseteq [/mm] B$ folgt, dass alle oberen Schranken von $B$ auch obere Schranken von $A$ sind. Insbesondere ist [mm] $\sup(B)$ [/mm] eine obere Schranke von $B$ (nämlich die kleinste) und daher auch von $A$, mithin [mm] $\geq$ [/mm] die kleinste obere Schranke [mm] $\sup(A)$ [/mm] von $A$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Paul231 |
Hey super,
ich denke jetzt hab ich den Zusammenhang verstanden.
Vielen Dank euch.
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